Γεωμετρικούλα

M.S.Vovos · #1

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w,u,v

που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:

1. |z-2-2i|=1

2.

3.

4.

Να δείξετε ότι οι γ.τόποι των παραπάνω μιγαδικών είναι κύκλοι, για τους οποίους να βρείτε την εξίσωση τους. Στη συνέχεια, να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων σχηματίζουν τετράγωνο και να βρείτε το εμβαδόν του.

#2

Επειδή είναι χιλιοειπωμένο θέμα ρουτίνας που υπάρχει ουσιαστικά παρόμοιο σε όλα τα βιβλία, θα πρότεινα να αφήσουμε την άσκηση για τους μαθητές που πρωτοεισάγονται στο εν λόγο κεφάλαιο.

Λάμπρος Μπαλός · #3

Μια προέκταση μόνο.
Αν A (z),B (w),C (v),D (u)

οι εικόνες και ισχύουν
$|z-w|^{2}+|w-v|^{2}=4+|u-v|^{2}$
$|z-v|^{2}-|u-v|^{2}=4$ και
|z-u|=2

να αποδείξετε ότι $E^{2}-17E+72=0$ , όπου

το εμβαδόν του ABCD

Λάμπρος Μπαλός · #4

1)

. Ο γ.τ των εικόνων των

είναι τα σημεία

του κύκλου με κέντρο
$O_{1}(2,2)$ και ακτίνα $r_{1}=1$ .

2) |w-(2-2i)|=1 . Ο γ.τ των εικόνων τωνw

είναι τα σημεία

του κύκλου με κέντρο $O_{2}(2,-2)$ και ακτίνα $r_{2}=1$ .

3) |u-(-2+2i)|=1

. Ο γ.τ των εικόνων των

είναι τα σημεία

του κύκλου με κέντρο $O_{3}(-2,2)$ και ακτίνα $r_{3}=1$ .

4) |v-(-2-2i)|=1

. Ο γ.τ των εικόνων των

είναι τα σημεία

του κύκλου με κέντρο $O_{4} (-2,-2)$ και ακτίνα $r_{4}=1$ . $O_{1}O_{2}=O_{2}O_{4}=O_{4}O_{3}=O_{3}O_{1}=4$ και $O_{1}O_{4}=O_2}O_{3}=4 \sqrt {2}$

Άρα το $O_{1}O_{2}O_{4 }O_{3}$ τετράγωνο με εμβαδόν $4^{2}=16$ τ.μ

Λάμπρος Μπαλός · #5

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Μια προέκταση μόνο.
Αν οι εικόνες και ισχύουν
$|z-w|^{2}+|w-v|^{2}=4+|u-v|^{2}$
$|z-v|^{2}-|u-v|^{2}=4$ και
να αποδείξετε ότι $E^{2}-17E+72=0$ , όπου το εμβαδόν του

Επαναφορά

Λάμπρος Μπαλός · #6

Περιληπτικά..

Από τις δοθείσες σχέσεις προκύπτουν :

$|z-v|^{2}=|u-v|^{2}+|z-u|^{2}$ (1)

$|z-w|^{2}+|w-v|^{2}=|z-v|^{2}$ (2) και

|z-u|=2

(3)

Η σχέση (3) επαληθεύεται προφανώς για A (2,1)

και

Η σχέση (1) είναι το Π.Θ και αναγκάζει το τρίγωνο ABC

να είναι ορθογώνιο
με ορθή τη

. Εύκολα προκύπτει ότι C (-2,-1)

.

Τέλος η σχέση (2) θέλει το τρίγωνο ADC

να είναι ορθογώνιο με ορθή τη

.

Με χρήση Αναλυτικής Β Λυκείου προκύπτουν δύο πιθανές θέσεις D (-2,-1)

ή

.

Στην πρώτη περίπτωση το $E_{ABCD}=8$ ενώ στη δεύτερη $E_{ABCD}=9$ .

STOPJOHN · #7

Λάμπρο καλημέρα η σχέση (3) επαληθευεται για άπειρα ζυγάρια Α,Β.......άρα γράφεις τη λύση για ειδική περίπτωση η θέλεις να πείς κάτι άλλο ;;

φιλικά Γιάννης

Λάμπρος Μπαλός · #8

STOPJOHN έγραψε:Λάμπρο καλημέρα η σχέση (3) επαληθευεται για άπειρα ζυγάρια Α,Β.......άρα γράφεις τη λύση για ειδική περίπτωση η θέλεις να πείς κάτι άλλο ;;

φιλικά Γιάννης

Γιατί για άπειρα;
Αφού οι εικόνες των z,u

βρίσκονται στους συγκεκριμένους κύκλους.

STOPJOHN · #9

Υπάρχουν άπεροι κύκλοι διαμέτρου

η όχι ;;;

Λάμπρος Μπαλός · #10

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:1) . Ο γ.τ των εικόνων των είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο
$O_{1}(2,2)$ και ακτίνα $r_{1}=1$ .

2) είναι τα σημείατου κύκλου με κέντρο $O_{2}(2,-2)$ και ακτίνα $r_{2}=1$ .

3). Ο γ.τ των εικόνων τωνείναι τα σημείατου κύκλου με κέντρο $O_{3}(-2,2)$ και ακτίνα $r_{3}=1$ .

4). Ο γ.τ των εικόνων τωνείναι τα σημείατου κύκλου με κέντρο $O_{4} (-2,-2)$ και ακτίνα $r_{4}=1$ . $O_{1}O_{2}=O_{2}O_{4}=O_{4}O_{3}=O_{3}O_{1}=4$ και $O_{1}O_{4}=O_2}O_{3}=4 \sqrt {2}$

Άρα το $O_{1}O_{2}O_{4 }O_{3}$ τετράγωνο με εμβαδόν $4^{2}=16$ τ.μ

Εδώ έγραψα πρώτη φορά τα σημεία A,B,C,D

. Μήπως απλώς δεν έτυχε να το προσέξεις. Λογικό.

STOPJOHN · #11

Λάμπρο μελέτησα την άσκηση ,ΧΩΡΙΣ , την αντίστοιχη παράθεση, που τώρα βλέπω.....Ωστόσο στην γενική περίπτωση ,θέτω τον προβληματισμό μου, καταλήγουμε σε δυο ορθογώνια τρίγωνα που το άθροισμα τους είναι το εμβαδόν του τετραπλευρου, δεν ξέρω αν υπάρχει λύση η χρειάζονται και επιπλέον υποθέσεις............καλό μεσημέρι

Γιάννης

Γεωμετρικούλα

Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Re: Γεωμετρικούλα

Μέλη σε σύνδεση