ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

nassou13 · #1

Εστω συναρτηση f δυο φορες παραγωγισιμη στο [0,+απειρο) για την οποια υποθετουμε οτι ισχυουν f(0)=0 και x.f''(x)>f'(x) για καθε χ>0. Α. Να δειξετε οτι α) η g(x)= f '(x)/x, x>0 ειναι γν. αυξουσα στο (0,+απειρο) β) η συναρτηση h(t)= f(x).t^2-x^2.f(t), t >=0 ικανοποιει τις προυποθεσεις του θ.Rolle στο [0,χ] με χ>0. γ) για καθε χ>0 υπαρχει 1 τουλαχιστον ξ ε (0,χ) τετοιος ωστε 2f(x) =x^2/(ξ) . f '(ξ). Β. Να εξετασετε αν η συναρτηση φ(χ)= f(x)/x^2 ειναι γν. μονοτονη στο διαστημα (0,+απειρο) Γ. Να λυθει η ανισωση χ^2. f(x)>f(x^2) στο (0,+απειρο)

mathxl · #2

Ωραία άσκηση, δίνω σύντομες λύσεις υποδείξεις
α.
$g'\left( x \right) = \frac{{xf''\left( x \right) - f'\left( x \right)}}{{{x^2}}} > 0$
άρα g γνησίως αύξουσα στο [0,+οο) ως συνεχής σε αυτό
β.
Εύκολα h(0)=h(x)=0, ΄κτλ...όλα τα λεφτά το συμπέρασμα για το επόμενο υποερώτημα
γ.
από (β) υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in \left( {0,x} \right),x > 0$ τέτοιο ώστε να ισχύει $h'\left( \xi \right) = 0 \Leftrightarrow 2f\left( x \right) = \frac{{{x^2}f'\left( \xi \right)}}{\xi }$
δ.
$\varphi '\left( x \right) = \frac{{xf'\left( x \right) - 2f\left( x \right)}}{{{x^3}}}\mathop = \limits^{(\gamma )} \frac{{xf'\left( x \right) - \frac{{{x^2}f'\left( \xi \right)}}{\xi }}}{{{x^3}}} = \frac{{\frac{{f'\left( x \right)}}{x} - \frac{{f'\left( \xi \right)}}{\xi }}}{x} = \frac{{g\left( x \right) - g\left( \xi \right)}}{x}$
και από την μονοτονία της g είναι φ γνησίως αύξουσα
ε.
${x^2}f\left( x \right) > f\left( {{x^2}} \right) \Leftrightarrow {x^4}f\left( x \right) > {x^2}f\left( {{x^2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}} > \frac{{f\left( {{x^2}} \right)}}{{{x^4}}} \Leftrightarrow \varphi \left( x \right) > \varphi \left( {{x^2}} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\varphi \uparrow } x \in \left( {0,1} \right)$

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

Μέλη σε σύνδεση