Απολύτως ίσα

#1

Αν $\displaystyle{a^4 +a^2 x +y=b^4 +b^2 x +y=c^4 +c^2 x +y =0}$ , να αποδείξετε ότι τουλάχιστον δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a,b,c}$ έχουν ίσες τις απόλυτες τιμές τους.

(Μέχρι την ΠΡΩΤΟΜΑΓΙΑ)

Άρης Αεράκης · #2

Θεωρώ ότι α, β, γ, χ,y είναι πραγματικοί με α, β, γ ανά δύο άνισοι αφού διαφορετικα το ζητούμενο είναι προφανές.
Θεωρώ τη διτετράγωνη ω^4+ χω^2+y=0 η οποία έχει 3 τουλάχιστον πραγματικές ρίζες ως προς ω τις α, β, γ άρα θα έχει και 4η πραγματική έστω τη δ.Αν θέσουμε ω^2=φ τότε έχουμε την εξίσωση φ^2+χφ+y=0 όπου θα πρέπει να έχει 2 ρίζες άνισες και μάλιστα θετικές, έστω τις κ, λ. Τότε χωρίς βλάβη της γενικότητας θα έχουμε α=sqrt (κ) , β=-sqrt(κ) , γ=sqrt (λ) , δ=-sqrt (λ) οπότε έχουμε abs (α)=abs (β)

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Αν $\displaystyle{a^4 +a^2 x +y=b^4 +b^2 x +y=c^4 +c^2 x +y =0}$ , να αποδείξετε ότι τουλάχιστον δύο από τους αριθμούς $\displaystyle{a,b,c}$ έχουν ίσες τις απόλυτες τιμές τους.

(Μέχρι την ΠΡΩΤΟΜΑΓΙΑ)

Αν

, προφανώς όλες οι σχέσεις επαληθεύονται. Έστω ότι οι απόλυτες τιμές δεν είναι όλες ίσες μεταξύ τους.

Η πρώτη ισότητα δίνει:
$\displaystyle{({a^2} - {b^2})({a^2} + {b^2} + x) = 0 \Leftrightarrow |a| = |b| \vee x = - {a^2} - {b^2}}$
● Αν |a|=|b|

, το ζητούμενο ισχύει.
● Αν $\displaystyle{|a| \ne |b|}$ , τότε: $\displaystyle{x = - {a^2} - {b^2}}$
Ομοίως βρίσκουμε ότι αν $\displaystyle{|a| \ne |c| \Rightarrow x = - {a^2} - {c^2}}$

Αν η |a|

είναι διαφορετική από τις |b|, |c|

, τότε: $\displaystyle{x = - {a^2} - {b^2} \wedge x = - {a^2} - {c^2} \Rightarrow |b| = |c|}$ .

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, δύο τουλάχιστον από τις |a|,|b|, |c|

είναι ίσες μεταξύ τους.

Απολύτως ίσα

Απολύτως ίσα

Re: Απολύτως ίσα

Re: Απολύτως ίσα

Μέλη σε σύνδεση