Προσέγγιση συνόλου

[Γιάννης Ιακωβίδης]

Έχουμε ένα άπειρο σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών μη φραγμένο .
Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε η ακολουθία
να παίρνει ως τιμές όλα τα στοιχεία του ή να είναι πυκνό στο ;

[Mihalis_Lambrou]

Έχουμε ένα άπειρο σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών μη φραγμένο .
Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε η ακολουθία
να παίρνει ως τιμές όλα τα στοιχεία του ή να είναι πυκνό στο ;

Αν μη αριθμήσιμο, δεν υπάρχει ποτέ τέτοιο διότι: Το σύνολο ως διακριτό είναι κλειστό. 'Αρα, αν είναι πυκνό στο , θα ταυτίζεται με το . Αυτό όμως δεν γίνεται γιατί το είναι αριθμήσιμο.

[Γιάννης Ιακωβίδης]

Τι γίνεται αν το είναι αριθμήσιμο ;
Και '' με το πυκνό στο '' εννοούσα να υπάρχουν στοιχεία της ακολουθίας που να προσεγγίζουν (να κάνουν cluster point) τα στοιχειά του .

[Mihalis_Lambrou]

Τι γίνεται αν το είναι αριθμήσιμο ;
Και '' με το πυκνό στο '' εννοούσα να υπάρχουν στοιχεία της ακολουθίας που να προσεγγίζουν (να κάνουν cluster point) τα στοιχειά του .

Δεν ξέρω αν χάνω κάτι αλλά

1) Ακόμη και αν αλλάξουμε τον στάνταρ ορισμό "πυκνό στο " και υιοθετήσουμε το παραπάνω, η απόδειξη που έδωσα περνάει ατόφια αφού το είναι κλειστό.

2) Στην περίπτωση που το είναι αριθμήσιμο, τότε πότε υπάρχει ως άνω και πότε δεν υπάρχει (εξαρτάται από το ). Για παράδειγμα αν τότε το μας κάνει. Αντιθέτως αν κανένα δεν κάνει γιατί εκείνα από τα με
(όποιο και αν προκαθορίσουμε) δεν είναι στο ούτε προσεγγίζονται από τα στοιχεία του , για τετριμμένους λόγους.

Μήπως παρανοώ κάτι στην εκφώνηση; Υπάρχει ξενόγλωσση εκδοχή για να δούμε τι ακριβώς ρωτάει;

[Γιάννης Ιακωβίδης]

Κοίτα αυτό.
Βλέπουμε σαν ένα σώμα να κάνει βήματα από το στην πραγματική γραμμή.
Έστω ότι βάζουμε στοιχείο στην πραγματική γραμμή μπορούμε να βρούμε βήμα που να πέφτει πάνω του .
Αν έχουμε σημεία και υπάρχει βήμα ώστε το σώμα να περνάει από όλα τότε.
Πάμε να βάλουμε και ακόμα ένα σημείο .
Ισχύει ότι αν για τον n συνδυασμό που υπάρχει το βήμα μπορούμε να το διαιρέσουμε με οποιονδήποτε πραγματικό
και ακόμα να παίρνουμε όλα n τα σημεία .
Ορίζω ένα από τα n σημεία μου ως σημείο αναφοράς και μετράω από εκεί ισχύει ότι αν το προστιθέμενο είναι
σε ρητό πολλαπλάσιο του από αυτό παίρνεται αν όχι τότε προσεγγίζεται από ρητά αφού μπορούμε να πάρουμε
οποιοδήποτε . Άρα επαγωγικά ισχύει η πρόταση.
Ότι μπορούμε να επιλέξουμε βήμα τέτοιο ώστε να προσεγγίζονται απείρως καλά όλα τα σημεία ενός αριθμήσιμου .
Δεν ξέρω άμα έχει λάθος διόρθωσε με .
Επίσης αν κάποιος εγκρίνει να το επιβεβαιώσει.

[Mihalis_Lambrou]

Κοίτα αυτό.
Βλέπουμε σαν ένα σώμα να κάνει βήματα από το στην πραγματική γραμμή.
Έστω ότι βάζουμε στοιχείο στην πραγματική γραμμή μπορούμε να βρούμε βήμα που να πέφτει πάνω του .
Αν έχουμε σημεία και υπάρχει βήμα ώστε το σώμα να περνάει από όλα τότε.
Πάμε να βάλουμε και ακόμα ένα σημείο .
Ισχύει ότι αν για τον n συνδυασμό που υπάρχει το βήμα μπορούμε να το διαιρέσουμε με οποιονδήποτε πραγματικό
και ακόμα να παίρνουμε όλα n τα σημεία .
Ορίζω ένα από τα n σημεία μου ως σημείο αναφοράς και μετράω από εκεί ισχύει ότι αν το προστιθέμενο είναι
σε ρητό πολλαπλάσιο του από αυτό παίρνεται αν όχι τότε προσεγγίζεται από ρητά αφού μπορούμε να πάρουμε
οποιοδήποτε . Άρα επαγωγικά ισχύει η πρόταση.
Ότι μπορούμε να επιλέξουμε βήμα τέτοιο ώστε να προσεγγίζονται απείρως καλά όλα τα σημεία ενός αριθμήσιμου .
Δεν ξέρω άμα έχει λάθος διόρθωσε με .
Επίσης αν κάποιος εγκρίνει να το επιβεβαιώσει.

Επιμένω να μας πεις τι ακριβώς ζητά το πρωτότυπο.

Τα παραπάνω εκτός από ακαταλαβίστικα (βλέπε π.χ. αυτό που σημείωσα με κόκκινο) μου φαίνεται ότι απαντά σε άλλο ερώτημα για πολλούς λόγους.

Ας δούμε έναν:

Η αρχική ερώτηση μιλά για θετικό ακέραιο πολλαπλάσιο του ενώ στην "λύση" μιλά για ρητό πολλαπλάσιο (βλέπε π.χ. αυτό που σημείωσα με μπλε).

Παρακαλώ δώσε μας την πηγή σου ή γράψε μας την ερώτηση όπως ακριβώς την είδες, και προχωράμε.

[Γιάννης Ιακωβίδης]

1) Το τελικό ερώτημα είναι αυτό που αποδεικνύεται στην παραπάνω απόδειξη.
2)Δεν υπάρχει πηγή της άσκησης είναι ένα δικό μου ερώτημα που ήθελα να χρησιμοποιήσω κάπου άλλου .
Προς αυτό η κατασκευή (αν και μπορούσε να ζητηθεί ) .
Συγνώμη για τα ακαταλαβίστικα άλλα δεν κατάλαβα από την αρχή πως να το συντάξω σωστά άλλα μου φάνηκε κάλο ερώτημα
και το μπλε προσεγγίζεται από ρηττά ,εννοείται πολλαπλάσια του .Αν διαβάσεις την απόδειξη λέει ότι όποιο ακέραιο
πολλαπλάσιο του να έχεις μπορείς να το διαιρέσεις με κάθε πραγματικό και πάλι να δουλεύει ,εξ ου και ρητό.

[Mihalis_Lambrou]

είναι ένα δικό μου ερώτημα .

Δυστυχώς δεν είναι σωστό (ακόμη και αν συγχωρέσουμε όλες τις αβαρίες της απόδειξης).

Ίσως το ευκολότερο αριθμήσιμο αντιπαράδειγμα είναι οι ρητοί αριθμοί, . Τώρα, όποιο και αν πάρεις, το σύνολο δεν προσεγγίζει τα στοιχεία του . Π.x. οι ρητοί στα διαστήματα απέχουν από το απόσταση τουλάχιστον . Άρα δεν είναι οριακά σημεία του , αντίθετα από ότι "απέδειξες".

[Γιάννης Ιακωβίδης]

Ευχαριστώ για το αντιπαράδειγμα μόνο που δεν το καταλαβαίνω τώρα τελείως θα το σκεφτώ .
Αν μπορείς να βρεις και κάτι λάθος με την ''απόδειξη'' (μάλλον ότι το t πρέπει να τείνει στο μηδέν)
Θα ήταν τέλεια .

[Mihalis_Lambrou]

δεν το καταλαβαίνω τώρα τελείως θα το σκεφτώ .

Κάνε ένα σχήμα. Για παράδειγμα πάρε και ζωγράφησε το (σε αυτή την περίπτωση είναι οι φυσικοί αριθμοί). Το σύνολο που
περιέγραψα είναι οι ρητοί αριθμοί στο μεσαίο "ένα τρίτο" κάθε διαστήματος της μορφής .

Αν μπορείς να βρεις και κάτι λάθος με την ''απόδειξη'' (μάλλον ότι το t πρέπει να τείνει στο μηδέν)
Θα ήταν τέλεια .

Είναι πάρα πολλά τα λάθη και οι ασάφειες. Για παράδειγμα αυτό που λές στην προηγούμενη γραμμή, δηλαδή το "μάλλον ότι το t πρέπει να τείνει στο μηδέν" δεν έχει απολύτως κανένα νόημα: Το είναι σταθερό και επιλεγμένο κατά την διάρκεια της απόδειξης. Μπορεί να είναι πολύ μικρό, π.χ. , αλλά δεν παύει να είναι σταθερό. Δεν τείνει πουθενά. Είναι επιλεγμένο για πάντα.

[Γιάννης Ιακωβίδης]

Αυτό ήταν προτεινόμενο λάθος από μένα δεν ήταν μέσα στην απόδειξη.
Άρα πάλι μόνο ένα αντιπαράδειγμα δείχνεις (που το καταλαβαίνω ) .Άμα θες δες το και άμα θες μην το βλέπεις
Πρότεινε τη δίκη σου εκδοχή και μη λες επανειλημμένα είναι ''πάρα πολλά τα λάθη και οι ασαφείς '' .
Και έμενα δεν μου άρεσε σε πολλά σημεία όταν την έγραφα άλλα από αυτόν το δρόμο που πήρα αυτό μπορούσα να κάνω.