Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

#1

Δίνεται η εξίσωση $(x+A)^2+(3y+B)^2+(2z-\Gamma)^2=0$ , όπου
το Α είναι η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{\frac{|u-1|}{2}-1=\frac{|1-u|}{3}}$ ,
το Β η μικρότερη ακέραια ρίζα της ανίσωσης $3<2w-1\leq19$ και
$\displaystyle{\Gamma=\sqrt{6}\sqrt{3-\sqrt{3}}\sqrt{3+\sqrt{3}}}$ .
α) Να αποδείξετε ότι A=7

.
β) Να υπολογίσετε την τιμή του

.
γ) Να αποδείξετε ότι $\Gamma=6$ .
δ) Να λύσετε την εξίσωση $(x+A)^2+(3y+B)^2+(2z-\Gamma)^2=0$ .
ε) Να κατασκευάσετε όλες τις εξισώσεις 2ου βαθμού με ρίζες τα $A, \Gamma$ .

kostas232 · #2

Καλησπέρα
α) Έχουμε $\displaystyle{\left |1-u \right |=\left | -1(u-1) \right |=\left |u-1 \right |}$ .
Οπότε $\displaystyle{\frac{\left |u-1 \right |}{2}-1=\frac{\left |u-1 \right |}{3}\leftrightarrow }$ $\diplaystyle{3\left |u-1 \right |-6=2\left |u-1 \right | \leftrightarrow \left |u-1 \right |=6 \leftrightarrow u-1=6 \vee u-1=-6\leftrightarrow u=7 \vee u=-5}$ .
Είναι $\displaystyle{7> -5}$ , οπότε $\diplaystyle{A=7}$ .
β) Έχουμε $\displaystyle{3< 2w-1\leq 19\leftrightarrow 4< 2w\leq 20\leftrightarrow 2< w\leq10}$ .
Άρα προφανώς $\displaystyle{B=3}$ .
γ) $\displaystyle{\sqrt{6}\sqrt{3-\sqrt{3}}\sqrt{3+\sqrt{3}}=\sqrt{6}\sqrt{(3-\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}=\sqrt{6}\sqrt{9-3}=\sqrt{6}\sqrt{6}=\sqrt{6}^2=6}$ .
δ) H εξίσωση αληθεύει αν και μόνο αν $\displaystyle{x+A=0\leftrightarrow x=-A\leftrightarrow x=-7, 3y+B=0\leftrightarrow y=-\frac{b}{3}\leftrightarrow y=-1, 2z-G=0\leftrightarrow z=\frac{G}{2}\leftrightarrow z=3}$ .
ε) Οι εξισώσεις θα είναι της μορφής $\displaystyle{kx^2-kSx+kP=0}$ , όπου $\displsystyle{S=A+G, P=AG, k\in \mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}}$ , δηλαδή $\displaystyle{kx^2-13kx+42k=0}$ .
Κανένα πιο πρωτότυπο θέμα;

#3

kostas232 έγραψε:Καλησπέρα
α) Έχουμε $\displaystyle{\left |1-u \right |=\left | -1(u-1) \right |=\left |u-1 \right |}$ .
Οπότε $\displaystyle{\frac{\left |u-1 \right |}{2}-1=\frac{\left |u-1 \right |}{3}\leftrightarrow }$ $\diplaystyle{3\left |u-1 \right |-6=2\left |u-1 \right | \leftrightarrow \left |u-1 \right |=6 \leftrightarrow u-1=6 \vee u-1=-6\leftrightarrow u=7 \vee u=-5}$ .
Είναι $\displaystyle{7> -5}$ , οπότε $\diplaystyle{A=7}$ .
β) Έχουμε $\displaystyle{3< 2w-1\leq 19\leftrightarrow 4< 2w\leq 20\leftrightarrow 2< w\leq10}$ .
Άρα προφανώς $\displaystyle{B=3}$ .
γ) $\displaystyle{\sqrt{6}\sqrt{3-\sqrt{3}}\sqrt{3+\sqrt{3}}=\sqrt{6}\sqrt{(3-\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}=\sqrt{6}\sqrt{9-3}=\sqrt{6}\sqrt{6}=\sqrt{6}^2=6}$ .
δ) H εξίσωση αληθεύει αν και μόνο αν $\displaystyle{x+A=0\leftrightarrow x=-A\leftrightarrow x=-7, 3y+B=0\leftrightarrow y=-\frac{b}{3}\leftrightarrow y=-1, 2z-G=0\leftrightarrow z=\frac{G}{2}\leftrightarrow z=3}$ .
ε) Οι εξισώσεις θα είναι της μορφής $\displaystyle{kx^2-kSx+kP=0}$ , όπου $\displsystyle{S=A+G, P=AG, k\in \mathbb{R}}$ , δηλαδή $\displaystyle{kx^2-13kx+42k=0}$ .
Κανένα ποιο πρωτότυπο θέμα;

Καταρχήν σε ευχαριστώ πολύ που ασχολήθηκες με το θέμα που πρότεινα. Τρία θεματάκια επιπλέον.

1. Το σύμβολο $\leftrightarrow$ δεν χρησιμοποιείται στα μαθηματικά. Φαντάζομαι ότι εννοείς το $\Leftrightarrow$ .

2. Έχεις κάνει ένα λάθος στο (ε). Θα πρέπει $k \neq 0$ , αφού ζητώ εξίσωση 2ου βαθμού.

3. Τέλος πιστεύω ότι το θέμα είναι αρκετά πρωτότυπο για μαθητές Α΄ Λυκείου.

Δεδομένου του γεγονότος ότι όσο ζω μαθαίνω, θα ήθελα να μου υποδείξεις κάποια πηγή με αντίστοιχα ή πιο πρωτότυπα συνδυαστικά θέματα για μαθητές Α΄ Λυκείου.

nik21 · #4

kostas232 έγραψε: Κανένα ποιο πρωτότυπο θέμα;

Επειδή ο τίτλος του θέματος είναι "προετοιμασία για εξετάσεις" , τα συγκεκριμένα θέματα, με μια πρώτη ματιά είναι -κατά τη γνώμη μου- εξαιρετικά και τα πρωτότυπα καλό είναι να αποφεύγονται (εκτός, ίσως, αν μιλάμε για τα πειραματικά λύκεια) Στις εξετάσεις, άρα και στην προετοιμασία αυτών, στόχος, θεωρώ ότι δεν είναι να εκπλήξουμε τους μαθητές και άρα να τους αγχώσουμε αλλά να τους βοηθήσουμε (ειδικά τους μέτριους και κάτω) να βάλουν σε μια τάξη στο μυαλό τους την ύλη της χρονιάς.

kostas232 · #5

Λευτέρη καλησπέρα. Έχεις δίκιο, αυτό που όλοι χρειαζόμαστε κατ' αρχήν είναι να εμπεδώσουμε τις γνώσεις που πήραμε. Το θέμα κατά τ' άλλα είναι το κατάλληλο για προετοιμασία.
Υ.Γ.
Ευχαριστώ για το ε) το διορθώνω τώρα.

FLAMINGO08 · #6

Θα μου επιτρέψετε κάποιες παρατηρήσεις για το θέμα αυτό. i) Στο σχολικό βιβλίο της Α λυκείου δεν υπάρχει εξίσωση με τρεις αγνώστους. Καλύτερα λοιπόν να χαρακτηριστεί η δοθείσα ως ισότητα (ή σχέση) και στο (δ) ερώτημα να ζητείται να βρεθούν οι τιμές των χ, ψ, z που να ικανοποιούν τη δοθείσα ισότητα. ii) Αν ο μαθητής δε λύσει το (β) ερώτημα, τότε είναι καταδικασμένος να μην απαντήσει και στο (δ). iii) Τα πρώτα ερωτήματα δε διευκολύνουν το μαθητή να προχωρήσει στα επόμενα, τα οποία θα έπρεπε να διέπονται και από το πνεύμα της κλιμακούμενης δυσκολίας. Σύμφωνα με τις οδηγίες αξιολόγησης του μαθήματος, "το δεύτερο, τρίτο και τέταρτο θέμα μπορούν να αναλύονται σε επιμέρους ερωτήματα που διευκολύνουν το μαθητή στη λύση". Στο συγκεκριμένο θέμα, απλώς έχουμε να κάνουμε με ένα συνονθύλευμα που ανακατεύει διάφορα κομμάτια ύλης διαφορετικών κεφαλαίων.

#7

FLAMINGO08 έγραψε:Θα μου επιτρέψετε κάποιες παρατηρήσεις για το θέμα αυτό.

Καταρχήν ευχαριστώ πάρα πολύ για τα σχόλιά σας. Με τιμά ιδιαίτερα το γεγονός ότι το 20% των ποσταρισμάτων σας έχει γίνει σε νήματα που ξεκίνησα εγώ.

FLAMINGO08 έγραψε:Θα μου επιτρέψετε κάποιες παρατηρήσεις για το θέμα αυτό. i) Στο σχολικό βιβλίο της Α λυκείου δεν υπάρχει εξίσωση με τρεις αγνώστους. Καλύτερα λοιπόν να χαρακτηριστεί η δοθείσα ως ισότητα (ή σχέση) ...

Στο βιβλίο σαν θεωρία δεν υπάρχει και η έννοια της εξίσωσης με δύο αγνώστους. Την άσκηση 3 σελίδα 99 δεν την κάνουμε; Η συγκεκριμένη σχέση είναι εξίσωση. Εξάλλου ο ορισμός της εξίσωσης λέει ότι είναι η ισότητα ...

FLAMINGO08 έγραψε:... και στο (δ) ερώτημα να ζητείται να βρεθούν οι τιμές των χ, ψ, z που να ικανοποιούν τη δοθείσα ισότητα.

δηλαδή να λυθεί η εξίσωση...

FLAMINGO08 έγραψε: ii) Αν ο μαθητής δε λύσει το (β) ερώτημα, τότε είναι καταδικασμένος να μην απαντήσει και στο (δ).

Λάθος..., διότι ότι απάντηση και να δώσει στο (β) ερώτημα χάνει τα αντίστοιχα μόρια του (β) ερωτήματος. Στο (δ) εξετάζεται ο μαθητής αν ξέρει τη διαδικασία που του μαθαίνουμε με βάση το το σχολικό βιβλίο.

FLAMINGO08 έγραψε: iii) Τα πρώτα ερωτήματα δε διευκολύνουν το μαθητή να προχωρήσει στα επόμενα, τα οποία θα έπρεπε να διέπονται και από το πνεύμα της κλιμακούμενης δυσκολίας.

Τι ακριβώς δεν διευκολύνει;; Όταν ζητώ να αποδειχθεί ότι δεν δίνω τις τιμές των Α και Γ για επαλήθευση των πράξεων;;; Μόνο το Β δεν δίνω, αλλά προκύπτει από μια ανίσωση πρώτου βαθμού. Να πούμε ότι είμαι φάουλ... Ας το πούμε... Αλλά και ο μαθητής κάτι πρέπει να υπολογίσει χωρίς να του γνωρίζει το αποτέλεσμα.

FLAMINGO08 έγραψε: Σύμφωνα με τις οδηγίες αξιολόγησης του μαθήματος, "το δεύτερο, τρίτο και τέταρτο θέμα μπορούν να αναλύονται σε επιμέρους ερωτήματα που διευκολύνουν το μαθητή στη λύση".

Αναλύεται σε επιμέρους ερωτήματα που διευκολύνουν τον μαθητή, αφού θα μπορούσα να μην έχω τα ερωτήματα α, β, γ και να ζητώ μόνο τα δ, ε.

FLAMINGO08 έγραψε: Στο συγκεκριμένο θέμα, απλώς έχουμε να κάνουμε με ένα συνονθύλευμα που ανακατεύει διάφορα κομμάτια ύλης διαφορετικών κεφαλαίων.

Αξιολογόντας τις προηγούμενες παρατηρήσεις σας, χαίρομαι που το κρίνετε ως συνονθύλευμα διότι έτσι το θέμα είναι πετυχημένο σύμφωνα με τα δικά μου γούστα, δεδομένου ότι ένας μαθητής της Α΄ Λυκείου ΟΦΕΙΛΕΙ να γνωρίζει και άλλα πράγματα εκτός από το τριώνυμο και τα απόλυτα.

Στις εξετάσεις συνηθίζω να ζητάω "όλη" την εξεταστέα ύλη και προπονώ τους μαθητές μου σε αυτή τη λογική.

Υ.Γ.1. Εγώ γράφω στο

επώνυμα και έχω όλη την καλή διάθεση για καλόπιστη ΕΠΩΝΥΜΗ κριτική. Ως εκ τούτου θα ήθελα να γνωρίζω με ποιον συνομιλώ.
Υ.Γ.2. Θα ήθελα πάρα πολύ να δω μια δική σας πρόταση ενός διαγωνίσματος ή ενός θέματος, ότι προτιμάτε ...
Υ.Γ.3. Θα ήθελα πάρα πολύ να σας δω να συμμετέχετε στο

κάνοντας μαθηματικά και όχι μόνο να κριτικάρετε ΑΝΩΝΥΜΑ.
Υ.Γ.4. Σύμφωνα με το δικό σας σκεπτικό το 80% της καταργηθείσας τράπεζας θεμάτων είναι εντελώς εκτός σχολικού βιβλίου, άρα δεν τα διδάξατε!!! Ή ότι σας κλήρωσε πέρυσι η Τράπεζα προτρέψατε τους μαθητές σας να μην το γράψουν διότι είναι εκτός βιβλίου.
Υ.Γ.5. Ο τίτλος του ποστ είναι: "Προετοιμασία για τις εξετάσεις"

FLAMINGO08 · #8

Ευχαριστώ για τα σχόλιά σας. Να απαντήσω σε κάποια από αυτά:
i) Στη σελ. 99 του σχολ. βιβλίου Άλγεβρας Α λυκείου (έκδ. 2014) δεν υπάρχουν ασκήσεις, αλλά μόνο θεωρία. Θα σας ήμουν υπόχρεος αν "ανεβάζατε" στο forum την άσκηση αυτή.
ii) Λέτε σε κάποιο σημείο: «ό,τι απάντηση και να δώσει στο (β) ερώτημα …». Δηλ. πώς εννοείτε ότι θα δώσει την απάντηση, αν δεν μπορεί να λύσει την ανίσωση και να βρει την τιμή του Β; Θα απαντήσει στην τύχη;
iii) Κι εγώ συνηθίζω να ζητάω «όλη την εξεταστέα ύλη» για να προπονήσω τους μαθητές μου για τις εξετάσεις, αλλά δεν συνηθίζω να τη ζητάω όλη σε ένα θέμα…
iv) Επειδή αναφέρεστε στην τράπεζα θεμάτων, υπάρχει πληθώρα θεμάτων «2» και θεμάτων «4» που ακολουθούν τη φιλοσοφία που σας ανέφερα, δηλ. τα ερωτήματα να είναι κλιμακούμενης δυσκολίας και τα πρώτα να διευκολύνουν τα επόμενα. Για παράδειγμα, τα θέματα: 2_1544, 2_2702, 4_13156 και 4_8217.
Το να ζητάω να βρεί ο μαθητής τις τιμές κάποιων μεταβλητών, που στη συνέχεια τις χρησιμοποιώ σε εκφώνηση επόμενου ερωτήματος (και μάλιστα άσχετου με τα προηγούμενα ερωτήματα), αυτό -κατά την άποψή μου- δεν είναι διευκόλυνση για το μαθητή. Ως διευκόλυνση θεωρώ το να χρησιμοποιήσει ο μαθητής την πρόταση του προηγούμενου ερωτήματος σαν υπόθεση, ώστε αυτή να τον οδηγήσει στη λύση επόμενου ερωτήματος, που αποτελεί συνέχεια του προηγούμενου και δεν είναι εντελώς ξεκομμένο από αυτό. Όπως δηλ. συμβαίνει στα παραδείγματα των θεμάτων της τράπεζας που παραθέτω πιο πάνω.
v) Ευχαρίστως να ανεβάσω κι εγώ προτεινόμενα θέματα, αλλά επειδή δεν έχω ασχοληθεί ξανά με τη διαδικασία, δώστε μου λίγο χρόνο να ψάξω τον τρόπο. Γνωρίζω να γράφω μαθηματικό κείμενο μόνο με το Mathtype.
Αλέξης Αγγελής

#9

FLAMINGO08 έγραψε:Ευχαριστώ για τα σχόλιά σας. Να απαντήσω σε κάποια από αυτά:
i) Στη σελ. 99 του σχολ. βιβλίου Άλγεβρας Α λυκείου (έκδ. 2014) δεν υπάρχουν ασκήσεις, αλλά μόνο θεωρία. Θα σας ήμουν υπόχρεος αν "ανεβάζατε" στο forum την άσκηση αυτή.
ii) Λέτε σε κάποιο σημείο: «ό,τι απάντηση και να δώσει στο (β) ερώτημα …». Δηλ. πώς εννοείτε ότι θα δώσει την απάντηση, αν δεν μπορεί να λύσει την ανίσωση και να βρει την τιμή του Β; Θα απαντήσει στην τύχη;
iii) Κι εγώ συνηθίζω να ζητάω «όλη την εξεταστέα ύλη» για να προπονήσω τους μαθητές μου για τις εξετάσεις, αλλά δεν συνηθίζω να τη ζητάω όλη σε ένα θέμα…
iv) Επειδή αναφέρεστε στην τράπεζα θεμάτων, υπάρχει πληθώρα θεμάτων «2» και θεμάτων «4» που ακολουθούν τη φιλοσοφία που σας ανέφερα, δηλ. τα ερωτήματα να είναι κλιμακούμενης δυσκολίας και τα πρώτα να διευκολύνουν τα επόμενα. Για παράδειγμα, τα θέματα: 2_1544, 2_2702, 4_13156 και 4_8217.
Το να ζητάω να βρεί ο μαθητής τις τιμές κάποιων μεταβλητών, που στη συνέχεια τις χρησιμοποιώ σε εκφώνηση επόμενου ερωτήματος (και μάλιστα άσχετου με τα προηγούμενα ερωτήματα), αυτό -κατά την άποψή μου- δεν είναι διευκόλυνση για το μαθητή. Ως διευκόλυνση θεωρώ το να χρησιμοποιήσει ο μαθητής την πρόταση του προηγούμενου ερωτήματος σαν υπόθεση, ώστε αυτή να τον οδηγήσει στη λύση επόμενου ερωτήματος, που αποτελεί συνέχεια του προηγούμενου και δεν είναι εντελώς ξεκομμένο από αυτό. Όπως δηλ. συμβαίνει στα παραδείγματα των θεμάτων της τράπεζας που παραθέτω πιο πάνω.
v) Ευχαρίστως να ανεβάσω κι εγώ προτεινόμενα θέματα, αλλά επειδή δεν έχω ασχοληθεί ξανά με τη διαδικασία, δώστε μου λίγο χρόνο να ψάξω τον τρόπο. Γνωρίζω να γράφω μαθηματικό κείμενο μόνο με το Mathtype.
Αλέξης Αγγελής

1) Σελίδα 59.
2) Λέω πως πρέπει να λύνει ανίσωση 1ου βαθμού, χωρις τρικ και κόλπα, έστω και λάθος, οπότε έχει να δώσει απάντηση.
3) Έχω 3 θέματα για όλη την ύλη. Αν όλη η ύλη είναι αυτά τα 5 ερωτήματα πάσο.
4) Που έχει το σχολικό αντίστοιχα θέματα από την τραπεζα με τα: 3878, 1868, 1936, 486, 3874, 1080, 1092, 3852, 944, 4853, 2340, 8170 και πολλά πολλά πολλά άλλα.
5) Θα περιμένω με αγωνία τις προτάσεις σας. Το Latex είναι πανεύκολο. Θα χρειαστείτε το πολύ 1 ωρίτσα για να το μάθετε.

FLAMINGO08 · #10

1) Μα, αυτό δεν σας είπα κι εγώ; Βλέπετε στη διατύπωση της άσκησης αυτής του σχολ. βιβλίου να αναφέρεται κάπου η λέξη εξίσωση;
3) Η φράση μου "όλη η ύλη σε ένα θέμα" είχε μεταφορικό νόημα. Καλό είναι πάντως, να δίνουμε στους μαθητές παραδείγματα θεμάτων που θα μπορούσαν να μπουν στις εξετάσεις, να είναι σωστά δομημένα και με τα ερωτήματα να έχουν μια λογική συνέχεια και όχι να θυμίζουν "πλίνθους και κέραμους ατάκτως ερριμμένους". Υπάρχουν και οι οδηγίες αξιολόγησης του μαθήματος που έχει στείλει το υπουργείο στα σχολεία, τις οποίες φαίνεται ότι αρκετοί συνάδελφοι δεν έχουν διαβάσει.
4) Αυτό καταλάβατε; Είπα εγώ ότι πρέπει να βάζουμε μόνο θέματα παρόμοια με αυτά του σχολ. βιβλίου; Η αναφορά μου στο σχολ. βιβλίο ήταν για τη λανθασμένη (κατά την άποψή μου) διατύπωση ενός ερωτήματος. Επίσης, δεν είναι όλα τα θέματα της τράπεζας σωστά δομημένα και σύμφωνα με τις οδηγίες αξιολόγησης. Ας μη ξεχνάμε άλλωστε και το φιάσκο των περσινών πρώτων ημερών δημοσίευσης των θεμάτων της τράπεζας, παραμονές των εξετάσεων, όπου μετά από λίγες μέρες αποσύρθηκαν δεκάδες λανθασμένα θέματα μετά από παρεμβάσεις συναδέλφων.

Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Re: Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Re: Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Re: Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Re: Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Re: Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Re: Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Re: Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Re: Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Re: Προετοιμασία για τις εξετάσεις - άσκηση 2

Μέλη σε σύνδεση