Κυρτή και ανισότητα!

#1

Δίνεται η συνάρτηση

$\displaystyle{f:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=(e^x-1)\ln (x+1).}$

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή.

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)\geq x^2\,\, \forall x\in (-1,+\infty).}$

#2

Μια λύση για την ανισότητα

$\displaystyle{({{e}^{x}}-1)\ln (x+1)\ge {{x}^{2}}}$

Για $\displaystyle{x=0}$ ισχύει ως ισότητα
Για $\displaystyle{x\ne 0}$ και $\displaystyle{x>-1}$ , διαιρώντας με $\displaystyle{x\ln (x+1)>0}$ (ομόσημοι ) , γίνεται :
$\displaystyle{\frac{{{e}^{x}}-1}{x}\ge \frac{x}{\ln (x+1)}}$
Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση $\displaystyle{t(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{e}^{x}}-1}{x},\,\,x\ne 0 \\ \,\,\,\,0\,\,\,\,\,,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.}$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{R}$ .

Επίσης ισχύει $\displaystyle{\ln x<x-1\Rightarrow \ln (x+1)<x}$ , $\displaystyle{x\ne 0}$ και $\displaystyle{x>-1}$
Επομένως $\displaystyle{t(\ln (x+1))<t(x)\Rightarrow \frac{x}{\ln (x+1)}<\frac{{{e}^{x}}-1}{x}}$ , $\displaystyle{x\ne 0}$ και $\displaystyle{x>-1}$

hsiodos · #3

matha έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση

$\displaystyle{f:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=(e^x-1)\ln (x+1).}$

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή.

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)\geq x^2\,\, \forall x\in (-1,+\infty).}$

Για κάθε $\displaystyle{x > - 1}$ βρίσκουμε: $\displaystyle{{f{'}}(x) = {e^x}\ln (x + 1) + \frac{{{e^x} - 1}}{{x + 1}}}$ και $\displaystyle{{f{''}}(x) = {e^x}\ln (x + 1) + \frac{{{e^x}}}{{x + 1}} + \frac{{x{e^x} + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}$

α) Γνωρίζουμε (εφαρμογή σχολικού) ότι για κάθε $\displaystyle{t > 0}$ ισχύει $\displaystyle{\ln t \le t - 1\,\,\,(1)}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x = 1}$ .

$\displaystyle{ \bullet }$ Θέτουμε στην (1) όπου $\displaystyle{t}$ το $\displaystyle{\frac{1}{{x + 1}}\,\,\,(x > - 1)}$ οπότε παίρνουμε $\displaystyle{\,\ln (x + 1) \ge \frac{x}{{x + 1}}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \,\,\,\ln (x + 1) + \frac{1}{{x + 1}} \ge 1\,\,\,\,(2)\,\,}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x = 0}$ .

$\displaystyle{ \bullet }$ Θέτουμε στην (1) όπου $\displaystyle{t}$ το $\displaystyle{\,{e^x}}$ οπότε παίρνουμε $\displaystyle{\,{e^x} \ge x + 1\,\,\,\,(3)\,\,}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x = 0}$ .

$\displaystyle{ \bullet }$ Για κάθε $\displaystyle{x > - 1}$ έχουμε: $\displaystyle{x\left( {{e^x} - 1} \right) \ge 0 \Rightarrow x{e^x} \ge x \Rightarrow x{e^x} + 1 \ge x + 1 \Rightarrow \frac{{x{e^x} + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{x + 1}}\,\,\,(4)}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x = 0}$ .

Συνεπώς για κάθε $\displaystyle{x > - 1}$ έχουμε:

$\displaystyle{{f{''}}(x) = {e^x}\left( {\ln (x + 1) + \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \frac{{x{e^x} + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{(2),(3),(4)} {f{''}}(x) \ge \left( {x + 1\,} \right) + \frac{1}{{x + 1}} \ge 2}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x = 0}$ .

Προκύπτει ότι η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή.

β) Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = f(x) - {x^2}}$ , $\displaystyle{x > - 1}$

Για κάθε $\displaystyle{x > - 1}$ έχουμε:

$\displaystyle{{g{'}}(x) = {f{'}}(x) - 2x\,\,\,\,\,,\,\,\,{g{'}}(0) = 0}$ και $\displaystyle{{g{''}}(x) = {f{''}}(x) - 2 \ge 0}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{x = 0}$ . Άρα η $\displaystyle{{g{'}}}$ είναι γνησίως αύξουσα και εύκολα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{{g{'}}(x) < 0\,\,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,\,,\,\,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{g{'}}(x) > 0\,\,\,\,\forall x \in \left( {0\,\,,\,\, + \infty } \right)}$ .

Συμπεραίνουμε ότι η $\displaystyle{g}$ στο $\displaystyle{{x_o} = 0}$ παρουσιάζει ελάχιστο οπότε για κάθε $\displaystyle{x > - 1}$ ισχύει $\displaystyle{g(x) \ge g(0) \Rightarrow f(x) - {x^2} \ge 0 \Rightarrow f(x) \ge {x^2}}$ .

#4

Καλημέρα. Μια εικασία που προέκυψε χτες κοιτώντας την άσκηση που έδωσε ο Θάνος.
Αν έχουμε μία κυρτή συνάρτηση, με την αντίστροφη της κοίλη, ορισμένες φυσικά σε κατάλληλο διάστημα (εννοώ να ορίζονται και οι δύο)
γνησίως αύξουσες και οι δύο, τότε το γινόμενο αυτών των δύο συναρτήσεων είναι πάντα κυρτή συνάρτηση;
Δεν την έχω ψάξει, δεν ξέρω αν υπάρχει ήδη ως πρόταση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Δεν ισχύει.
Εκθετική λογαριθμική στους θετικούς.

Ανδρέας Πούλος · #6

Για την κυρτότητα της συνάρτησης.
Υπολόγισα τη δεύτερη παράγωγο όπως ο isiodos, αλλά στη συνέχεια την έγραψα ως:
$f''(x)=\frac{e^x.(x+1)^{2}ln(x+1)+e^x(x+1) + e^x.x+1}{(x+1)^{2}}$
Ο παρονομαστής είναι θετικός στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης,
αρκεί να είναι και ο αριθμητής θετικός.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι e^x.x + 1 > 0

, για κάθε

, άρα και

, (1)

, για

, (2).

Μπορούμε να αποδείξουμε (είναι κάπως ενδιαφέρον) ότι
$\lim ({xe^{x}+1})=1$ όταν το x τείνει στο μείον άπειρο.
και ότι xlnx + 1 > 0

για κάθε x >0.

Ανδρέας Πούλος

Κυρτή και ανισότητα!

Κυρτή και ανισότητα!

Re: Κυρτή και ανισότητα!

Re: Κυρτή και ανισότητα!

Re: Κυρτή και ανισότητα!

Re: Κυρτή και ανισότητα!

Re: Κυρτή και ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση