Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{\nu}$ , έτσι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\nu+181}$ και $\displaystyle{\nu-288}$ να είναι κύβοι ακεραίων.

Πρόβλημα 2

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}\; \left(\angle{A}=90^\circ\right)}$ και $\displaystyle{AD}$ το ύψος του, με το σημείο $\displaystyle{D}$ να βρίσκεται πάνω στην $\displaystyle{BC}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{AB\cdot AC=BC\cdot AD}$

(β) Αν για τις πλευρές $\displaystyle{a, b, c}$ του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ ισχύει ότι $\displaystyle{a=2\sqrt{bc}}$ , να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του τριγώνου.

Πρόβλημα 3

Αν για τα μήκη $\displaystyle{a, b, c}$ των πλευρών ενός τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\geqslant 4\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Πρόβλημα 4

Τρεις κατεργάρηδες διέσχιζαν το δάσος και βρήκαν ένα κασόνι γεμάτο καρύδια. Επειδή ήταν βράδυ, αποφάσισαν να κοιμηθούν και να μοιράσουν τα καρύδια το πρωί. Ο ένας από τους τρεις έμεινε ξύπνιος, έριξε $\displaystyle{3}$ καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το $\displaystyle{\dfrac{1}{4}}$ των υπολοίπων και κοιμήθηκε. Ακολούθως, ξύπνησε ένας άλλος, έριξε $\displaystyle{3}$ καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το $\displaystyle{\dfrac{1}{4}}$ των υπολοίπων και κοιμήθηκε. Το πρωί ξύπνησε πρώτος ο τρίτος της παρέας, έριξε $\displaystyle{3}$ καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το $\displaystyle{\dfrac{1}{4}}$ των υπολοίπων και χώρισε όσα έμειναν στα ίσα σε τρία σακουλάκια. Όταν ξύπνησαν οι άλλοι, τους είπε ότι αυτά απέμειναν από τους σκίουρους και φρόντισε να τα μοιράσει στα ίσα. Να βρείτε πόσα το πολύ καρύδια είχαν βρει στην αρχή, αν τα τρία σακουλάκια είχαν τελικά λιγότερα από $\displaystyle{40}$ καρύδια το καθένα.

Al.Koutsouridis · #2

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{\nu}$ , έτσι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\nu+181}$ και $\displaystyle{\nu-288}$ να είναι κύβοι ακεραίων.

Έστω

και

. Αφαιρώντας τις σχέσεις κατά μέλη βρίσκουμε

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 181+288=469=7 \cdot 67$

Επειδή $a^2+ab+b^2 = \dfrac{1}{2}a^2 + \dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}(a+b)^2 > 0$ θα είναι και a-b > 0

Άρα οι δυνατές περιπτώσεις είναι a-b=7

ή

. Αν

θα έχουμε

$67= a^2+ab+b^2 = (a-b)^2+3ab = 7^2+3ab \Rightarrow 3ab = 18 \Rightarrow ab=9$

Το σύστημα αυτό όμως, όπως εύκολα μπορεί να δειχθεί, είναι αδύνατο στους ακέραιους. Ομοίως οδηγούμαστε σε αδύνατο σύστημα, αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις, στην περίπτωση που a-b=67

,

. Επομένως δεν υπάρχει

που ινακοποιεί τις δοθείσες συνθήκες.

#3

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}\; \left(\angle{A}=90^\circ\right)}$ και $\displaystyle{AD}$ το ύψος του, με το σημείο $\displaystyle{D}$ να βρίσκεται πάνω στην $\displaystyle{BC}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{AB\cdot AC=BC\cdot AD}$

(β) Αν για τις πλευρές $\displaystyle{a, b, c}$ του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ ισχύει ότι $\displaystyle{a=2\sqrt{bc}}$ , να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του τριγώνου.

α) Τα τρίγωνα ABD, ABC

είναι όμοια: $\displaystyle{\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AB \cdot AC = AD \cdot BC}$

: Γ' Παγκύπριος 2016.png (8.13 KiB) Προβλήθηκε 2263 φορές

β) Έστω

το μέσο της

. Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε:

$\displaystyle{bc = aAD \Leftrightarrow 2\sqrt {bc} = 2\sqrt {aAD} \Leftrightarrow a = 2\sqrt {aAD} \Leftrightarrow {a^2} = 4aAD \Leftrightarrow AD = \frac{a}{4} = \frac{{AM}}{2}}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow D\widehat MA = {30^0}}$

Άρα $\boxed{\widehat B = {15^0},\widehat C = {75^0}}$ , ή αντίστροφα.

#4

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Αν για τα μήκη $\displaystyle{a, b, c}$ των πλευρών ενός τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\geqslant 4\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Από

είναι $\displaystyle{a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2} \sqrt{8+6+2} = 4 \sqrt{a^2+b^2+c^2} }$ , που είναι η ανάποδη της δοθείσας ανισότητας. Άρα έχουμε ισότητα, που σημαίνει $a=k\sqrt 8, \, b=k\sqrt 6, \, c=k\sqrt 2$ για κάποιο

.

Παρατηρούμε τώρα ότι a^2=8k^2= 6k^2+2k^2=b^2+c^2

, και λοιπά.

nikkru · #5

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4

Τρεις κατεργάρηδες διέσχιζαν το δάσος και βρήκαν ένα κασόνι γεμάτο καρύδια. Επειδή ήταν βράδυ, αποφάσισαν να κοιμηθούν και να μοιράσουν τα καρύδια το πρωί. Ο ένας από τους τρεις έμεινε ξύπνιος, έριξε $\displaystyle{3}$ καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το $\displaystyle{\dfrac{1}{4}}$ των υπολοίπων και κοιμήθηκε. Ακολούθως, ξύπνησε ένας άλλος, έριξε $\displaystyle{3}$ καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το $\displaystyle{\dfrac{1}{4}}$ των υπολοίπων και κοιμήθηκε. Το πρωί ξύπνησε πρώτος ο τρίτος της παρέας, έριξε $\displaystyle{3}$ καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το $\displaystyle{\dfrac{1}{4}}$ των υπολοίπων και χώρισε όσα έμειναν στα ίσα σε τρία σακουλάκια. Όταν ξύπνησαν οι άλλοι, τους είπε ότι αυτά απέμειναν από τους σκίουρους και φρόντισε να τα μοιράσει στα ίσα. Να βρείτε πόσα το πολύ καρύδια είχαν βρει στην αρχή, αν τα τρία σακουλάκια είχαν τελικά λιγότερα από $\displaystyle{40}$ καρύδια το καθένα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

DatsKalali · #6

Προβλημα 3
Απο Cauchy-Schwartz $16 (\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)= ( \sqrt {8}^2+\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2)(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2) \geq (\alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2})^2$
και $\alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2}\ge 4\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2}$ .
Τοτε εχουμε ισοτητα.
Ισχυει¨ $8\alpha^2=6\beta^2=2\gamma^2$
Αρα, $\alpha^2= \beta^2+\gamma^2$

DatsKalali · #7

Al.Koutsouridis έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{\nu}$ , έτσι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\nu+181}$ και $\displaystyle{\nu-288}$ να είναι κύβοι ακεραίων.

Έστω και . Αφαιρώντας τις σχέσεις κατά μέλη βρίσκουμε

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 181+288=469=7 \cdot 67$

Επειδή $a^2+ab+b^2 = \dfrac{1}{2}a^2 + \dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}(a+b)^2 > 0$ θα είναι και

Άρα οι δυνατές περιπτώσεις είναι ή ή ή . Αν θα έχουμε

$67= a^2+ab+b^2 = (a-b)^2+3ab = 7^2+3ab \Rightarrow 3ab = 18 \Rightarrow ab=9$

Το σύστημα αυτό όμως, όπως εύκολα μπορεί να δειχθεί, είναι αδύνατο στους ακέραιους. Ομοίως οδηγούμαστε σε αδύνατο σύστημα, αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις, στην περίπτωση που , , . Επομένως δεν υπάρχει που ινακοποιεί τις δοθείσες συνθήκες.

Εχουμε ν=2016

ealexiou · #8

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{\nu}$ , έτσι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\nu+181}$ και $\displaystyle{\nu-288}$ να είναι κύβοι ακεραίων.

Έστω

και

, προφανώς a>0

(αφού

) και

Αφαιρώντας τις σχέσεις κατά μέλη βρίσκουμε
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 181+288=469=1\cdot 7 \cdot 67$
οπότε οι προς έλεγχο περιπτώσεις είναι:
i) (a-b)=1, (a^2+ab+b^2) =469

ii)

iii)

iv)

Είναι όμως a^2+ab+b^2= a^2+ab+b^2-2ab+2ab=(a-b)^2+3ab

οπότε:
i) $a-b=1\ (1)\ \wedge (a-b)^2+3ab=469\Rightarrow$ $1^2+3ab=469\Rightarrow 3ab=468\ (2)$ και
από (1)

και

παίρνουμε δεκτή λύση $a=13 \ \wedge\ b=12$ και άρα $\boxed{n=13^3-181=2016}$

ii) $(a-b)=7\ (3)\ \wedge \ (a-b)^2+3ab=469\Rightarrow 67^2+3ab=469 \Rightarrow 3ab=-4020 \ (4)$ που δεν μας δίνουν δεκτή λύση.

iii) $(a-b)=67\ (5)\ \wedge\ (a-b)^2+3ab =7\Rightarrow 67^2+3ab=7\ (6)$ , που δεν μας δίνουν δεκτή λύση.

iv) $(a-b)=469\ (1)\ \wedge \ (a-b)^2+3ab =1\Rightarrow 469^2+3ab=1\ (8)$ , που επίσης δεν μας δίνουν δεκτή λύση.

Άρα μοναδική λύση $\boxed{n=2016}$ (όπως τηλεγραφικά έγραψε ο DatsKalali παραπάνω)

#9

DatsKalali έγραψε:Προβλημα 3
Απο Cauchy-Schwartz $16 (\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)= ( \sqrt {8}^2+\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2)(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2) \geq (\alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2})^2$
και $\alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2}\ge 4\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2}$ .
Τοτε εχουμε ισοτητα.
Ισχυει¨ $8\alpha^2=6\beta^2=2\gamma^2$
Αρα, $\alpha^2= \beta^2+\gamma^2$

DatsKalali, επειδή ίσως χάνω κάτι, μπορείς να μας εξηγήσεις ποια είναι η διαφορά μεταξύ της λύση σου και αυτής που έβαλα 17,5

ώρες νωρίτερα;

Mihalis_Lambrou έγραψε: Από είναι $\displaystyle{a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2} \sqrt{8+6+2} = 4 \sqrt{a^2+b^2+c^2} }$ , που είναι η ανάποδη της δοθείσας ανισότητας. Άρα έχουμε ισότητα, που σημαίνει $a=k\sqrt 8, \, b=k\sqrt 6, \, c=k\sqrt 2$ για κάποιο .
Παρατηρούμε τώρα ότι , και λοιπά.

Εννοώ ουσιαστική διαφορά, όχι του τύπου "άλλαξε ο Μανωλιός και έβαλε τα ρούχα του αλλιώς".

(Θα θεωρήσω το $8\alpha^2=6\beta^2=2\gamma^2$ που γράφεις ως τυπογραφικό σου σφάλμα αντί του
ορθού $8/\alpha^2=6/\beta^2=2/\gamma^2$ , που είναι και η μόνη διαφορά στις δύο λύσεις)

μιχαλης ορφανιδης · #10

Το τέταρτο πρόβλημα γιατί δεν το έλυσε κάποιος ;;

#11

μιχαλης ορφανιδης έγραψε:Το τέταρτο πρόβλημα γιατί δεν το έλυσε κάποιος ;;

Μάλλον επειδή δόθηκε η απάντηση. Αυτό συνήθως αποθαρρύνει άλλα άτομα από το να γράψουν ολοκληρωμένη λύση. [Αν και αρκετοί κατά καιρούς δίνουμε είτε μόνο απαντήσεις είτε λύσεις από τις οποίες λείπουν κάποια βήματα, να θυμίσω ότι βάσει του κανονισμού οφείλουμε να στέλνουμε ολοκληρωμένες και όχι ελλιπείς λύσεις.]

Ας μας γράψει λοιπόν κάποιος μια πλήρη λύση για να την έχουμε. (Η απάντηση του nikkru φαίνεται σωστή.)

#12

μιχαλης ορφανιδης έγραψε:Το τέταρτο πρόβλημα γιατί δεν το έλυσε κάποιος ;;

Το τέταρτο πρόβλημα είναι αρκετά προσιτό, σίγουρα ευκολότερο από τα τρία προηγούμενα, και θα σου πρότεινα να το δοκίμαζες μόνος σου.

Παραπάνω στο ποστ του nikkru υπάρχει η τελική εξίσωση στην οποία φτάνεις.

Περιμένουμε την λύση σου.

Al.Koutsouridis · #13

DatsKalali έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε: Ομοίως οδηγούμαστε σε αδύνατο σύστημα, αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις, στην περίπτωση που , , . Επομένως δεν υπάρχει που ινακοποιεί τις δοθείσες συνθήκες.
Εχουμε ν=2016

Σωστά, ευχαριστώ για την επισήμανση από ότι φαίνεται έκανα λάθος στις πράξεις. Ο κ. Αλεξίου παραπάνω τις έχει κάνει σωστά και με απάλλαξε από τον κόπο

.

nikkru · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε:
μιχαλης ορφανιδης έγραψε:Το τέταρτο πρόβλημα γιατί δεν το έλυσε κάποιος ;;
Το τέταρτο πρόβλημα είναι αρκετά προσιτό, σίγουρα ευκολότερο από τα τρία προηγούμενα, και θα σου πρότεινα να το δοκίμαζες μόνος σου.

Πράγματι είναι αρκετά προσιτό, χρειάζεται μόνο ευχέρεια σε πράξεις. Έδωσα μόνο μια μικρή υπόδειξη και το αποτέλεσμα, ώστε αν κανείς το έλυνε να μπορούσε να ελέγξει την ορθότητα του αποτελέσματος. Δίνω παρακάτω την λύση.

Αν

ο αριθμός των καρυδιών που περιείχε το κασόνι, τότε ο πρώτος αφού έριξε τρία καρύδια στους σκίουρους και κράτησε το ένα τέταρτο από τα υπόλοιπα καρύδια, άφησε τα τρία τέταρτα τους, δηλαδή άφησε: $\frac{3}{4}\left( n-3\right)$ καρύδια. Το ίδιο έκανε και ο δεύτερος αφήνοντας $\frac{3}{4} \left[ \frac{3}{4}\left( n-3\right) -3 \right]$ το ίδιο και ο τρίτος αφήνοντας τελικά $\frac{3}{4} \left\{ \frac{3}{4} \left[ \frac{3}{4}\left( n-3\right) -3 \right] -3 \right\}$ .
Κάθε σακουλάκι περιείχε το $\frac{1}{3}$ από αυτά, δηλαδή κάθε σακουλάκι περιείχε $\frac{1}{3} \cdot\frac{3}{4} \left\{ \frac{3}{4} \left[ \frac{3}{4}\left( n-3\right) -3 \right] -3 \right\}=\frac{1}{4} \left[ \frac{3}{4} \left( \frac{3n}{4}-\frac{21}{4}\right) -3\right]$ $=\frac{1}{4} \left( \frac{9n}{16}-\frac{111}{16} \right)=\frac{9n}{64}-\frac{111}{64}$ . Αυτό πρέπει να είναι φυσικός

μικρότερος του 40, άρα 9n-111=64k

. Το αριστερό μέλος διαιρείται με το 3 άρα και το δεξιό, οπότε k=39,36,...,0

. Τα

απορρίπτονται γιατί ο

που προκύπτει δεν είναι ακέραιος, το k=33

δίνει

που είναι και ο μεγαλύτερος αριθμός που ικανοποιεί τα δεδομένα, αφού για αυτή την τιμή ο πρώτος κρύβει

και αφήνει 183

καρύδια, ο δεύτερος κρύβει

και αφήνει 135

καρύδια και ο τρίτος κρύβει

και αφήνει

καρύδια, δηλαδή από 33 σε κάθε σακουλάκι.
Άρα είχαν βρει το πολύ 247

καρύδια.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #15

Al.Koutsouridis έγραψε:Επομένως δεν υπάρχει που ινακοποιεί τις δοθείσες συνθήκες.

Αν

, δεν υπάρχει το $\boxed{n=2016}$ ;

Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

Μέλη σε σύνδεση