Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage III, 2016

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Να προσδιορίσετε τριψήφιο θετικό αριθμό $\displaystyle{A=\overline{abc}}$ , αν ισχύουν και οι τρεις επόμενες προτασεις:

(α) $\displaystyle{A-B=198}$ , όπου $\displaystyle{B=\overline{cba}}$

(β) Η εξίσωση $\displaystyle{\dfrac{x+a-2c}{2a-c}-\dfrac{a-2c}{x}=1}$ έχει δύο λύσεις με άθροισμα $\displaystyle{4}$ .

(γ) Ο αριθμός $\displaystyle{A}$ διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ .

Πρόβλημα 2

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle{3f\left(5-x\right)+5xf\left(x\right)=x^2-2x+3}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ . Να βρείτε το $\displaystyle{f\left(3\right)}$ .

Πρόβλημα 3

Κάθε μαθητής από τους $\displaystyle{2016}$ μαθητές ενός Λυκείου μαθαίνουν Αγγλικά ή Γαλλικά ή και τις δύο γλώσσες. Ο αριθμός των μαθητών που μαθαίνουν Αγγλικά είναι μεταξύ του $\displaystyle{80\%}$ και $\displaystyle{85\%}$ του μαθητικού πληθυσμού και ο αριθμός των μαθητών που μαθαίνουν Γαλλικά είναι μεταξύ του $\displaystyle{30\%}$ και $\displaystyle{40\%}$ του μαθητικού πληθυσμού. Αν $\displaystyle{m}$ είναι ο μικρότερος αριθμός των μαθητών που θα μπορούσε να μαθαίνει και τις δύο γλώσσες και $\displaystyle{M}$ είναι ο μεγαλύτερος αριθμός των μαθητών που θα μπορούσε να μαθαίνει και τις δύο γλώσσες, να βρείτε το $\displaystyle{M-m}$ .

Πρόβλημα 4

Στο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}\;\;\left(AB<AC\right)}$ , το $\displaystyle{D}$ είναι σημείο στη $\displaystyle{BC}$ τέτοιο, ώστε η $\displaystyle{AD}$ να διχοτομεί τη γωνία $\displaystyle{\angle{CAB}}$ και το σημείο $\displaystyle{M}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{BC}$ . Το $\displaystyle{E}$ είναι σημείο στην προέκταση της $\displaystyle{BA}$ τέτοιο, ώστε η $\displaystyle{ME}$ να είναι παράλληλη με την $\displaystyle{AD}$ και $\displaystyle{Z}$ το σημείο τομής της $\displaystyle{ME}$ με την $\displaystyle{AC}$ . Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\left(BE\right)=\left(CZ\right)=\dfrac{\left(AB\right)+\left(AC\right)}{2}}$

Πρόβλημα 5

Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{\{a_n\}}$ με $\displaystyle{a_0=1, a_1=1}$ και $\displaystyle{a_n=a_{n-1}+\dfrac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}}}$ για $\displaystyle{n\geqslant2}$ και η ακολουθία $\displaystyle{\{b_n\}}$ με $\displaystyle{b_0=1, b_1=3}$ και $\displaystyle{b_n=b_{n-1}+\dfrac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}}}$ για $\displaystyle{n\geqslant2}$ . Να βρείτε το $\displaystyle{\dfrac{b_{32}}{a_{32}}}$ .

#2

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4

Στο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}\;\;\left(AB<AC\right)}$ , το $\displaystyle{D}$ είναι σημείο στη $\displaystyle{BC}$ τέτοιο, ώστε η $\displaystyle{AD}$ να διχοτομεί τη γωνία $\displaystyle{\angle{CAB}}$ και το σημείο $\displaystyle{M}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{BC}$ . Το $\displaystyle{E}$ είναι σημείο στην προέκταση της $\displaystyle{BA}$ τέτοιο, ώστε η $\displaystyle{ME}$ να είναι παράλληλη με την $\displaystyle{AD}$ και $\displaystyle{Z}$ το σημείο τομής της $\displaystyle{ME}$ με την $\displaystyle{AC}$ . Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\left(BE\right)=\left(CZ\right)=\dfrac{\left(AB\right)+\left(AC\right)}{2}}$

[attachment=0]Α Παγκύπριος 2016 stage III.4.png[/attachment]
$\displaystyle{AD||EM \Leftrightarrow \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{BD}} \Leftrightarrow BE = \frac{{ac}}{{2BD}}}$

$\displaystyle{ZM||AD \Leftrightarrow \frac{{CZ}}{{AC}} = \frac{{CM}}{{CD}} \Leftrightarrow CZ = \frac{{ab}}{{2CD}}}$

Αλλά λόγω της διχοτόμου είναι $\displaystyle{BD = \frac{{ac}}{{b + c}},CD = \frac{{ab}}{{b + c}}}$ , οπότε: $\boxed{BE = CZ = \frac{{b + c}}{2}}$

ealexiou · #3

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Κάθε μαθητής από τους $\displaystyle{2016}$ μαθητές ενός Λυκείου μαθαίνουν Αγγλικά ή Γαλλικά ή και τις δύο γλώσσες. Ο αριθμός των μαθητών που μαθαίνουν Αγγλικά είναι μεταξύ του $\displaystyle{80\%}$ και $\displaystyle{85\%}$ του μαθητικού πληθυσμού και ο αριθμός των μαθητών που μαθαίνουν Γαλλικά είναι μεταξύ του $\displaystyle{30\%}$ και $\displaystyle{40\%}$ του μαθητικού πληθυσμού. Αν $\displaystyle{m}$ είναι ο μικρότερος αριθμός των μαθητών που θα μπορούσε να μαθαίνει και τις δύο γλώσσες και $\displaystyle{M}$ είναι ο μεγαλύτερος αριθμός των μαθητών που θα μπορούσε να μαθαίνει και τις δύο γλώσσες, να βρείτε το $\displaystyle{M-m}$ .

$\begin{cases}& M<2016(0.85+0.4-1=0.25)=504\Rightarrow M=503\\& m>2016(0.8+0.3-1=0.1)=201.6\Rightarrow m=202\end{cases}\Rightarrow$ M-m=503-202=301

nikkru · #4

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 5
Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{\{a_n\}}$ με $\displaystyle{a_0=1, a_1=1}$ και $\displaystyle{a_n=a_{n-1}+\dfrac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}}}$ για $\displaystyle{n\geqslant2}$ και η ακολουθία $\displaystyle{\{b_n\}}$ με $\displaystyle{b_0=1, b_1=3}$ και $\displaystyle{b_n=b_{n-1}+\dfrac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}}}$ για $\displaystyle{n\geqslant2}$ . Να βρείτε το $\displaystyle{\dfrac{b_{32}}{a_{32}}}$ .

$\displaystyle {\dfrac{b_{32}}{a_{32}}}{=} {\dfrac{32*33}{2}{=528}}$

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage III, 2016

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage III, 2016

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage III, 20

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage III, 20

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage III, 20

Μέλη σε σύνδεση