Απορία για limsup, liminf

ronnie · #1

Είναι δυνατό κάποιος να εξηγήσει το παρακάτω;

''Έστω (a_n)

φραγμένη ακολουθία πραγματικών και $x\in\mathbb{R}$ .
Τότε,1) $x\le\limsup{a_n}$ , αν και μόνο αν : για κάθε $\epsilon>0$ το σύνολο { $n\in\mathbb{N}:x-\epsilon$ <a_n

} είναι άπειρο.

2) $x\ge\limsup{a_n}$ ,αν και μόνο αν: για κάθε $\epsilon>0$ το σύνολο { $n\in\mathbb{N}:x+\epsilon<a_n$ } είναι πεπρασμένο.''
Και τα αντίστοιχα για $\liminf{a_n}$

Antonis Loutraris · #2

Χαίρεται.

Αυτό που ρωτάς έχει να κάνει ξεκάθαρα με τη φύση των ποσοτήτων $\limsup-\liminf.$

Θυμίζω οτι το $\displaystyle{\limsup a_{n}=\lim_{n}\sup_{k\ge n}a_{k}}.$
Αυτό τι σημαίνει;

Αράδιασε όλους τους όρους της ακολουθίας $a_{n}:$

$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n},\dots,$ και πάρε το $\sup$ αυτών και ονόμασέ το $y_{1}.$
Ξανακάνε την ίδια διαδικασία για τους $a_{2},a_{3},\cdots,a_{n},\dots,$ και ονόμασε το $\sup$ αυτών $y_{2}.$
Σε

βήματα της διαδικασίας αυτής θα έχεις φτιάξει τo γενικό όρο της ακολουθίας $\displaystyle{y_{n}=\sup_{k\ge n}a_{k}}.$
Η ακολουθία $y_{n}$ που έφτιαξες είναι φθίνουσα(γιατί;) άρα έχει όριο και το όριο αυτής είναι το $\displaystyle{\limsup_{n} a_{n},$
δηλαδή το μεγαλύτερο υποακολουθιακό όριο της $a_{n}.$

Επειδή τώρα $y_{n}=\sup\{a_{n},a_{n+1},\cdots,\}$ για δοθέν $\epsilon>0, x-\epsilon<x\leq y_{n},n\in\mathbb{N}.$ Άρα σίγουρα υπάρχουν άπειροι δείκτες $\ge n$ ώστε $x-\epsilon<$ από τις τιμές της ακολουθίας σε αυτούς. Άρα το σύνολο που τους περιέχει είναι άπειρο.

Tώρα για το (2).

Επειδή για το $\limsup$ επέλεξες τους μεγαλύτερους χονδρικά όρους αν πας λίγο πιο πάνω από το $\limsup a_{n}$ το πολύ να υπάρχουν πεπερασμένοι όροι της ακολουθίας σου. Aυστηρά για δοθέν $\epsilon>0$ επειδή το $x<x+\epsilon$ θα υπάρχει κάποιος δείκτης $n_{0}$ ώστε $y_{n}\leq x+\epsilon, n\ge n_{0}.$
Άρα αν $x+\epsilon<a_{n}$ τότε $n<n_{0}$ άρα έχεις πεπερασμένα

Eντελώς όμοια κατασκευή για το $\displaystyle{\liminf a_{n}=\lim_{n}\inf_{k\ge n}a_{k}}.$

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά,

Αντώνης

ronnie · #3

Antonis Loutraris έγραψε:Χαίρεται.

Αυτό που ρωτάς έχει να κάνει ξεκάθαρα με τη φύση των ποσοτήτων $\limsup-\liminf.$

Θυμίζω οτι το $\displaystyle{\limsup a_{n}=\lim_{n}\sup_{k\ge n}a_{k}}.$
Αυτό τι σημαίνει;

Αράδιασε όλους τους όρους της ακολουθίας $a_{n}:$

$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n},\dots,$ και πάρε το $\sup$ αυτών και ονόμασέ το $y_{1}.$
Ξανακάνε την ίδια διαδικασία για τους $a_{2},a_{3},\cdots,a_{n},\dots,$ και ονόμασε το $\sup$ αυτών $y_{2}.$
Σε βήματα της διαδικασίας αυτής θα έχεις φτιάξει τo γενικό όρο της ακολουθίας $\displaystyle{y_{n}=\sup_{k\ge n}a_{k}}.$
Η ακολουθία $y_{n}$ που έφτιαξες είναι φθίνουσα(γιατί;) άρα έχει όριο και το όριο αυτής είναι το $\displaystyle{\limsup_{n} a_{n},$
δηλαδή το μεγαλύτερο υποακολουθιακό όριο της $a_{n}.$

Επειδή τώρα $y_{n}=\sup\{a_{n},a_{n+1},\cdots,\}$ για δοθέν $\epsilon>0, x-\epsilon<x\leq y_{n},n\in\mathbb{N}.$ Άρα σίγουρα υπάρχουν άπειροι δείκτες $\ge n$ ώστε $x-\epsilon<$ από τις τιμές της ακολουθίας σε αυτούς. Άρα το σύνολο που τους περιέχει είναι άπειρο.

Tώρα για το (2).

Επειδή για το $\limsup$ επέλεξες τους μεγαλύτερους χονδρικά όρους αν πας λίγο πιο πάνω από το $\limsup a_{n}$ το πολύ να υπάρχουν πεπερασμένοι όροι της ακολουθίας σου. Aυστηρά για δοθέν $\epsilon>0$ επειδή το $x<x+\epsilon$ θα υπάρχει κάποιος δείκτης $n_{0}$ ώστε $y_{n}\leq x+\epsilon, n\ge n_{0}.$
Άρα αν $x+\epsilon<a_{n}$ τότε $n<n_{0}$ άρα έχεις πεπερασμένα

Eντελώς όμοια κατασκευή για το $\displaystyle{\liminf a_{n}=\lim_{n}\inf_{k\ge n}a_{k}}.$

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά,

Αντώνης

Ευχαριστώ πολύ!!
Ήταν πολύ βοηθητικά!!!

Απορία για limsup, liminf

Απορία για limsup, liminf

Re: Απορία για limsup, liminf

Re: Απορία για limsup, liminf

Μέλη σε σύνδεση