Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων $\displaystyle{\left(x, y, z\right)}$ , οι οποίες ικανοποιούν την εξίσωση: $\displaystyle{2^x+3^y=6^z-1}$

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$ , τέτοιες ώστε:

(α) $\displaystyle{f\left(-x\right)=-f\left(x\right)}$ , για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x}$

(β) $\displaystyle{f\left(x+1\right)=f\left(x\right)+1}$ , για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x}$

(γ) $\displaystyle{f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f\left(x\right)}{x^2}}$ , για $\displaystyle{x\in\mathbb{R}, x\neq 0}$

Πρόβλημα 3

Να βρείτε τον μικρότερο περιττό ακέραιο $\displaystyle{\nu}$ , έτσι ώστε κάποιο $\displaystyle{\nu-}$ γωνο (όχι απαραίτητα κυρτό) να μπορεί να χωριστεί σε παραλληλόγραμμα, των οποίων τα εσωτερικά τους μέρη να μην αλληλοκαλύπτονται.

Πρόβλημα 4

Τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{\left(\omega\right)}$ με κέντρο $\displaystyle{O}$ , $\displaystyle{\angle{B}=\angle{D}=90^\circ}$ και $\displaystyle{AB=AD<BC}$ . Έστω $\displaystyle{X}$ σημείο του $\displaystyle{BD}$ . Η ευθεία $\displaystyle{AX}$ τέμνει ξανά τον κύκλο $\displaystyle{\left(\omega\right)}$ στο σημείο $\displaystyle{S}$ , διαφορετικό από το $\displaystyle{A}$ . Από το σημείο $\displaystyle{X}$ φέρουμε κάθετη στην $\displaystyle{AS}$ , η οποία τέμνει το τόξο $\displaystyle{\overset{\frown}{ADC}}$ στο σημείο $\displaystyle{T}$ . Αν $\displaystyle{M, Z}$ τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{ST, AO}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{BZ=ZM}$ .

#2

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων $\displaystyle{\left(x, y, z\right)}$ , οι οποίες ικανοποιούν την εξίσωση: $\displaystyle{2^x+3^y=6^z-1}$

Πρόβλημα 2

Αν $\displaystyle{x\geq 3\wedge z\geq 3}$ δουλεύοντας $\displaystyle{\mod 8}$ βρίσκουμε $\displaystyle{3^y\equiv-1\mod 8,}$ άτοπο, αφού $\displaystyle{3^y\equiv 1,3\mod 8}$

Άρα $\displaystyle{x=1\vee x=2\vee z=1\vee z=2.}$

Αν $\displaystyle{x=1}$ έχουμε $\displaystyle{6^z-3^y=3,}$ άρα $\displaystyle{z=y=1,}$ αφού το αριστερό μέλος μπορεί να διαιρεθεί μόνο με το $\displaystyle{3}$ , αλλά όχι με δύναμη με μεγαλύτερο εκθέτη.

Αν $\displaystyle{x=2}$ έχουμε $\displaystyle{6^z-3^y=9,}$ που είναι αδύνατη για λόγο όμοιο με την προηγούμενη περίπτωση.

Αν $\displaystyle{z=1}$ έχουμε $\displaystyle{2^x+3^y=5,}$ άρα $\displaystyle{x=y=1.}$

Αν $\displaystyle{z=2}$ έχουμε $\displaystyle{2^x+3^y=35,}$ άρα προφανώς $\displaystyle{x=y=3.}$ (προσθήκη) Παρέλειψα τη λύση $\displaystyle{x=5, y=1.}$

Al.Koutsouridis · #3

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Πρόβλημα 4

Τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{\left(\omega\right)}$ με κέντρο $\displaystyle{O}$ , $\displaystyle{\angle{B}=\angle{D}=90^\circ}$ και $\displaystyle{AB=AD<BC}$ . Έστω $\displaystyle{X}$ σημείο του $\displaystyle{BD}$ . Η ευθεία $\displaystyle{AX}$ τέμνει ξανά τον κύκλο $\displaystyle{\left(\omega\right)}$ στο σημείο $\displaystyle{S}$ , διαφορετικό από το $\displaystyle{A}$ . Από το σημείο $\displaystyle{X}$ φέρουμε κάθετη στην $\displaystyle{AS}$ , η οποία τέμνει το τόξο $\displaystyle{\overset{\frown}{ADC}}$ στο σημείο $\displaystyle{T}$ . Αν $\displaystyle{M, Z}$ τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{ST, AO}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{BZ=ZM}$ .

Νομίζω ότι είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα εδώ viewtopic.php?f=110&t=52028&p=248699#p248465

#4

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$ , τέτοιες ώστε:

(α) $\displaystyle{f\left(-x\right)=-f\left(x\right)}$ , για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x}$

(β) $\displaystyle{f\left(x+1\right)=f\left(x\right)+1}$ , για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x}$

(γ) $\displaystyle{f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f\left(x\right)}{x^2}}$ , για $\displaystyle{x\in\mathbb{R}, x\neq 0}$

viewtopic.php?f=111&t=30125

#5

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων $\displaystyle{\left(x, y, z\right)}$ , οι οποίες ικανοποιούν την εξίσωση: $\displaystyle{2^x+3^y=6^z-1}$

viewtopic.php?p=215250#p215250

#6

Soteris έγραψε: Να βρείτε τον μικρότερο περιττό ακέραιο $\displaystyle{\nu}$ , έτσι ώστε κάποιο $\displaystyle{\nu-}$ γωνο (όχι απαραίτητα κυρτό) να μπορεί να χωριστεί σε παραλληλόγραμμα, των οποίων τα εσωτερικά τους μέρη να μην αλληλοκαλύπτονται.

Έστω ότι έχουμε ένα διαμερισμό κάποιου πολυγώνου, και έστω

μια από τις πλευρές του πολυγώνου. Ένα από τα παραλληλόγραμμα θα πρέπει να εφάπτεται στην

. Από όλες τις πλευρές των παραλληλογράμμων που είναι παράλληλες στην

(υπάρχουν τουλάχιστον δύο) θεωρούμε αυτήν που βρίσκεται στην μεγαλύτερη απόσταση από την

. Ας την ονομάσουμε $\ell$ . Αν η $\ell$ βρίσκεται εσωτερικά του πολυγώνου, κάποιο άλλο παραλληλόγραμμο θα εφάπτεται στην $\ell$ και θα έχει πλευρά παράλληλη προς την

, αλλά σε μεγαλύτερη απόσταση, άτοπο. Άρα η $\ell$ εφάπτεται σε πλευρά του πολυγώνου.

Έχουμε λοιπόν δείξει ότι για κάθε πλευρά του πολυγώνου υπάρχει τουλάχιστον μια άλλη πλευρά η οποία είναι παράλληλή της.

Για n=3

το πιο πάνω είναι αδύνατο. Για n=5

είναι δυνατό αν επιτρέπουμε σε ένα πολύγωνο να έχει γωνίες 180

μοιρών. Π.χ. αν πάρουμε το «πεντάγωνο» AEBCD

όπου το

είναι ένα τετράγωνο και το

είναι εσωτερικό σημείο της

τότε αυτό διαμερίζεται σε ένα παραλληλόγραμμο. Αν απαγορεύονται οι γωνίες 180

μοιρών τότε είναι αδύνατο και για n=5

. Πράγματι οι πλευρές του πολυγώνου θα μπορούν να χωριστούν σε δύο πλευρές που είναι παράλληλες μεταξύ τους και άλλες τρεις που είναι και αυτές παράλληλες μεταξύ τους. Σε αυτήν την τριάδα παράλληλων πλευρών όμως δύο πρέπει να έχουν κοινή κορυφή. Αυτές σχηματίζουν γωνία 180

μοιρών, άτοπο.

Για n=7

γίνεται όπως δείχνει το πιο κάτω σχήμα.

$\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \clip(-1.9418243631020016,0.6455611217584468) rectangle (0.8379315778710912,3.82066012989216); \draw [line width=1.2pt] (-1.5,3.598076211353316)-- (-0.5,3.5980762113533165); \draw [line width=1.2pt] (-1.5,3.598076211353316)-- (-1.,2.7320508075688776); \draw [line width=1.2pt] (-1.,2.7320508075688776)-- (-1.5,1.8660254037844395); \draw [line width=1.2pt] (-1.5,1.8660254037844395)-- (-1.,1.); \draw [line width=1.2pt] (-1.,1.)-- (0.,1.); \draw [line width=1.2pt] (0.,1.)-- (0.5,1.8660254037844388); \draw [line width=1.2pt] (0.5,1.8660254037844388)-- (-0.5,3.5980762113533165); \draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-1.,2.7320508075688776)-- (0.,2.7320508075688776); \draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (0.,2.7320508075688776)-- (-0.5,1.8660254037844393); \draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-0.5,1.8660254037844393)-- (-1.5,1.8660254037844395); \draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-0.5,1.8660254037844393)-- (0.,1.); \end{tikzpicture}$

Al.Koutsouridis · #7

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Να βρείτε τον μικρότερο περιττό ακέραιο $\displaystyle{\nu}$ , έτσι ώστε κάποιο $\displaystyle{\nu-}$ γωνο (όχι απαραίτητα κυρτό) να μπορεί να χωριστεί σε παραλληλόγραμμα, των οποίων τα εσωτερικά τους μέρη να μην αλληλοκαλύπτονται.

Το πρόβλημα αυτό είχε τεθεί και στην προτελευταία φάση της πανρωσικής ολυμπιάδας του 2000 για την 8η τάξη.

Στην περίπτωση κυρτού $\displaystyle{\nu-}$ γωνου μπορεί να δειχθεί ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) Το $\displaystyle{\nu-}$ γωνο έχει κέντρο συμμετρίας.
2) Το $\displaystyle{\nu-}$ γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε παραλληλόγραμμα.

(Άσκηση πρώτη στο υποκεφάλαιο με τις διαμερίσεις σε παραλληλόγραμμα στο βιβλίο επιπεδομετρία του Πρασάλοβ)

Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Μέλη σε σύνδεση