Ενδιαφέρουσα παραμετρική ανίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρεθούν όλες οι τιμές της παραμέτρου

για τις οποίες η ανίσωση

$\displaystyle{ \cos x - 2\sqrt{x^{2} + 9} \leq -\frac{x^{2} + 9}{a + \cos x} - a }$

έχει μοναδική λύση.

GMANS · #2

Καταρχήν πρέπει : $a\neq –cosx$ (1)
H δοσμένη ανίσωση γράφεται:
$a+cosx-2\sqrt{x^2+9}+\frac{x^2+9}{a+cosx} \leq 0$ (2)
Αν a+cosx <0

τότε η (2) είναι αδύνατη
Αν a+cosx >0

τότε
(2) $\Leftrightarrow (\sqrt{a+cosx}-\frac{\sqrt{x^2+9}}{\sqrt{a+cosx}})^2 \leq 0 \Leftrightarrow a+cosx=\sqrt{x^2+9}$ (3)
Παρατηρούμε ότι αν η (3) έχει λύση τον x_0>0

έχει λύση και τον - x_0

που χαλάει την απαίτηση για μοναδική λύση
Επομένως η μόνη δυνατότητα που απομένει είναι να έχει λύση την x=0 οπότε από την (3) a=2

που επαληθεύει την αρχική απαίτηση της άσκησης διότι:
Για x=0 επαληθεύεται η (3)
Για $x \neq 0$ είναι $2+cosx=\sqrt{x^2+9}>3\Leftrightarrow cosx>1$ αδύνατη επομένως η δοσμένη ανίσωση έχει μοναδική λύση την x=0

ευχαριστώ τον Al.Koutsouridis για την επισήμανσή του

Al.Koutsouridis · #3

Ευχαριστώ για την ενασχόληση τον κ.Μανεάδη. Όντως το κλειδί στη λύση είναι η παρατήρηση ότι η παράσταση είναι άρτια συνάρτηση .

Για την ιστορία η άσκηση είναι απο εισαγωγικές εξετάσεις του τμήματος ψυχολογίας του κρατικού πανεπιστημίου της Μόσχας.

JoannaMath · #4

Όντως είναι πολύ ενδιαφέρουσα ανίσωση!
Εδώ επισυνάπτω μία προσπάθεια για λίγη εποπτεία αν και λόγω του προγράμματος υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί στις τιμές του χ και του α.
Την μεταβλητή την έθεσα σαν χ ελληνικό διότι για κάποιο λόγο δεν μου έβγαινε η επαλήθευση της ανίσωσης με το αγγλικό...

Ενδιαφέρουσα παραμετρική ανίσωση

Ενδιαφέρουσα παραμετρική ανίσωση

Re: Ενδιαφέρουσα παραμετρική ανίσωση

Re: Ενδιαφέρουσα παραμετρική ανίσωση

Re: Ενδιαφέρουσα παραμετρική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση