Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015-2016 (ΙΙ Φάση 7η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

1. Σε μια μακρόστενη ταινία είναι γραμμένα τα ψηφία 201520152015… Ο Βασίλης έκοψε με το ψαλίδι δύο κομμάτια από αυτήν και σχημάτισε με αυτά ένα φυσικό αριθμό που διαιρείτε με το 45. Φέρτε παραδείγματα τέτοιων κομματιών καθώς και τον σχηματιζόμενο αριθμό.

2. Γεμίστε ένα τετράγωνο διαστάσεων με φιγούρες του παιχνιδιού τέτρις (βλέπε σχήμα) έτσι, ώστε να χρησιμοποιηθούν όλων των ειδών οι φιγούρες. (Τις φιγούρες μπορούμε να τις περιστρέψουμε και προς τη μία και προς την άλλη κατεύθυνση).

vmo_2015_2016_7_2.png (3.94 KiB) Προβλήθηκε 1583 φορές

3. Το πρωί ο γιος έφαγε το 40% της τούρτας και η κόρη 150 γραμμάρια. Το μεσημέρι ο πατέρας έφαγε το 30% από αυτό που έμεινε και άλλα 120 γραμμάρια και η μητέρα τα εναπομείναντα 90 γραμμάρια. Πόσο ζύγιζε η τούρτα αρχικά;


4. Με μία κίνηση μπορούμε να εναλλάξουμε την θέση είτε δυο γραμμών είτε δυο στηλών ενός τετραγωνικού πίνακα. Είναι δυνατόν με κάποιο αριθμό τέτοιων κινήσεων από το σκιαγραφημένο σχήμα που απεικονίζεται στα αριστερά να προκύψει το σχήμα στα δεξία;

vm0_2015_2016_7_4.png (9.89 KiB) Προβλήθηκε 1583 φορές

5. Στο πίνακα είναι γραμμένοι 7 περιττοί αριθμοί. Η Μαρία υπολόγισε τον μέσο όρο τους και η Δανάη τους έβαλε σε αύξουσα σειρά και διάλεξε το μεσαίο αριθμό. Αν από τον αριθμό της Μαρίας αφαιρέσουμε τον αριθμό της Δανάης προκύπτει ο αριθμός . Άφησε άραγε κάποια από αυτές λάθος;

[cretanman]

4. Με μία κίνηση μπορούμε να εναλλάξουμε την θέση είτε δυο γραμμών είτε δυο στηλών ενός τετραγωνικού πίνακα. Είναι δυνατόν με κάποιο αριθμό τέτοιων κινήσεων από το σκιαγραφημένο σχήμα που απεικονίζεται στα αριστερά να προκύψει το σχήμα στα δεξία;

vm0_2015_2016_7_4.png

Ας υποθέσουμε ότι κάτι τέτοιο είναι εφικτό. Παρατηρούμε ότι η τρίτη στήλη του αριστερού πίνακα περιέχει μόνο μαύρα τετράγωνα και όποια αντιμετάθεση κι αν γίνει, θα υπάρχει πάντοτε μία στήλη που θα περιέχει μόνο μαύρα τετράγωνα, άτοπο διότι στον δεξί πίνακα δεν υπάρχει τέτοια στήλη.

Αλέξανδρος

[ealexiou]

5. Στο πίνακα είναι γραμμένοι 7 περιττοί αριθμοί. Η Μαρία υπολόγισε τον μέσο όρο τους και η Δανάη τους έβαλε σε αύξουσα σειρά και διάλεξε το μεσαίο αριθμό. Αν από τον αριθμό της Μαρίας αφαιρέσουμε τον αριθμό της Δανάης προκύπτει ο αριθμός . Άφησε άραγε κάποια από αυτές λάθος;

Το άθροισμα επτά περιττών είναι περιττός αριθμός, έστω και ο μεσαίος επίσης περιττός, έστω

οπότε Άρα δεν μπορεί να προκύψει αποτέλεσμα

[george visvikis]

3. Το πρωί ο γιος έφαγε το 40% της τούρτας και η κόρη 150 γραμμάρια. Το μεσημέρι ο πατέρας έφαγε το 30% από αυτό που έμεινε και άλλα 120 γραμμάρια και η μητέρα τα εναπομείναντα 90 γραμμάρια. Πόσο ζύγιζε η τούρτα αρχικά;

Έστω τα γραμμάρια της τούρτας. Στο πρωινό φαγοπότι καταναλώθηκαν: γραμμάρια.
Απέμειναν λοιπόν γραμμάρια.

Στο απογευματινό φαγοπότι τελείωσε η τούρτα. Επομένως έχουμε:

[ealexiou]

1. Σε μια μακρόστενη ταινία είναι γραμμένα τα ψηφία 201520152015… Ο Βασίλης έκοψε με το ψαλίδι δύο κομμάτια από αυτήν και σχημάτισε με αυτά ένα φυσικό αριθμό που διαιρείτε με το 45. Φέρτε παραδείγματα τέτοιων κομματιών καθώς και τον σχηματιζόμενο αριθμό.

Επειδή ο αριθμός που θα σχηματίσουμε με τα δύο κομμάτια πρέπει να διαιρείται με το , αρκεί να κόψουμε ένα κομμάτι που το τελευταίο ψηφίο θα είναι ή και να το βάλουμε στο τέλος του προς σχηματισμό αριθμού και ένα δεύτερο κομμάτι, που το άθροισμα των ψηφίων του μαζί με το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού του πρώτου κομματιού να ισούται με ή και να το βάλουμε μπροστά. Π.χ και το που μας δίνουν τον αριθμό ή το τελευταίο και το αρχικό που μας δίνουν τον ή το και το που μας δίνουν τον κλπ.