Ασκήσεις στην Ανάλυση!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #261

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 94
Ολες οι σταθερές είναι.
Για μη σταθερή.
Πάρε ένα ρητό στο (0.1)
Για τους αρρήτους που είναι μεγαλύτεροι από αυτόν βάλε μια τιμή και για τους άλλους μια άλλη.
Η συνάρτηση είναι συνεχής.
Το πεδίο τιμων δεν μας ενδιαφέρει.
Απλά να σημειώσω ότι στους αρρήτους έχουμε την μετρική που επάγεται από το R.

Υ.Γ Δεν είναι σωστή απάντηση γιατι δεν είναι επί.
Διαβάζοντας το αρχικό κείμενο μου διέφυγε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #262

ΑΣΚΗΣΗ 95

Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση από τους θετικούς άρρητους επί των θετικών πραγματικών.

Tolaso J Kos · #263

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 92 (πιο πολύ υπολογιστική παρά θεωρητική)

Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^-}\prod_{n=0}^{\infty}\left ( \frac{1+x^{n+1}}{1+x^n} \right )^{x^n}}$ .

Επαναφορά.

#264

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 95

Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση από τους θετικούς άρρητους επί των θετικών πραγματικών.

Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac {x}{x+1}}$ απεικονίζει ομοιομορφικά τους θετικούς άρρητους στους άρρητους του $\displaystyle{(0,1)}$ (εύκολο)

Μία συνάρτηση από αυτές που θέλουμε είναι η $\displaystyle{h}$ με $\displaystyle{h(x)=f^{-1}(x)}$ , αν $\displaystyle{x \in (0,1) \setminus \Bbb{Q}}$ και

$\displaystyle{h(x)=r_n}$ , αν $\displaystyle{x \in (n,n+1)\setminus \Bbb{Q}}$ , όπου $\displaystyle{r_n}$ μία αρίθμηση των θετικών ρητών. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η $\displaystyle{h}$ είναι συνεχής.

Grigoris K. · #265

Άσκηση 96: Δίνεται ακολουθία $\displaystyle{(a_n) }$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{ a_{n+1} -a_n \to 0 }$ . Αν η $\displaystyle{ (a_n) }$ έχει 2 οριακούς αριθμούς $\displaystyle{ a,b }$ με $\displaystyle{ a<b}$ ,
να αποδειχθεί ότι κάθε αριθμός του διαστήματος $\displaystyle{ [a,b] }$ είναι οριακός αριθμός της $\displaystyle{ (a_n) }$ .

nickthegreek · #266

Άσκηση 97 :

Nα εξεταστεί αν η αδύναμη τοπολογία σε έναν χώρο με νόρμα προέρχεται από μια μετρική (is the weak topology on a normed space

metrizable or not?).

Τι γίνεται με την weak-* τοπολογία;

sokratis lyras · #267

Grigoris K. έγραψε:Άσκηση 96: Δίνεται ακολουθία $\displaystyle{(a_n) }$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{ a_{n+1} -a_n \to 0 }$ . Αν η $\displaystyle{ (a_n) }$ έχει 2 οριακούς αριθμούς $\displaystyle{ a,b }$ με $\displaystyle{ a<b}$ ,
να αποδειχθεί ότι κάθε αριθμός του διαστήματος $\displaystyle{ [a,b] }$ είναι οριακός αριθμός της $\displaystyle{ (a_n) }$ .

Έστω $y\in (a,b)$ ώστε να μην είναι οριακό σημείο της a_n

.

Υπάρχει $\epsilon >0$ και $n_0\in \mathbb{N}$ ώστε για κάθε $n\ge n_0$ , $a_n\in [a,y-\epsilon)\cup (y+\epsilon,b]$ .

Επιλέγω $n_1\in \mathbb{N}$ ώστε $|a_n-a_{n-1}|<2e$ για κάθε $n\ge n_1$ .

Έστω τώρα $r=max\left\{n_0,n_1 \right\}$ , $A=\left\{k\in \mathbb{N} |k\ge r, a_k<y-\epsilon \right\}$ και $B=\left\{k\in \mathbb{N} |k\ge r, a_k>y+\epsilon \right\}$

Ισχυρισμός : Υπάρχει $r_a\in A$ και $r_b\in B$ ώστε |r_a-r_b|=1

Απόδειξη

Έστω ότι δεν ισχύει το ζητούμενο. Προφανώς $A\cup B=\left\{r,r+1,... \right\}$

Αν $r\in A$ τότε προφανώς $r+l\in A$ για κάθε $l\in \mathbb{N}$ και άρα $B=\emptyset$ , άτοπο διότι τότε δεν θα υπήρχε υπακολουθία που να συγκλίνει στο

.

Άρα υπάρχουν $r_a\in A$ και $r_b\in B$ με $|r_a-r_b|=1\implies |x_{r_a}-x_{r_b}|<2\epsilon$ ,άτοπο.

#268

Και ένας κλασικός χαρακτηρισμός:
Άσκηση 98:
Δείξτε ότι ένας χώρος με νόρμα είναι πεπερασμένης διάστασης αν και μόνο αν κάθε υπόχωρός του είναι κλειστός.

BAGGP93 · #269

smar έγραψε:Και ένας κλασικός χαρακτηρισμός:
Άσκηση 98:
Δείξτε ότι ένας χώρος με νόρμα είναι πεπερασμένης διάστασης αν και μόνο αν κάθε υπόχωρός του είναι κλειστός.

Γεια χαρά.

Ας είναι $\displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)}$ ένας χώρος με νόρμα.

Υποθέτουμε ότι αυτός είναι πεπερασμένης διάστασης. Τότε είναι χώρος $\displaystyle{\rm{Banach}}$ και αν $\displaystyle{Y}$ είναι

ένας υπόχωρος αυτού, τότε είναι και αυτός πεπερασμένης διάστασης , άρα χώρος $\displaystyle{\rm{Banach}}$ (ως χώρος με νόρμα, πεπερασμένης διάστασης) , άρα κλειστός.

Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι κάθε υπόχωρος του $\displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)}$ είναι κλειστός.

Υποθέτουμε ότι ο $\displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)}$ είναι απειροδιάστατος. Τότε υπάρχει γραμμικό, μη φραγμένο συναρτησοειδές

$\displaystyle{f:X\longrightarrow \mathbb{R}}$ (Αργυρός ή Γιαννόπουλος - Συναρτησιακή Ανάλυση) .

Γνωρίζουμε ότι ο πυρήνας $\displaystyle{\rm{Ker}(f)}$ είναι ένας υπόχωρος του

$\displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)}$ , άρα από υπόθεση είναι κλειστός. Αυτό αντίκειται στο γεγονός ότι το $\displaystyle{f}$ είναι μη φραγμένο

και συνεπώς ο $\displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)}$ είναι πεπερασμένης διάστασης.

BAGGP93 · #270

ΑΣΚΗΣΗ 99

Για την ακόλουθη άσκηση έχω λύση. Την παραθέτω εδώ διότι μου άρεσε πολύ.

Αν $\displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)}$ είναι ένας χώρος με νόρμα, διάστασης μεγαλύτερης ή ίσης του $\displaystyle{2}$ , τότε να δείξετε

ότι η μοναδιαία σφαίρα του $\displaystyle{S_{X}=\left\{x\in X: ||x||=1\right\}}$ είναι συνεκτική κατά συνιστώσες ( "path connected") .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #271

ΑΣΚΗΣΗ 100
Εστω μετρικός χώρος που το πλήθος των μεμονωμένων σημείων του είναι πεπερασμένο.
Αν κάθε πραγματική συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε αυτόν είναι ομοιόμορφα συνεχής είναι
σωστό ότι ο μετρικός χώρος είναι συμπάγης;

BAGGP93 · #272

Άσκηση 101

Χρόνια πολλά.

Η άσκηση αυτή βρίσκεται στο βιβλίο των "Constantin Costara - Dumitru Popa" .

Όταν προσπάθησα να τη λύσω, με δυσκόλεψε το επί. Πλέον γνωρίζω τη λύση. Είναι όμορφη άσκηση και την παραθέτω.

Στο δια ταύτα :

Να αποδείξετε ότι κάθε διαχωρίσιμος χώρος $\displaystyle{\rm{Banach}}$ είναι πηλίκο του $\displaystyle{\left(\ell_{1},||\cdot||_{1}\right)}$ .

Tolaso J Kos · #273

Άσκηση 102 (απλή)

Έστω ακολουθία $a_n \rightarrow a$ . Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\inf \left \{ \sup \left \{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, \dots \right \} :n \in \mathbb{N} \right \}=a}$

#274

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 102 (απλή)

Έστω ακολουθία $a_n \rightarrow a$ . Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\inf \left \{ \sup \left \{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, \dots \right \} :n \in \mathbb{N} \right \}=a}$

Η ακολουθία $b_n = \sup \left \{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, \dots \right \}$ είναι φθίνουσα και φραγμένη (άμεσο), άρα συγκλίνει και μάλιστα στο infimum της (απλό και γνωστό).

Επίσης, αφού η a_n

συγκλίνει, έχουμε $\displaystyle{ \lim a_n= \limsup a_n$ , οπότε

$\inf \left \{ \sup \left \{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, \dots \right \} :n \in \mathbb{N} \right \}=\inf b_n=\lim b_n= \lim \left \{ \sup \left \{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, \dots \right \} :n \in \mathbb{N} \right \}$

$=\limsup a_n = \lim a_n =a$ , όπως θέλαμε.

M.

Tolaso J Kos · #275

Άσκηση 103

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(x)\geq 0$ και $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, {\rm d}x=1}$ . Για $r \geq 0$ ορίζουμε:

$\displaystyle{I_n(r)= \idotsint \limits_{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \leq r} f(x_1) f(x_2) \cdots f(x_n) \;{\rm d}(x_1, x_2, \dots, x_n)}$

Να υπολογιστεί το όριο $\lim I_n(r)$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #276

ΑΣΚΗΣΗ 100
Εστω μετρικός χώρος που το πλήθος των μεμονωμένων σημείων του είναι πεπερασμένο.
Αν κάθε πραγματική συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε αυτόν είναι ομοιόμορφα συνεχής είναι
σωστό ότι ο μετρικός χώρος είναι συμπαγής;

Επειδή δεν έχει λυθεί ακόμα δίνω μια υπόδειξη για την απόδειξη που γνωρίζω.

Είναι σωστό.
Αρκεί σε μη συμπαγή μετρικό χώρο να φτιάξουμε συνεχή συνάρτηση που δεν είναι
ομοιόμορφα συνεχής.
Χρειάζονται οι εξής προτάσεις.
1)Οι όροι μίας ακολουθίας που δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία αποτελούν κλειστό σύνολο.
2)Το λήμμα του Urysohn.
3)Χαρακτηρισμός ομοιόμορφης συνέχειας με ακολουθίες.
Βασικό στοιχείο της απόδειξης είναι να εκμεταλλευτούμε ότι τα μεμονωμένα σημεία είναι πεπερασμένα.
(μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #277

ΑΣΚΗΣΗ 104
Αν κάθε συνεχής πραγματική συνάρτηση ορισμένη σε ένα μετρικό χώρο είναι φραγμένη
τότε ο χώρος είναι συμπαγής .

BAGGP93 · #278

ΑΣΚΗΣΗ 105

Ας είναι $\displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)}$ μιγαδικός χώρος με νόρμα και $\displaystyle{T\,,S\in\mathbb{B}(X)}$ τέτοιοι, ώστε

$\displaystyle{T^2=T\,\,,S^2=S\,\,,T\circ S=S\circ T}$ . Αποδείξτε ότι είτε $\displaystyle{T=S}$ είτε $\displaystyle{||T-S||\geq 1}$ .

#279

BAGGP93 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 105

Ας είναι $\displaystyle{\left(X,||\cdot||\right)}$ μιγαδικός χώρος με νόρμα και $\displaystyle{T\,,S\in\mathbb{B}(X)}$ τέτοιοι, ώστε

$\displaystyle{T^2=T\,\,,S^2=S\,\,,T\circ S=S\circ T}$ . Αποδείξτε ότι είτε $\displaystyle{T=S}$ είτε $\displaystyle{||T-S||\geq 1}$ .

Από την αντιμετάθεση των S, T

εύκολα βλέπουμε ότι (S-T)^3 = S^3-3S^2T+3ST^2-T^3

(όπως στους πραγματικούς). Άρα, με χρήση των $S^2=S, \, T^2=T$ οπότε και $S^3=S^2=S, \, T^3=T^2=T$ , έχουμε (S-T)^3 = S-3ST+3ST-T=S-T

. Συνεπώς

$\parallel S-T \parallel = \parallel (S-T)^3\parallel \le \parallel S-T \parallel ^3$ , από όπου το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #280

Η άσκηση 104 που έβαλα έχει συζητηθεί παλαιότερα στο forum.
viewtopic.php?f=9&t=10774&p=59270#p59270

Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μέλη σε σύνδεση