Ειδικό Ισοσκελές

#1

: Ειδικό ισοσκελές..png (7.35 KiB) Προβλήθηκε 1344 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές ( AB=AC

) με $\hat{A}=120^0$ . Πάνω στην πλευρά

θεωρούμε

σημείο

, ώστε $\displaystyle{BD = \frac{{BC}}{3}}$ . Να αποδείξετε ότι AD=BD

.

Ηλιας Φραγκάκος · #2

Καλησπέρα κύριε Γιώργο.
Έφερα το ισόπλευρο τρίγωνο ABE

με τα

και

εκατέρωθεν της

(αυτή την έκφραση την έμαθα από τον κ. Νίκο). Το σημείο

επί της

είναι το κέντρο βάρους του ισοπλεύρου, αφού χωρίζει τη διάμεσο

με λόγο ένα προς δύο. Άρα και η

είναι διάμεσος, αλλά και διχοτόμος της γωνίας BAM

. Άρα το τρίγωνο BAD

είναι ισοσκελές, όμοιo με το αρχικό ABC

.

Ιστοσελίδα · #3

Καλησπέρα Γιώργο, Ηλία και Κυριάκο.

: Ειδικό-Ισοσκελές.jpg (18.18 KiB) Προβλήθηκε 1289 φορές

Φέρω $AM \bot BC$ . Επειδή $\dfrac{{AB}}{{AM}} = \dfrac{{BD}}{{DM}} = 2 \Rightarrow AD$ διχοτόμος της $B\widehat AM$ , οπότε $\triangleleft DBA$ ισοσκελές.

Υ.Γ. Έχω και Γυμνασιακή λύση αλλά την αφήνω για την ώρα.

tolis riza · #4

nikos_el · #5

Μια ακόμη λύση αυτής της άσκησης στο παρακάτω αρχείο pdf.

Ειδικό Ισοσκελές.pdf: (407.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 101 φορές

#6

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας.

Μία διαφορετική προσέγγιση.

: Ειδικό ισοσκελές..png (10.79 KiB) Προβλήθηκε 1120 φορές

Έστω

το μέσο της

και $\displaystyle{DE \bot AB}$ . Εύκολα βρίσκουμε ότι $\hat{B}=\hat{C}=30^0$ , $\displaystyle{AM \bot BC}$ και $\displaystyle{B\widehat AM = {60^0}}$ .

$\displaystyle{\eta \mu {30^0} = \frac{{DE}}{{BD}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow DE = \frac{{BD}}{2} = \frac{{BC}}{6}}$

$\displaystyle{DM = BM - BD = \frac{{BC}}{2} - \frac{{BC}}{3} = \frac{{BC}}{6}}$ (*)

Tα τρίγωνα DEA, DMA

είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια, έχουν κοινή υποτείνουσα

και

$\displaystyle{DE = DM = \frac{{BC}}{6}}$ . Οπότε: $\displaystyle{D\widehat AM = D\widehat AE = {30^0} = D\widehat BA \Leftrightarrow }$ $\boxed{AD= BD}$

(*) edit: Διόρθωση τυπογραφικού, σύμφωνα με την παρακάτω υπόδειξη του nikos_ el, τον οποίο ευχαριστώ για την επισήμανση.

nikos_el · #7

george visvikis έγραψε:
$\displaystyle{DM = BM - BD = \frac{{BD}}{2} - \frac{{BD}}{3} = \frac{{BC}}{6}}$

Ένα μικρό τυπογραφικό λάθος: $\displaystyle{DM = BM - BD = \frac{{BC}}{2} - \frac{{BC}}{3} = \frac{{BC}}{6}}$
Αντικατάσταση του BD με BC.

#8

george visvikis έγραψε:
Το συνημμένο Ειδικό ισοσκελές..png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές () με $\hat{A}=120^0$ . Πάνω στην πλευρά θεωρούμε

σημείο , ώστε $\displaystyle{BD = \frac{{BC}}{3}}$ . Να αποδείξετε ότι .

Καλημέρα .

( το πρόβλημα με το μέγεθος ορισμένων μαθηματικών συμβόλων δεν αποκαταστάθηκε πλήρως αλλά με βάσει τις οδηγίες του Κ. Κωστάκου παλεύεται.)

Πιστεύω η λύση να είναι εντός φακέλου ( εκτός υπάρχουν πλείστες όσες).

: Ειδικό ισοσκελές_Βισβίκης.png (22.67 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

Οι γωνίες της βάσης

είναι από $30^\circ$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι $AD \bot AC$ γιατί τότε $\widehat x = 30^\circ = \widehat B$ και άρα DA = DB

.

Προς τούτο φέρνουμε από το

παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

. Επειδή

θα είναι $CE = 2EA\,\,(1)$ .

Όμως το τρίγωνο EDC

είναι κι αυτό του «φυράματος» : $(120^\circ ,30^\circ ,30^\circ )$ λόγω ομοιότητας με το αρχικό δηλαδή ισοσκελές με EC = ED

. Η

τότε δίδει :

ED = 2EA

. Προεκτείνω λοιπόν την

, πέραν του

κατά ίσο τμήμα

.

Τώρα το τρίγωνο EZD

θα έχει

και την γωνία $Z\widehat EA = 60^\circ$ , κατά συνέπεια είναι ισόπλευρο. Έτσι η διάμεσός του $DA \bot EZ$ .

Αυτό που ζητούσαμε το αποδείξαμε.

Φιλικά Νίκος

Ειδικό Ισοσκελές

Ειδικό Ισοσκελές

Re: Ειδικό Ισοσκελές

Re: Ειδικό Ισοσκελές

Re: Ειδικό Ισοσκελές

Re: Ειδικό Ισοσκελές

Re: Ειδικό Ισοσκελές

Re: Ειδικό Ισοσκελές

Re: Ειδικό Ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση