Τριγωνομετρική από Durrel και Robson (3)

#1

Μια λυμένη, αλλά πολύ όμορφη, πάλι από το ίδιο βιβλίο :

Ας λυθεί το σύστημα : $\begin{cases}\sin x+\sin y=\sin c \\\cos x+\cos y=\cos c\end{cases}$

#2

Μία "κλασσική" μέθοδος. Θα αναζητήσουμε και λύση με τεχνάσματα.

Είναι: (Σ): $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \eta \mu x + \eta \mu y = \eta \mu c\;\;\;\;\;\;(1) \\ \sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu y = \sigma \upsilon \nu c\;\;(2) \\ \end{array} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ \begin{array}{l} 2\eta \mu \frac{{x + y}}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{{x - y}}{2} = \eta \mu c \\ 2\sigma \upsilon \nu \frac{{x + y}}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{{x - y}}{2} = \sigma \upsilon \nu c \\ \end{array} \right.$

Διαιρούμε κατά μέλη, με τον περιορισμό $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \frac{{x + y}}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{{x - y}}{2} \ne 0\;\;\;\kappa \alpha \iota \;\;\sigma \upsilon \nu c \ne 0$

οπότε: $\displaystyle \varepsilon \phi \frac{{x + y}}{2} = \varepsilon \phi c\;\; \Leftrightarrow \;\;x + y = 2\kappa \pi + 2c,\;\kappa \in {\rm Z}$

Η (1) γράφεται: $\displaystyle \eta \mu x + \eta \mu \left( {2c - x} \right) = \eta \mu c\;\;\; \Leftrightarrow \;\;2\eta \mu c \cdot \sigma \upsilon \nu \left( {x - c} \right) = \eta \mu c$

Αν $\displaystyle \eta \mu c \ne 0$ , έχουμε: $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \left( {x - c} \right) = \frac{1}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;x - c = 2k\pi \pm \frac{\pi }{3}\;\; \Leftrightarrow \;\;x = 2k\pi \pm \frac{\pi }{3} + c,\;\;k \in {\rm Z}$ οπότε $\displaystyle y = 2\lambda \pi \mp \frac{\pi }{3} + c,\;\lambda \in {\rm Z}$

Αν ημc = 0 => συνc = 1, το (Σ) γράφεται: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \eta \mu x + \eta \mu y = 0\;\;\;\;\;(1) \\ \sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu y = 1\;\;\;(2) \\ \end{array} \right.\;$ που επιλύεται εύκολα.
(Από την (1) y = 2κπ - x ή y = 2κπ + π + x κ.ο.κ.)

Αν συνc = 0 => ημc = 1, το (Σ) γράφεται: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \eta \mu x + \eta \mu y = 1\;\;\;\;\;(1) \\ \sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu y = 0\;\;\;(2) \\ \end{array} \right.\;$ που επίσης επιλύεται εύκολα.

Γιώργος Ρίζος

liolios19 · #3

Αν υψώσουμε και τις δύο στο τεράγωνο και προσθέσουμε δεν φθάνουμε στην 2συν(χ-ψ)=-1;

Τριγωνομετρική από Durrel και Robson (3)

Τριγωνομετρική από Durrel και Robson (3)

Re: Τριγωνομετρική από Durrel και Robson (3)

Re: Τριγωνομετρική από Durrel και Robson (3)

Μέλη σε σύνδεση