Μιγαδικός

maiksoul · #1

Έστω μιγαδικός

με $\displaystyle{ \,\,\,\left| z \right| = 2\,\, }$ και ο οποίος ικανοποιεί την :

$\displaystyle{ (1)\,:\,\,\,z^3 - 2z^2 + 2(a^2 + \frac{1}{{a^2 }})z = 8\,\,\,,\,\,\,\,\,a \in \Re ^* \, }$

Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του.

Andreas Panteris · #2

Αγαπητοί Συνάδελφοι Καλησπέρα

Προφανώς $\displaystyle{z\ne 0}$

Είναι $\displaystyle{\left| z \right|=2\Leftrightarrow z\bar{z}=4\Leftrightarrow \bar{z}=\frac{4}{z}}$ (2)
Η (1) ισοδύναμα γράφεται $\displaystyle{{{\bar{z}}^{3}}-2{{\bar{z}}^{2}}+2\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right)\bar{z}=8\text{ }\overset{(2)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }\frac{64}{{{z}^{3}}}-2\frac{16}{{{z}^{2}}}+2}$ \displaystyle{\displaystyle{\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right)\frac{4}{z}=8}

\displaystyle{\text{ }\frac{8}{{{z}^{3}}}-\frac{4}{{{z}^{2}}}+}} $\displaystyle{\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right)\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{8-4z+\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right){{z}^{2}}={{z}^{3}}\overset{(1)}{\mathop{\text{ }\Leftrightarrow }}\,\text{ }}

\displaystyle{8-4z+\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right){{z}^{2}}=\text{ }}} $\displaystyle{8+2{{z}^{2}}-2\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right)z\Leftrightarrow }$ $\displaystyle{\left( z\ne 0 \right)}$

$\displaystyle{-4+\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right)z=\text{ }}$ \displaystyle{\displaystyle{2z-2\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right)\Leftrightarrow }

\displaystyle{\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}-2 \right)z=\text{ }}} $\displaystyle{-2\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}-2 \right)}$ (3)

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\displaystyle{\bullet }$ Αν $\displaystyle{{{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}-2\ne 0\Leftrightarrow {{\alpha }^{4}}-2{{\alpha }^{2}}+1\ne 0\Leftrightarrow {{\left( {{\alpha }^{2}}-1 \right)}^{2}}\ne 0\Leftrightarrow \alpha \ne \pm 1}$ , τότε $\displaystyle{z=-2}$ και η (1) γράφεται:

$\displaystyle{-8-8-4\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right)=8\Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{2+2+\left( {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}} \right)=-2\Leftrightarrow {{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}+6=0} (αδύνατη)

\displaystyle{\bullet }

\displaystyle{{{\alpha }^{2}}+\frac{1}{{{\alpha }^{2}}}-2=0\Leftrightarrow {{\alpha }^{4}}-2{{\alpha }^{2}}+1=0\Leftrightarrow {{\left( {{\alpha }^{2}}-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \alpha =\pm 1} , τότε η (1) γράφεται:

\displaystyle{{{z}^{3}}-2{{z}^{2}}+4z=8\Leftrightarrow }} $\displaystyle{{{z}^{3}}-2{{z}^{2}}+4z-8=0\Leftrightarrow }$ $\displaystyle{{{z}^{2}}(z-2)+4(z-2)=0\Leftrightarrow (z-2)({{z}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{z=2}$ ή $\displaystyle{z=\pm 2i}$ .

maiksoul · #3

Αφού ευχαριστήσω τον συνάδελφο Ανδρέα Παντερή για την πολύ ωραία λύση του , να πω ότι:

η άσκηση είναι δικιά μου κατασκεύη

καθώς και ότι

η πολύ ωραία λύση που έχει δοθεί είναι διαφορετική από την δική μου.

Ίσως να υπάρχει και τρίτη λύση θα δούμε.

Αν δεν υπάρξει άλλη προσπάθεια θα γράψω (και) την δικιά μου λύση.

Θεοδωρος Παγωνης · #4

Επειδή $|z|=2\Rightarrow z\ne 0$ , άρα η δοθείσα σχέση γίνεται :

$2\left( {{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}} \right)=\frac{8}{z}-{{z}^{2}}+2z\in \mathbb{R}$ (1) , άρα

$\frac{8}{z}-{{z}^{2}}+2z=\overline{\frac{8}{z}-{{z}^{2}}+2z}\Leftrightarrow \frac{8}{z}-{{z}^{2}}+2z=\frac{8}{{\bar{z}}}-{{\bar{z}}^{2}}+2\bar{z}\Leftrightarrow$

$8\bar{z}-{{z}^{2}}|z{{|}^{2}}+2z|z{{|}^{2}}=8z-{{\bar{z}}^{2}}|z{{|}^{2}}+2\bar{z}|z{{|}^{2}}\Leftrightarrow$

$8\bar{z}-4{{z}^{2}}+8z=8z-4{{\bar{z}}^{2}}+8\bar{z}\Leftrightarrow {{\bar{z}}^{2}}-{{z}^{2}}=0\overset{z=x+yi}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,$

$4xyi=0\Leftrightarrow x=0$ ή y=0

.

• Για x=0

στην σχέση (1) έχουμε :

$\frac{8}{yi}-{{\left( yi \right)}^{2}}+2yi\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -\frac{8yi}{{{y}^{2}}}+{{y}^{2}}+2yi\in \mathbb{R}\Leftrightarrow$

$-\frac{8y}{{{y}^{2}}}+2y=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}=4\Leftrightarrow y=\pm 2$

Άρα ${{z}_{1}}=2i$ ή ${{z}_{2}}=-2i$

• Για y=0

στην σχέση (1) έχουμε :

$\frac{8}{x}-{{x}^{2}}+2x\in \mathbb{R}$ , που ισχύει για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Όμως $|z|=2\overset{z=x}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\left| x \right|=2\Leftrightarrow x=\pm 2$ .

Όμως για x=-2

η αρχική σχέση γίνεται ${{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=-6$ , αδύνατη.

Άρα ${{z}_{3}}=2$ .

#5

Θέτουμε $\displaystyle{w=\frac{z}{2}}$ και $\displaystyle{m=a^2 +\frac{1}{a^2}\geq 2.}$

Το πρόβλημα μετασχηματίζεται στο εξής:

Αν $\displaystyle{|w|=1}$ και $\displaystyle{w^3-w^2+mw-1=0,}$ να βρεθεί ο $\displaystyle{w.}$

Έχουμε $\displaystyle{m=w+\frac{1}{w}-w^2=w+\bar{w}-w^2.}$

Άρα $\displaystyle{w^2\in \mathbb{R},}$ οπότε $\displaystyle{w\in \mathbb{R}\vee w\in \mathbb{I}}$ και επειδή $\displaystyle{|w|=1}$ βρίσκουμε $\displaystyle{w=\pm 1\vee w=\pm i.}$

Με έλεγχο βρίσκουμε ότι δεκτοί είναι οι $\displaystyle{1, \pm i.}$

Γυρνώντας στην αρχική διατύπωση βρίσκουμε $\displaystyle{z=2\vee z=\pm 2i.}$

maiksoul · #6

Ευχαριστώ όσους ασχολήθηκαν με την άσκηση για τις ωραίες λύσεις τους !

Δίνω και την δική μου λύση (η οποία είναι διαφορετική από αυτές που έχουν δοθεί).

maiksoul έγραψε:Έστω μιγαδικός με $\displaystyle{ \,\,\,\left| z \right| = 2\,\, }$ και ο οποίος ικανοποιεί την :

$\displaystyle{ (1)\,:\,\,\,z^3 - 2z^2 + 2(a^2 + \frac{1}{{a^2 }})z = 8\,\,\,,\,\,\,\,\,a \in \Re ^* \, }$

Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του.

Η

γίνεται:

$\displaystyle{ z^2 (z - 2) = 2z[\,\frac{4}{z} - (a^2 + \frac{1}{{a^2 }})\,] \Leftrightarrow z^2 (z - 2) = 2z\,[\,\,\overline {\,z\,\,} - (a^2 + \frac{1}{{a^2 }})\,]\,\,(2) }$

παίρνοντας μέτρα έχουμε:

$\displaystyle{ (2) \Rightarrow \left| {z - 2} \right| = \left| {\overline {\,z\,\,} - (a^2 + \frac{1}{{a^2 }})} \right| \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right| = \left| {\,z - (a^2 + \frac{1}{{a^2 }})\,} \right|(*) }$
Είναι όμως $\displaystyle{ a^2 + \frac{1}{{a^2 }} \ge 2\,\,\, }$ .
Αν $\displaystyle{ \bullet a^2 + \frac{1}{{a^2 }} \succ 2:\,\,(*) \Rightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) \succ 2 }$ το οποίο είναι άτοπο αφού $\displaystyle{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) \le \left| z \right| = 2 }$
επομένως
$\displaystyle{ a^2 + \frac{1}{{a^2 }} = 2 }$
και η αρχική γίνεται:

$\displaystyle{ z^2 (z - 2) + 4(z - 2) = 0 \Leftrightarrow z = 2\,\, \vee \,\,z\, = \pm 2i }$

Μιγαδικός

Μιγαδικός

Re: Μιγαδικός

Re: Μιγαδικός

Re: Μιγαδικός

Re: Μιγαδικός

Re: Μιγαδικός

Μέλη σε σύνδεση