Διαφορι - Κούλα 12

mathxl · #1

Ακόμη μία δικής μου κατασκευής
Να βρεθεί η παραγωγίσιμη στο [-α,α]=Α συνάρτηση ώστε να ισχύει
$\begin{array}{l} \displaystyle\ x \cdot \sigma \upsilon \nu {3^x}f'\left( x \right) = \left( {6\sigma \upsilon \nu {3^x} + x \cdot {3^x}\ln 3 \cdot \eta \mu {3^x}} \right)f\left( x \right),\forall x \in A \\ f\left( a \right) \cdot \sigma \upsilon \nu 3^a = 6a^6 = f\left( { - a} \right) \cdot \sigma \upsilon \nu {3^{ - a}} \\ \end{array}$

Έκανα κάποιες διορθώσεις...ψιλοπροδίδουν...

#2

Η δοσμένη εξίσωση ιδοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle x(f(x) \cdot \sigma \upsilon \nu 3^x){'}-6f(x)\sigma \upsilon \nu 3^x=0$

και για $x \neq 0$ γίνεται:

$\displaystyle \frac{x^6(f(x) \cdot \sigma \upsilon \nu 3^x){'}-6x^5f(x)\sigma \upsilon \nu 3^x}{x^{12}}=0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{f(x)\sigma \upsilon \nu 3^x}{x^6} \right){'}=0$ .

Επομένως: $\displaystyle f(x)=c_1 \cdot \frac{x^6}{\sigma \upsilon \nu 3^x}$ για x > 0

και $\displaystyle f(x)=c_2 \cdot \frac{x^6}{\sigma \upsilon \nu 3^x}$ για x < 0

.

Για

, βρίσκουμε ότι c_1=6

, ενώ για

, βρίσκουμε ότι c_2=6

,

οπότε η ζητούμενη συνάρτηση είναι: $\displaystyle f(x)=6 \cdot \frac{x^6}{\sigma \upsilon \nu 3^x}$ ,

η οποία ορίζεται στο 0 και επαληθεύει και την αρχική εξίσωση.

Υ.Γ. Ευχαριστώ τον Χρήστο Καρδάση για την εύστοχη παρατήρηση.

mathxl · #3

Σωστά Λευτέρη

Διαφορι - Κούλα 12

Διαφορι - Κούλα 12

Re: Διαφορι - Κούλα 12

Re: Διαφορι - Κούλα 12

Μέλη σε σύνδεση