Σύνθεση!

#1

Αυτά το ερωτήματα προέκυψαν σήμερα στην προσπάθεια να συνθέτω κάποιο θέμα :

α) Αν η σύνθεση δύο συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το $\mathbb R$ είναι σταθερή συνάρτηση, μπορούμε να πούμε ότι μία τουλάχιστον

από αυτές είναι σταθερές ;

β) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα ανοικτό διάστημα έχει ακρότατα και γιατί ;

Απλά μεν, αλλά σχετικά ενδιαφέροντα ερωτήματα για το αντίστοιχο μάθημα στην τάξη.

Μπ

Σίλης · #2

Για το πρώτο ερώτημα: όχι. Για παράδειγμα, άς πάρουμε τη συνάρτηση που στέλνει στο 0 αν το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του ορίσματος είναι απο 0 έως 5, και στο 1 αλλιώς. Η σύνθεσή της με τον εαυτό της δίνει πάντα 0, χωρίς να είναι σταθερή.

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
α) Αν η σύνθεση δύο συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το $\mathbb R$ είναι σταθερή συνάρτηση, μπορούμε να πούμε ότι μία τουλάχιστον

από αυτές είναι σταθερές ;

Αν θέλουμε αντιπαράδειγμα με συνεχείς f,g

, ένα κατάλληλο είναι το $f(x)=x-|x|,\, g(x)=x^2$ . Σε αυτή την περίπτωση έχουμε f(g(x))= x^2-|x^2|=0

, και λοιπά.

Αν επιπλέον θέλουμε αντιπαράδειγμα με f=g

τότε ... το βάζω ως άσκηση. Βρείτε μία

πέρα από την

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Christos.N · #4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
β) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα ανοικτό διάστημα έχει ακρότατα και γιατί ;

Μπ

Μια γνησίως μονότονη και συνεχής συνάρτηση σε ανοικτό διάστημα δεν έχει ακρότατα.

GMANS · #5

Έστω f ορισμένη κα γνησίως αύξουσα στο (a, b)

και έστω ότι η

παρουσιάζει μέγιστο στο $x_0\epsilon (a, b) .$
Όμως $x_0 \prec \frac{x_0+b}{2}\epsilon (a, b)$
και

γνησίως αύξουσα τότε $f(x_0) \prec f(\frac{x_0+b}{2})$ άτοπο
όμοια προκύπτει άτοπο αν

γνησίως αύξουσα και παρουσιάζει ελάχιστο ή

γνησίως φθίνουσα και παρουσιάζει μέγιστο ή

γνησίως φθίνουσα και παρουσιάζει ελάχιστο

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
α) Αν η σύνθεση δύο συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το $\mathbb R$ είναι σταθερή συνάρτηση, μπορούμε να πούμε ότι μία τουλάχιστον

από αυτές είναι σταθερές ;
Αν θέλουμε αντιπαράδειγμα με συνεχείς , ένα κατάλληλο είναι το $f(x)=x-|x|,\, g(x)=x^2$ . Σε αυτή την περίπτωση έχουμε , και λοιπά.

Αν επιπλέον θέλουμε αντιπαράδειγμα με τότε ... το βάζω ως άσκηση. Βρείτε μία πέρα από την

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 0, \ x\in \Bbb{Q} \\ 1, \ x\notin \Bbb{Q} \end{cases}}$

#7

socrates έγραψε:
$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 0, \ x\in \Bbb{Q} \\ 1, \ x\notin \Bbb{Q} \end{cases}}$

Ζητώ συνεχή

dimitris.ligonis · #8

#9

dimitris.ligonis έγραψε: $\displaystyle{f(x)=\begin{cases} -x, \ x>0 \\ \ \ 0, \ x\leqslant 0 \end{cases}}$

Σωστά, αλλά αυτή είναι το $\frac {1}{2}$ της συνάρτησης

που έγραψα. Εννοείται ότι ζητώ ουσιωδώς διαφορετική. Αλλιώς τα γινόμενα της

που έγραψα επί, για παράδειγμα, $\frac {1}{3},\, \frac {1}{4}, \frac {1}{5}, ...$ θα ήσαν άπειρες το πλήθος νέες. Δεν θέλουμε τόσο μικρή παραλλαγή. Επίσης οι

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} -x^2, \ x>0 \\ \ \ 0, \ x\leqslant 0 \end{cases}}$

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} -x^4, \ x>0 \\ \ \ 0, \ x\leqslant 0 \end{cases}}$

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} -x^2-|\sin x| + \cos x -1 , \ x>0 \\ \ \ 0, \ x\leqslant 0 \end{cases}}$

δεν μετρούν ως ουσιωδώς διαφορετικές.

M.

Σύνθεση!

Σύνθεση!

Re: Σύνθεση!

Re: Σύνθεση!

Re: Σύνθεση!

Re: Σύνθεση!

Re: Σύνθεση!

Re: Σύνθεση!

Re: Σύνθεση!

Re: Σύνθεση!

Μέλη σε σύνδεση