Επιστροφή στα Seventies

#1

Καλημέρα σε όλους.
Θα ήθελα οι λύσεις να γίνουν δίχως τη χρήση παραγώγων. (Εξηγήσεις θα ακολουθήσουν...)

Να βρεθεί το πεδίο τιμών του κλάσματος $\displaystyle \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ , όπου το $\displaystyle x$ διατρέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς.

STOPJOHN · #2

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Καλημέρα σε όλους.
Θα ήθελα οι λύσεις να γίνουν δίχως τη χρήση παραγώγων. (Εξηγήσεις θα ακολουθήσουν...)

Να βρεθεί το πεδίο τιμών του κλάσματος $\displaystyle \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ , όπου το $\displaystyle x$ διατρέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς.

Καλημέρα

Θέτουμε $y=\dfrac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1},x^{2}-x+1>0,x^{2}+x+1>0,D<0,y>0$

Συνεπώς είναι

$(y-1)x^{2}+(y+1)x+y-1=0,(*) y=1,x=0 y\neq 1,D\geq 0,x,y\varepsilon R, 3y^{2}-10y+3\leq 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\leq y\leq 3,y\succ 0,y\neq 1$

Το σύνολο τιμών του κλάσματος είναι το κλειστό διάστημα $\left[\dfrac{1}{3},3 \right],$

Υποψιάζομαι ότι η παγίδα είναι στο y=1,x=0

. Όμως το σύνολο τιμών προκύπτει από την ένωση των διαστημάτων.....γνωστά

Φιλικά Γιάννης

#3

Καλησπέρα, Γιάννη,

Ευχαριστώ ιδιαίτερα για αυτή τη λύση!

Άλλο ένα παράδειγμα όπου η χρήση της διακρίνουσας είναι απολύτως σωστή στη συγκεκριμένη λύση, αν και οι συντελεστές εξαρτώνται από το

.

Χαίρομαι άλλη μια φορά για το εξής μήνυμα .

STOPJOHN έγραψε:
Γιώργος Ρίζος έγραψε:Καλημέρα σε όλους.
Θα ήθελα οι λύσεις να γίνουν δίχως τη χρήση παραγώγων. (Εξηγήσεις θα ακολουθήσουν...)

Να βρεθεί το πεδίο τιμών του κλάσματος $\displaystyle \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ , όπου το $\displaystyle x$ διατρέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
Καλημέρα

Θέτουμε $y=\dfrac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1},x^{2}-x+1>0,x^{2}+x+1>0,D<0,y>0$

Συνεπώς είναι

$(y-1)x^{2}+(y+1)x+y-1=0,(*) y=1,x=0 y\neq 1,D\geq 0,x,y\varepsilon R, 3y^{2}-10y+3\leq 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\leq y\leq 3,y\succ 0,y\neq 1$

Το σύνολο τιμών του κλάσματος είναι το κλειστό διάστημα $\left[\dfrac{1}{3},3 \right],$

Υποψιάζομαι ότι η παγίδα είναι στο . Όμως το σύνολο τιμών προκύπτει από την ένωση των διαστημάτων.....γνωστά

Φιλικά Γιάννης

Φιλικά,

Αχιλλέας

Atemlos · #4

achilleas έγραψε:Καλησπέρα, Γιάννη,

Ευχαριστώ ιδιαίτερα για αυτή τη λύση!

Άλλο ένα παράδειγμα όπου η χρήση της διακρίνουσας είναι απολύτως σωστή στη συγκεκριμένη λύση, αν και οι συντελεστές εξαρτώνται από το .

Αχιλλέας

Η οποία που ακριβώς διδάσκεται στα σχολικά βιβλία ;;;

#5

Atemlos έγραψε: Η οποία που ακριβώς διδάσκεται στα σχολικά βιβλία ;;;

Λίγη υπομονή φίλτατε και θα απαντηθεί το ερώτημά σας. Απλά λίγη υπομονή.

#6

Πράγματι, θα απαντηθεί.

Γενικότερα, πάντως, η ορθότητα μιας λύσης σε ένα μαθηματικό πρόβλημα δεν κρίνεται από το αν υπάρχει ρητή αναφορά στη μέθοδο επίλυσης που ακολουθεί κάποιος στο σχολικό βιβλίο μιας χώρας, οποιαδήποτε χώρας!

Μια λύση είναι σωστή διεθνώς, αλλά όχι στην Ελλάδα;

'Η, σωστή και αποδεκτή σε μια χώρα, και μη αποδεκτή σε άλλη;

Ούτε από το σε ποια ηλικία τη λύνει κανείς.

Η λύση που δίνει ένας μαθητής είναι λανθασμένη ή ελλειπής, αλλά η ίδια λύση αυτή από ένα φοιτητή γίνεται σωστή (ακόμα κι αν ούτε ο φοιτητής διδάχτηκε τη μέθοδο που χρησιμοποιεί);

Είναι δύσκολο να υπερασπιζόμαστε το προφανές.

Το απλό και το προφανές είναι πολλές φορές σωστό, όμως.

Η αμφιβολία και η καχυποψία για την ορθότητα του προφανούς είναι υγιείς αντιδράσεις, αλλά (πρέπει να) νικούνται από την αλήθεια στο τέλος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

fdns · #7

(Καταπληκτικό! Αν και δεν είμαι ενεργός/γνωστός στο φόρουμ - παρόλο μπαίνω που και που - και γενικότερα δε θέλω να συνεισφέρω σε μια κουβέντα στην οποία παλαιότερα φαίνεται να είχαν οξυνθεί οι τόνοι, μόλις τις προάλλες ανακάλυψα το αρχικό ποστ περί χρήσης της διακρίνουσας και το συζητούσα με ένα γνωστό θαμώνα του mathematica. Συνεπώς, δε θα μπορούσα να μην πω την άποψή μου.)

Έχω την εντύπωση πως υπέρ-αναλύουμε πράγματα μικρής μαθηματικής αξίας. Οι παραπομπές σε γραφόμενα επιφανών μαθηματικών θα έπρεπε να είχαν λήξει το θέμα, για την ακρίβεια, δε θα έπρεπε να γίνουν καν. Το "δεν καταλαβαίνω" είναι η αρχή της μάθησης και πρέπει να το προστατεύουμε (από την άγνοια περνάμε στη γνώση), το "δε θέλω να καταλάβω", όμως, για διάφορους λόγους, είναι άλλο πράγμα.

Η υπερβολική - υπερβολικά κακής ποιότητας ασκησιολογία των πανελληνίων μας έχει κάνει πολύ κακό τελικά...

Την καλησπέρα μου και συγγνώμη για την παρέμβαση, αλλά είχα την ανάγκη να το πω.

KARKAR · #8

Χωρίς ... παρόμοιες παρατηρήσεις λύθηκε εδώ

KARKAR · #9

Για την συζήτηση για την οποία έγινε υπαινιγμός , διαβάστε ωραία κείμενα εδώ

B.Wolf · #10

Μια εναλλακτική προσέγγιση:
με $x\neq 0$ :
$\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=1-\frac{2x}{x^2+x+1}=1-\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$
Αν x>0

:
$x+\frac{1}{x}\geq 2$ (ισότητα για x=1

)
άρα $x+\frac{1}{x}+1\geq 3 \Leftrightarrow 1-\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}\geq \frac{1}{3} \Leftrightarrow f(x)\geq \frac{1}{3}$ για κάθε x>0

(ισότητα για x=1

)
Αν

:
$x+\frac{1}{x}+1\leq -1 \Leftrightarrow -(x+\frac{1}{x}+1)\geq 1$ και τελικά $1-\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}\leq 3$
Άρα $f(x)\leq 3$ για κάθε x<0

(ισότητα για x=-1

)
Και

άρα το σύνολο τιμών είναι το $[\frac{1}{3},3]$

#11

Γνωρίζοντας το αποτέλεσμα, σίγουρα μπορούμε να επινοήσουμε κι άλλες λύσεις, αφού

x^2+x+1>0

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ,

και

$\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\leq 3 \iff x^2-x+1\leq 3x^2+3x+3\iff 2(x+1)^2\geq 0$ ,

με το "=" ανν x=-1

, ενώ

$\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\geq \dfrac{1}{3} \iff 3x^2-3x+3\geq x^2+x+1\iff 2(x-1)^2\geq 0$

με το "=" ανν x=1

.

B.Wolf έγραψε:....
άρα το σύνολο τιμών είναι το $[\frac{1}{3},3]$

Όχι ακριβώς. Και με τους δυο τρόπους αποδεικνύουμε ότι το σύνολο τιμών περιέχεται στο $[\frac{1}{3},3]$ .

Για την ισότητα χρειαζόμαστε είτε τη συνέχεια είτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση, όμως.

Φιλικά,

Αχιλλέας

makisman · #12

achilleas έγραψε: ...

B.Wolf έγραψε:....
άρα το σύνολο τιμών είναι το $[\frac{1}{3},3]$
Όχι ακριβώς. Και με τους δυο τρόπους αποδεικνύουμε ότι το σύνολο τιμών περιέχεται στο $[\frac{1}{3},3]$ .

Για την ισότητα χρειαζόμαστε είτε τη συνέχεια είτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση, όμως.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μπορούμε να αποφύγουμε τη συνέχεια υποθέτοντας οτι υπάρχει $\displaystyle{y\in [\frac{1}{3},3]$

ώστε $\displaystyle{\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\neq y$ για κάθε

και λύνοντας τη σχέση ως προς

καταλήγουμε σε άτοπο .

Φυσικά πάλι λύνουμε δευτεροβάθμια ,αλλά αυτή τη φορά το

ειναι ανεξάρτητο του

.

#13

makisman έγραψε:....
Μπορούμε να αποφύγουμε τη συνέχεια ...

Η συνέχεια αναφέρθηκε ως μια από τις επιλογές,

achilleas έγραψε: ...
Για την ισότητα χρειαζόμαστε είτε τη συνέχεια είτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση, όμως.
...

όχι η μοναδική, και φυσικά αναφέρθηκε η 2θμια εξίσωση.

makisman έγραψε:.......
υποθέτοντας οτι υπάρχει $\displaystyle{y\in [\frac{1}{3},3]$

ώστε $\displaystyle{\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\neq y$ για κάθε

και λύνοντας τη σχέση ως προς καταλήγουμε σε άτοπο .

Φυσικά πάλι λύνουμε δευτεροβάθμια ,αλλά αυτή τη φορά το ειναι ανεξάρτητο του .

Επίσης, όταν μπορούμε να έχουμε μια απλή ευθεία απόδειξη, αποφεύγουμε την απαγωγή σε άτοπο.

Αρκεί να δείξουμε ότι αν $a\in [1/3,3]$ , τότε υπάρχει

ώστε $\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=a$ , λύνοντας μια εξίσωση 1ου βαθμού αν a=1

, και 2ου βαθμου με διακρίνουσα $\geq 0$ , αλλιώς.

Φιλικά,

Αχιλλέας

makisman · #14

Σωστά, το θέμα το ανέφερα πιο πολύ γιατί έτσι αποφεύγεται το περιβόητο πρόβλημα της εξάρτησης του y στη δευτεροβάθμια

#15

makisman έγραψε:Σωστά, το θέμα το ανέφερα πιο πολύ γιατί έτσι αποφεύγεται το περιβόητο πρόβλημα της εξάρτησης του y στη δευτεροβάθμια

Δεν υπάρχει απολύτως κανένα πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή, στη λύση του Γιάννη, δηλαδή, που είναι πλήρης και διεθνώς "standard", αποδεκτή, ενώ είμαι σίγουρος ότι υπάρχει σε αμέτρητες αξιόλογες ελληνικές πηγές, επίσης.

Το θέμα αυτό το ανακαλύψανε ως "πρόβλημα" κάποιοι στην Ελλάδα. Ας μου παρουσιάσει κάποιος κάποιο άρθρο από ξενόγλωσσο περιοδικό.

Αφού είναι μείζονος σημασίας για τη μαθηματική ορθότητα, θα έπρεπε σίγουρα κάτι να έχει γραφτεί, σε κάποια γλώσσα.

Ρουμάνοι, Ρώσοι, Βούλγαροι, Ούγγροι, Βιετναμέζοι, Αμερικάνοι, και άλλοι, το αφήσανε να περάσει έτσι, και το ανακαλύψαμε εμείς;

Στην πραγματικότητα, είναι τόσο απλό που δε χρειάζεται καν ιδιαίτερη αναφορά σε οποιοδήποτε βιβλίο, σε οποιοδηποτε περιοδικό.

Η απάντηση είναι τόσο απλή!

Ποτέ δε μπορούσα να φανταστώ ότι θα αμφισβητούσαμε τα προφανή, μόνο και μόνο από σεβασμό σε κάποιον.

Η αλήθεια είναι αλήθεια! Ας τελειώσει πια αυτό το θέμα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

makisman · #16

achilleas έγραψε:
makisman έγραψε:Σωστά, το θέμα το ανέφερα πιο πολύ γιατί έτσι αποφεύγεται το περιβόητο πρόβλημα της εξάρτησης του y στη δευτεροβάθμια
Δεν υπάρχει απολύτως κανένα πρόβλημα με τη μέθοδο αυτή, στη λύση του Γιάννη, δηλαδή, που είναι πλήρης και διεθνώς "standard", αποδεκτή, ενώ είμαι σίγουρος ότι υπάρχει σε αμέτρητες αξιόλογες ελληνικές πηγές, επίσης.

Το θέμα αυτό το ανακαλύψανε ως "πρόβλημα" κάποιοι στην Ελλάδα. Ας μου παρουσιάσει κάποιος κάποιο άρθρο από ξενόγλωσσο περιοδικό.

Αφού είναι μείζονος σημασίας για τη μαθηματική ορθότητα, θα έπρεπε σίγουρα κάτι να έχει γραφτεί, σε κάποια γλώσσα.

Ρουμάνοι, Ρώσοι, Βούλγαροι, Ούγγροι, Βιετναμέζοι, Αμερικάνοι, και άλλοι, το αφήσανε να περάσει έτσι, και το ανακαλύψαμε εμείς;

Στην πραγματικότητα, είναι τόσο απλό που δε χρειάζεται καν ιδιαίτερη αναφορά σε οποιοδήποτε βιβλίο, σε οποιοδηποτε περιοδικό.

Η απάντηση είναι τόσο απλή!

Ποτέ δε μπορούσα να φανταστώ ότι θα αμφισβητούσαμε τα προφανή, μόνο και μόνο από σεβασμό σε κάποιον.

Η αλήθεια είναι αλήθεια! Ας τελειώσει πια αυτό το θέμα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα ,εννοείται οτι δεν αντιδικώ με εσένα και εννοείται ότι αποδέχομαι πλήρως και τη λύση του Γιάννη. Το πρόβλημα δε το δημιουργώ εγώ ,που ούτε καν διορθωτής είμαι και το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί μέσα από ένα νήμα συζήτησης .Απο τη στιγμή που δεν υπάρχει επίσημη Ελληνική θέση αν είναι αποδεκτή μια τέτοια λύση και από τη στιγμή που το θέμα επανέρχεται κάθε χρόνο σχεδόν ,εγώ τι να κάνω ; να το βάλω το χέρι μου στη φωτιά ; Όπως είπε και ο κ.Στεργίου σε άλλο θέμα πρέπει να γίνουν κάποιες κινήσεις ώστε να λυθούν αυτά τα ζητήματα ,αλλά μέχρι τότε ;

Al.Koutsouridis · #17

Atemlos έγραψε: Η οποία που ακριβώς διδάσκεται στα σχολικά βιβλία ;;;

Δε νομίζω να χειάζεται να διδαχθεί κάτι τέτοιο για να μπορεί να το χρησιμοποιήσει κανείς. Βέβαια καλό θα ήταν να υπήρχε ένα παράδειγμα ή εφαρμογή σε σχολικό βιβλίο ώστε ο μαθητής να έρθει σε επαφή με αυτή την μέθοδο.

axilleas έγραψε: Αφού είναι μείζονος σημασίας για τη μαθηματική ορθότητα, θα έπρεπε σίγουρα κάτι να έχει γραφτεί, σε κάποια γλώσσα.

Ρουμάνοι, Ρώσοι, Βούλγαροι, Ούγγροι, Βιετναμέζοι, Αμερικάνοι, και άλλοι, το αφήσανε να περάσει έτσι, και το ανακαλύψαμε εμείς;

Σε εισαγωγικές εξετάσεις στη Ρωσία συχνά πέφτουν παρόμοια θέματα. Για παράδειγμα η άσκηση εδώ.

#18

Al.Koutsouridis έγραψε:...
axilleas έγραψε: Αφού είναι μείζονος σημασίας για τη μαθηματική ορθότητα, θα έπρεπε σίγουρα κάτι να έχει γραφτεί, σε κάποια γλώσσα.

Ρουμάνοι, Ρώσοι, Βούλγαροι, Ούγγροι, Βιετναμέζοι, Αμερικάνοι, και άλλοι, το αφήσανε να περάσει έτσι, και το ανακαλύψαμε εμείς;
Σε εισαγωγικές εξετάσεις στη Ρωσία συχνά πέφτουν παρόμοια θέματα. Για παράδειγμα η άσκηση εδώ.

Το σχόλιο αυτό αφορούσε τη χρήση της διακρίνουσας, και όχι το προτεινόμενο πρόβλημα του Γιώργου.

Νόμιζα ότι ήταν σαφές.

Εννοείται ότι υπάρχουν τέτοια θέματα σε άλλες χώρες, κι όχι μόνο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Σίλης · #19

Με ιντρίγκαραν οι παλιές συζητήσεις στο φόρουμ, και είπα να παίξω με την εξής (εύλογη) γενίκευση.

Ερώτημα. Ας είναι $a_i, b_i, c_i, x \in \mathbb{R}$ , με $a_i \neq 0$ για i = 1, 2

. Τί πραγματικές τιμές παίρνει το κλάσμα $\displaystyle \frac{a_1 x^{2} + b_1 x + c_1}{a_2 x^2 + b_2 x+ c_2} ;$

Απάντηση. Να πώ απ' την αρχή οτι, έτσι όπως τό 'ψαξα, θα βολέψει να χρησιμοποιήσουμε τις συντομεύσεις $\Delta_{ij} := b_i b_j - 4 a_i c_j$ για i = 1, 2

. Έτσι, η $\Delta_{11}$ είναι η διακρίνουσα του αριθμητή και η $\Delta_{22}$ η διακρίνουσα του παρονομαστή, αλλα έχουμε και δύο μπασταρδεμένες.

Ας είναι

το σύνολο τιμών του κλάσματος, το οποίο καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ένα οποιοδήποτε $y \in \mathbb{R}$ θ' ανήκει εξορισμού στο

, άν ικανοποιεί τη φόρμουλα

$(1)\qquad \displaystyle \mathop{\exists}_{x \in \mathbb{R}} \ \frac{a_1 x^{2} + b_1 x + c_1}{a_2 x^2 + b_2 x+ c_2} = y .$

Θεωρούμε λοιπόν ένα οποιοδήποτε $y \in \mathbb{R}$ (το «φιξάρουμε» που λέμε) --ανεξάρτητα απο το , άς το τονίσω αυτό εδώ-- και θέλουμε να καταλάβουμε καλύτερα τί πρέπει να ικανοποιεί προκειμένου ν' ανήκει στο

. Ήδη πρέπει να πούμε οτι άν ο παρονομαστής είναι μηδέν, τότε το σύνολο που ψάχνουμε είναι κενό: το κλάσμα δέν παίρνει πραγματικές τιμές, δέν ορίζεται. (Άν είναι να δούμε συνεπώς το κλάσμα ώς συνάρτηση, και δή ολική συνάρτηση, θα πρέπει να την ορίσουμε το πολύ στο $\mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2a_2} (-b_2 + \sqrt{\Delta_{22}}), \frac{1}{2a_2} (-b_2 - \sqrt{\Delta_{22}}) \}$ · όχι οτι χρειάζεται να το δούμε ώς συνάρτηση βέβαια.)

Με την προϋπόθεση οτι δέν μηδενίζεται ο παρονομαστής, προχωράμε και λέμε οτι η (1)

είναι ισοδύναμη με την φόρμουλα

$(2)\qquad \displaystyle \mathop{\exists}_{x \in \mathbb{R}} \ (a_2 y - a_1)x^2 + (b_2 y - b_1)x + (c_2 y - c_1) = 0 .$

Εδώ το πράμα γίνεται ίσως λίγο ύπουλο, γιατι υπάρχει περίπτωση να ισχύει a_2 y - a_1 = 0

, και τότε έχουμε ήδη μία πιθανή αποδεκτή μορφή για το

, δηλαδή την τιμή $y = \frac{a_1}{a_2}$ . Λέω «πιθανή» όμως. Γιατι για ποιό όρισμα την παίρνουμε αυτήν; Υπόψιν οτι το ερώτημα «για ποιό όρισμα» δέν προκύπτει απο κάποιου είδους μαθηματικό μαζοχισμό, αλλα το θέτει αυτόματα ο ποσοδείκτης!: αυτός ειναι που απαιτεί να εντοπίσουμε ένα (τουλάχιστον)

για το οποίο το κλάσμα να παίρνει την συγκεκριμένη τιμή, αλλιώς η απόδειξη θα είναι λειψή.

Θέτοντας λοιπόν στην (2)

όπου

το $\frac{a_1}{a_2}$ , και κάνοντας ανώδυνες πράξεις, φτάνουμε στην ισοδύναμη φόρμουλα

$(2.1)\qquad \displaystyle \mathop{\exists}_{x \in \mathbb{R}} \ (a_1 b_2 - a_2 b_1) x = a_2 c_1 - a_1 c_2 .$

Με λίγες καλλωπιστικές πράξεις βλέπουμε οτι η φόρμουλα (2.1)

ικανοποιείται ακριβώς όταν

$(2.2)\qquad \displaystyle \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \quad \lor \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} .$

Ο ποσοδείκτης εδώ περιττεύει (γι' αυτό και δέν τον έγραψα): άν ικανοποιείται η τελευταία, μπορούμε, αν θέλουμε, στην (2.1)

να επιλέξουμε όποιο συγκεκριμένο

τραβά η όρεξή μας (έντιτ: άν ισχύει το δεξιό διάζευγμα! άν ισχύει το αριστερό, παίρνουμε βέβαια το μοναδικό $x = \frac{a_2 c_1 - a_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$ --σόρι). Απ' την άλλη, ο ποσοδείκτης δέν περιττεύει καθόλου στη φόρμουλα (2.1)

: άμα έχουμε $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ αλλα $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ , η (2.1)

δέν ικανοποιείται (δέν υπάρχουν τέτοια

) και άρα η $y = \frac{a_1}{a_2}$ δέν είναι αποδεκτή ως τιμή του κλάσματος!

Μετά απ' αυτές τις παρατηρήσεις, γυρνάμε στην (2)

, υποθέτοντας αυτήν τη φορά οτι $a_2 y - a_1 \neq 0$ . Τί μας λέει η φόρμουλα σ' αυτήν την περίπτωση; οτι το

για το οποίο συζητάμε είναι τιμή του κλάσματος άν και μόνο άν το τριώνυμο g(x) := (a_2 y - a_1)x^2 + (b_2 y - b_1)x + (c_2 y - c_1)

έχει πραγματικές ρίζες. Μ' άλλα λόγια, το

είναι όπως το θέλουμε άν και μόνο άν η διακρίνουσα $\Delta_g$ του

είναι μή αρνητική. Η διακρίνουσα αυτή, με απλές αλλα προσεκτικές πράξεις, βγαίνει ίση με την παράσταση $\Delta_{11}y^2 - (\Delta_{12} + \Delta_{21})y + \Delta_{22}$ , άρα τελικά η (2)

γράφεται ισοδύναμα

$(3)\qquad \Delta_{11}y^2 - (\Delta_{12} + \Delta_{21})y + \Delta_{22} \geq 0 .$

Και έτσι, καταλήγουμε σε ένα νέο τριώνυμο, ας το πούμε $h(y) := \Delta_{11}y^2 - (\Delta_{12} + \Delta_{21})y + \Delta_{22}$ , στο οποίο πλέον καλούμαστε να κάνουμε μελέτη προσήμου: τα

που θέλουμε, είναι ακριβώς εκείνα για τα οποία το

είναι μή αρνητικό, και για να τα εντοπίσουμε θα πρέπει να εξετάσουμε τη διακρίνουσα $\Delta_h$ κατα τα γνωστά. Και προσέξτε πάλι το εξής: στην τελευταία φόρμουλα δέ χρειαζόμαστε ποσόδειξη του

: όλα εκείνα τα $\Delta_{ij}$ εξαρτιούνται μόνο απ' τα a_i, b_i, c_i

(και το

φυσικά έχει φιξαριστεί ανεξάρτητα απ' το

ήδη απ' την αρχή).

Άρα έχουμε και λέμε: δύο τριώνυμα του

απο αριθμητή και παρονομαστή του αρχικού κλάσματος, ένα τριώνυμο

του

στη

και άλλο ένα τριώνυμο

, αυτήν τη φορά του

, στη φόρμουλα (3)

. Να τ' αφήσω;...

(Ελπίζω να μήν έκανα καμιά φοβερή πατάτα επάνω, πλίζ διορθώστε αν βρείτε καμιά βλακεία. Έντιτ: ήδη διόρθωσα τα «ορίζουσα» σε «διακρίνουσα»...)

Όπως είπα και στην αρχή, με ιντρίγκαραν οι αναφορές σε παλιές συζητήσεις εντός φόρουμ (που δέν τις διάβασα εξονυχιστικά όμως), γι' αυτό και πωρώθηκα με τη γενική περίπτωση, να καταλάβω ποιό ηταν το πρόβλημα. Συγκεκριμένα, διαβάζοντας διαγώνια τις διάφορες απόψεις, συνέβαινε το εκνευριστικό να βρίσκω οτι συμφωνούσα λίγο-πολύ με όλους... Συμφωνώ ας πούμε με τον Κυριακόπουλο εκεί, που πολύ σωστά (κι' άς λίγο θολά ίσως) κρούει τον κώδωνα του κινδύνου: τις προϋποθέσεις ενός αποτελέσματος (θεωρήματος) δέν είναι να τις παίρνουμ' ελαφρά τη καρδία (παρόλο που οι κίνδυνοι ίσως φαίνονται μόνο σε πιό περίπλοκα παραδείγματα απ' τα συνηθισμένα), και οι ποσοδείκτες ασφαλώς παίζουνε σημαντικότατο ρόλο (που στο σχολείο συχνά περνιέται στο ντούκου, δυστυχώς). Πιό πολύ όμως συμφωνώ με το πόσο απλά και ωραία το συνόψισε ο Μαυρογιάννης εδώ: τα παραπάνω είναι ουσιαστικά το πόστ του Μαυρογιάννη γραμμένο λίγο πιό αναλυτικά για την ειδική περίπτωση (της γενικής μορφής) της άσκησης.

Πέρ' απ' αυτά τα παραμαθηματικά, θα είχε ενδιαφέρον να σκαρφιστεί κανείς ύπουλες ασκήσεις με βάση τη γενική μορφή του κλάσματος (αυτή ηταν η ιδέα μου αρχικά, αλλα στο μεταξύ τα έγραψα ήδη πολλά...). Υπάρχουνε πολλά ουσιωδώς διαφορετικά κλάσματα τριωνύμων που να προσφέρονται για σχολικές ασκήσεις τέτοιου τύπου, ή ουσιαστικά το κλάσμα του αρχικού πόστ ήδη καλύπτει ότι κρίνεται άξιο να διδαχτεί στην τάξη;... Δέ ξέρω.

Έντιτ: Και αλήθεια, τί θα λέγατε στα παιδιά οτι τους διδάσκει αυτή η άσκηση ακριβώς; (εννοώ του αρχικού πόστ)

_______________

ΕΝΤΙΤ: Το διόρθωσα και στο μετέπειτα πόστ, που διορθώνω και άλλα λάθη, αλλα να το γράψω και δώ: η φόρμουλα (3)

είναι λάθος, η σωστή είναι

$(3')\qquad \Delta_{22}y^2 - (\Delta_{12} + \Delta_{21})y + \Delta_{11} \geq 0 ,$

νά 'ναι καλά ο Δημήτρης.

#20

Σίλης έγραψε: Πέρ' απ' αυτά τα παραμαθηματικά, θα είχε ενδιαφέρον να σκαρφιστεί κανείς ύπουλες ασκήσεις με βάση τη γενική μορφή του κλάσματος (αυτή ηταν η ιδέα μου αρχικά, αλλα στο μεταξύ τα έγραψα ήδη πολλά...). Υπάρχουνε πολλά ουσιωδώς διαφορετικά κλάσματα τριωνύμων που να προσφέρονται για σχολικές ασκήσεις τέτοιου τύπου, ή ουσιαστικά το κλάσμα του αρχικού πόστ ήδη καλύπτει ότι κρίνεται άξιο να διδαχτεί στην τάξη;... Δέ ξέρω.

Έντιτ: Και αλήθεια, τί θα λέγατε στα παιδιά οτι τους διδάσκει αυτή η άσκηση ακριβώς; (εννοώ του αρχικού πόστ)

Απολαμβάνω να διαβάζω τα κείμενα του Σίλη. Το κακό είναι ότι παρασύρομαι από το γλαφυρό λόγο κι ενίοται χάνομαι (γιατί ρεμβάζω).

Δεν είχα στο νου μου κάποιο ηθικό δίδαγμα τύπου: Τι μάς διδάσκει, παιδιά μου, το σημερινό μάθημα;

Ήθελα να δώσω απλά παραδείγματα, που σχετίζονται με την ανακοίνωση του

ΕΔΩ.

Παραδείγματα, από δεκαετίες πίσω, όπου και ως μαθητές, και κατόπιν ως επαγγελματίες στη συντεχνία μας δουλεύαμε έτσι, δίχως ΠΟΤΕ να αμφισβητηθεί κάτι.

Η άσκηση ήταν από το βιβλίο Άλγεβρα του Θ. Καζαντζή, 1970, σελ. 82, όπου ο Θ. Καζαντζής την λύνει ακριβώς όπως κι ο Γιάννης παραπάνω.

: 14-6-2015 Άλγεβρα Καζαντζή.jpg (57.98 KiB) Προβλήθηκε 3608 φορές

Βέβαια, (παρ)όμοιες υπάρχουν σε πάρα πολλά βιβλία μέχρι και σήμερα. Και λύνονται με τον ίδιο τρόπο.
Π.χ. Σχολικό βιβλίο Α΄ Δέσμης (Κατσαργύρης Μεντής, ΟΕΔΒ, 1997) σελ 17

: 14-6-2015 Κατσαργύρης.jpg (48.79 KiB) Προβλήθηκε 3608 φορές

Ελπίζω να καλύπτεται ο συνάδελφος Atemlos που ρωτά

Atemlos έγραψε:
achilleas έγραψε:Καλησπέρα, Γιάννη,
Ευχαριστώ ιδιαίτερα για αυτή τη λύση!
Άλλο ένα παράδειγμα όπου η χρήση της διακρίνουσας είναι απολύτως σωστή στη συγκεκριμένη λύση, αν και οι συντελεστές εξαρτώνται από το .
Αχιλλέας
Η οποία που ακριβώς διδάσκεται στα σχολικά βιβλία ;;;

Αν, όχι, να ψάξω και σε άλλα παλαιότερα σχολικά βιβλία, που τουλάχιστον εγώ τα διδάχτηκα ως μαθητής.

Και κάτι για τη συνέχεια. Υπάρχει κάποιος τολμηρός, που θα ήθελε (και θα είχε την απαιτούμενη υπομονή) να τσεκάρει τα συμπεράσματα του Σίλη στην παρακάτω, όπου ο παρονομαστής έχει ρίζες;

Να βρεθεί το Πεδίο τιμών της συνάρτησης

, όταν ο τύπος της είναι $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+3}$

(Από το βιβλίο Στοιχεία Μαθηματικής Ανάλυσης, Gutenberg, 1986 του Μαρίνου Ζήβα. (Τη σελίδα δε σάς τη λέω από τώρα. Ψάξτε και λίγο.)

Επιστροφή στα Seventies

Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Μέλη σε σύνδεση