ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

APOSTOLAKIS · #1

Αν $3z^{7}+7\bar{z}=10$ , να αποδείξετε ότι $z^{7}=\bar{z}^{7}=1$

#2

APOSTOLAKIS έγραψε:Αν $3z^{7}+7\bar{z}=10$ , να αποδείξετε ότι $z^{7}=\bar{z}^{7}=1$

$3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \hfill \\ \overline {3{z^7} + 7{{\bar z}^7}} = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \hfill \\ 3{{\bar z}^7} + 7{z^7} = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( + \right)} \left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \\ 10{z^7} + 10{{\bar z}^7} = 20 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$

$\ldots \left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \\ {{\bar z}^7} = 2 - {z^7} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7\left( {2 - {z^7}} \right) = 10 \\ {{\bar z}^7} = 2 - {z^7} \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} {z^7} = 1 \\ {{\bar z}^7} = 2 - {z^7} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{{z^7} = {{\bar z}^7} = 1}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Grosrouvre · #3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
APOSTOLAKIS έγραψε:Αν $3z^{7}+7\bar{z}=10$ , να αποδείξετε ότι $z^{7}=\bar{z}^{7}=1$
$3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \hfill \\ \overline {3{z^7} + 7{{\bar z}^7}} = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \hfill \\ 3{{\bar z}^7} + 7{z^7} = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( + \right)} \left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \\ 10{z^7} + 10{{\bar z}^7} = 20 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$

$\ldots \left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7{{\bar z}^7} = 10 \\ {{\bar z}^7} = 2 - {z^7} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3{z^7} + 7\left( {2 - {z^7}} \right) = 10 \\ {{\bar z}^7} = 2 - {z^7} \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} {z^7} = 1 \\ {{\bar z}^7} = 2 - {z^7} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{{z^7} = {{\bar z}^7} = 1}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υπάρχει επομένως τυπογραφικό στην εκφώνηση;

#4

Κύριε ΑPOSTOLAKIS τελικά εδώ ήταν τυπογραφικό ή δεν ήταν;
Πότε θα απαντήσετε;

M.S.Vovos · #5

chris_gatos έγραψε:Κύριε ΑPOSTOLAKIS τελικά εδώ ήταν τυπογραφικό ή δεν ήταν;
Πότε θα απαντήσετε;

Πρέπει να έχει γίνει τυπογραφικό λάθος, αλλιώς (λογικά) θα βγαίνει με σκληρές αλγεβρικές διαδικασίες.

#6

Καλησπέρα. Καλό θα είναι μιάς και το φόρουμ είναι πάνω απ' όλα διάλογος, πρωτίστως επιστημονικός
όταν κάποιος ρωτάει πρέπει αν όχι άμεσα, έστω κάποια στιγμή να λαμβάνει μία απάντηση από τον άνθρωπο
που έχει θέσει ένα θέμα. Κάποιοι μπορεί να σκέφτονται, να σπαταλάνε χρόνο εξαιτίας ενός λάθους.
Δοκιμάζω για μία ακόμη φορά.
Κύριε APOSTOLAKIS η εκφώνηση είναι όπως τη δώσατε ή όπως τη διασκεύασε ο Στάθης Κούτρας;
Να συνεχίσουμε να ψάχνουμε πάνω στη δική σας εκφώνηση ή να σταματήσουμε;

Σταμ. Γλάρος · #7

Καλησπέρα !
Αν κατάλαβα καλά έχει γίνει διασκευή στην άσκηση.
Αυτή η λύση "περνάει";

Είναι: $3z^7+7\bar{z}^7=10\Leftrightarrow$

$3z^7-3+7\bar{z}^7-7=0\Leftrightarrow$ $3(z^7-1)+7(\bar{z}^7-1)=0$

Έστω z^7-1=x+yi

Αντικαθιστώντας έχουμε:

$3(x+yi)+7(x-yi)=0\Leftrightarrow$

$3x+3yi+7x-7yi=0\Leftrightarrow$

$10x-4yi=0\Leftrightarrow$ x=y=0

.

Συνεπώς: z^7-1=0

, άρα και

, $\bar{z}^7=1$ .

Λάμπρος Μπαλός · #8

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα. Καλό θα είναι μιάς και το φόρουμ είναι πάνω απ' όλα διάλογος, πρωτίστως επιστημονικός
όταν κάποιος ρωτάει πρέπει αν όχι άμεσα, έστω κάποια στιγμή να λαμβάνει μία απάντηση από τον άνθρωπο
που έχει θέσει ένα θέμα. Κάποιοι μπορεί να σκέφτονται, να σπαταλάνε χρόνο εξαιτίας ενός λάθους.
Δοκιμάζω για μία ακόμη φορά.
Κύριε APOSTOLAKIS η εκφώνηση είναι όπως τη δώσατε ή όπως τη διασκεύασε ο Στάθης Κούτρας;
Να συνεχίσουμε να ψάχνουμε πάνω στη δική σας εκφώνηση ή να σταματήσουμε;

Χρήστο, προφανώς έχει γίνει τυπογραφικό.
1) είναι πασίγνωστη άσκηση,όλοι την έχουμε δει.
2) δεν δικαιολογείται το άκομψο στο ζητούμενο. Γιατί να ζητήσει $\bar{z}^{7}=1$ και να μη ζητήσει απ'ευθείας z=1

; Αφού αυτό προκύπτει από τη δοθείσα αν βάλουμε συζυγή.

Βέβαια αν θέλει έτσι ο θεματοδότης (δικαίωμά του) τί να πω(;), ας κάνουμε
απαγωγή σε άτοπο.

Έστω $z^{7}\neq1$ νομίζω πως θα χρειαστούμε τριγωνομετρική μορφή, το αφήνω όμως δεν είναι για τον φάκελο και δεν ξέρω αν λύνει και την άσκηση. Μάλλον ναι.

#9

Λάμπρο δεν είναι το θέμα μου το πόσο γνωστή ή άγνωστη είναι η άσκηση. Το θέμα μου είναι πως ένα μέλος ρωτάει
και δεν παίρνει απάντηση. Έχω άλλη εντύπωση για το διάλογο γενικότερα, πόσο μάλλον τον επιστημονικό.
Χτες δεν το έστειλα τυχαία. Είδα συνδεδεμένο το μέλος APOSTOLAKIS και ρώτησα. Δεν πήρα απάντηση. Ας δεχτούμε πως δεν το είδε
και αυτό. Περιμένουμε την απάντηση.

makisman · #10

H εξίσωσηγ πέρα από z=1

δίνει λύσεις μιγαδικές που δεν ικανοποιούν το ζητούμενο.

Λάμπρος Μπαλός · #11

Έχω και εγώ την ίδια άποψη περί διαλόγου.
Λογικά θα ανταποκριθεί.

Λάμπρος Μπαλός · #12

makisman έγραψε:H εξίσωσηγ πέρα από δίνει λύσεις μιγαδικές που δεν ικανοποιούν το ζητούμενο.

Ποιές;

makisman · #13

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
makisman έγραψε:H εξίσωσηγ πέρα από δίνει λύσεις μιγαδικές που δεν ικανοποιούν το ζητούμενο.
Ποιές;

wolfram

Υ.Γ. κώδικας wolfram για όποιον ενδιαφέρεται NSolve[3 z^7 + 7 Conjugate[z] == 10, z] , δίνει αριθμητική επίλυση .

Λάμπρος Μπαλός · #14

Ένας ακόμη λόγος που ενισχύει αυτό που υποπτευόμαστε.
Κύριε APOSTOLAKIS , επιτέλους λύστε το μυστήριο.

ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ

Μέλη σε σύνδεση