Έγχορδο ισόπλευρο

[Al.Koutsouridis]

Σε κύκλο φέρουμε τρεις χορδές που τέμνονται στο ίδιο σημείο υπό γωνία μεταξύ τους. Να δείξετε ότι τα μέσα τους σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο.

[ealexiou]

Έγχορδο ισόπλευρο.png (18.78 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

Ας είναι και χορδές του γαλάζιου κύκλου, κέντρου , που τέμνονται στο σημείο και και τα μέσα των χορδών αντίστοιχα.
Φέρω τα ευθύγραμμα τμήματα και . Είναι, προφανώς, , άρα το πεντάπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου , οπότε και και το ζητoύμενο έχει δειχθεί.

Επεξεργασία: Διόρθωσα μια κακοποιημένη λέξη.

[Γιώργος Μήτσιος]

Kαλημέρα στον Αλέξανδρο , τον Ευθύμη .. σε όλους.
Μετά την κομψότατη λύση ( ) του Ευθύμη με το εγγράψιμο πεντάγωνο ! ..μια ακόμη προσέγγιση
Υποβάλλω , προς το παρόν το σχήμα και σε επόμενη πρόσβαση (εφόσον χρειαστεί ) την δέουσα επεξήγηση.

1.27.ισόπλευρο.PNG (11.99 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Eπανέρχομαι με λίγα λόγια για την ως άνω απόδειξη.
Tα είναι τα αποστήματα (κάθετα στα μέσα ) των χορδών , ενώ ..
Εύκολα προκύπτει ότι οι γωνίες του είναι , άρα είναι ισόπλευρο.
Τα ορθ. τρίγωνα είναι ίσα διότι έχουν (αφού το ανήκει στην διχοτόμο της ) και τα ( ίσα με τα ύψη του ισοπλεύρου ).
Επομένως είναι και
και τελικά το είναι ισόπλευρο.

Φιλικά Γιώργος.

[Ηλιας Φραγκάκος]

Καλησπέρα σε όλο το Μαθεμάτικα. ΚΥΡΙΑΚΟΣ
Φέρω τα αποστήματα
όμοιο με το Άρα:

Tα τετράπλευρα και είναι εγγράψιμα. Φαίνεται το από γωνίες εξήντα μοιρών, ενώ στο άλλο έχουμε δυο απέναντι ορθές, τις και . Άρα,

Άρα, εγγράφεται και το τετράπλευρο και το ζητούμενο προκύπτει εύκολα:
Στο έχουμε τις γωνίες και με άνοιγμα εξήντα μοιρών.
και
Περιμένω βαθμό από τον κ. Φραγκάκη.
ΚΥΡΙΑΚΟΣ
Ο Περπάτωφ, όταν αποβλήθηκε, γιατί δεν έτρεξε να βγει από το γήπεδο;
Για να μην ισοφαρίσει η ομάδα του;

[rek2]

Σε κύκλο φέρουμε τρεις χορδές που τέμνονται στο ίδιο σημείο υπό γωνία μεταξύ τους. Να δείξετε ότι τα μέσα τους σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο.

Ότι πρόκειται για παραπλανητικό σκηνικό, είναι σίγουρο. Ούτε οι χορδές χρειάζονται, ούτε ο κύκλος. Αρκούν τρεις ευθείες διερχόμενες δια σημείου Ρ, έτσι, ώστε να σχηματίζουν γωνίες 60 μοιρών, και το Ο να είναι τυχαίο σημείο, πλην του Ρ, του επιπέδου. Οι προβολές του Ο στις ευθείες είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

[Al.Koutsouridis]

Σε κύκλο φέρουμε τρεις χορδές που τέμνονται στο ίδιο σημείο υπό γωνία μεταξύ τους. Να δείξετε ότι τα μέσα τους σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο.

Ότι πρόκειται για παραπλανητικό σκηνικό, είναι σίγουρο. Ούτε οι χορδές χρειάζονται, ούτε ο κύκλος. Αρκούν τρεις ευθείες διερχόμενες δια σημείου Ρ, έτσι, ώστε να σχηματίζουν γωνίες 60 μοιρών, και το Ο να είναι τυχαίο σημείο, πλην του Ρ, του επιπέδου. Οι προβολές του Ο στις ευθείες είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

Πράγματι! Πηγή της άσκησης είναι το περιοδικό Κβαντ τεύχος 5-6 του 2015. Στη στήλη "Μαθηματικός Ομίλος", έχει ένα άρθρο με τίτλο «Κάθετες και άλλο ένα κριτήριο εγεγραψιμότητας τετράπλευρων» και ξεκινάει το άρθρο με το παραπάνω πρόβλημα. Στην μορφή που διατυπώθηκε στην αρχική ανάρτηση προτίθεται ως άσκηση λίγο παρακάτω.

[sakis1963]

GEOMETRIA Έγχορδο ισόπλευρο.png (45.87 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Χαιρετώ!

Ενα επιπλέον (ενδιαφέρον) ερώτημα (στο σχήμα του Ευθύμη):

να δειχθει ότι

πηγή : ασκ. 3.4 σελ. 176 "Γεωμετρία για διαγωνισμούς τ.1" Μπ.Στεργίου

[Al.Koutsouridis]

GEOMETRIA Έγχορδο ισόπλευρο.png

Χαιρετώ!

Ενα επιπλέον (ενδιαφέρον) ερώτημα (στο σχήμα του Ευθύμη):

να δειχθει ότι

πηγή :

Καλησπέρα,

Η ζητούμενη ισότητα γράφεται διαδοχικά









Σχέση που ισχύει από το θεώρημα Pompeiu, στο ισόπλευρο τρίγωνο και το σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του.