Συναρτησιακή Εξίσωση

nikos18 · #1

ΑΣΚΗΣΗ:
Υπάρχει συνάρτηση $g: R\rightarrow R$ τέτοια ώστε $g(x+y)-x\geq g(x)g(y)$ , για κάθε $x,y\epsilon R$ ;

ΚΑΠΟΙΑ ΒΟΗΘΕΙΑ ;

Κοτσόβολης Γιώργος · #2

Για

έχεις οτι

ή ότι

δεν παίρνει και αρνητικές και θετικές τιμές.
Στην πρώτη περίπτωση δες τι γίνεται για y=0

,ενώ στην δεύτερη παρατήρησε οτι $g(x)g(y)\geq 0$

nikos18 · #3

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

ΤΟ ΕΛΥΣA ΩΣ ΕΞΗΣ:
έδειξα ότι $0\leq g(0)\leq 1$ . Έπειτα, για x=0

,

η (1) γίνεται $0\geq g(x)(g(0)-1)$ άρα το g(x)

θετικό ή μηδέν για κάθε $x\epsilon R$ .
Για y=-x

, η (1) γίνεται $g(0)\geq x+g(x)g(-x)\Rightarrow 1-x\geq g(0)-x\geq 0$ άτοπο αφού ο χ είναι κάθε πραγματικός αριθμός.

#4

nikos18 έγραψε:ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ
... η (1) γίνεται $0\geq g(x)(g(0)-1)$ άρα το θετικό ή μηδέν για κάθε $x\epsilon R$ .

Η λύση σου είναι πολύ συνοπτικά γραμμένη και ομολογώ δεν την κατάλαβα. Πάντως στο παραπάνω σημείο υπάρχει σφάλμα. Αν $\displaystyle{g(0)=1}$ η συνάρτηση μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.

Επίσης ας τονιστεί ότι τέτοια θέματα ΟΥΔΕΜΙΑ σχέση έχουν με την ύλη της Γ' Λυκείου, η οποία εξετάζεται στις πανελλαδικές. Επειδή σε τρεις μέρες οι μαθητές μας θα εξεταστούν στα Μαθηματικά, ας μην τρομάζουν αν δεν μπορούν να τα αντιμετωπίσουν.

Γράφω και μια απόδειξη.

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{x=y=0}$ βρίσκουμε $\displaystyle{0\leq g(0)\leq 1.}$ (1)

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{y=0}$ βρίσκουμε $\displaystyle{(1-g(0))g(x)\geq x~\forall x.}$ Αν ήταν $\displaystyle{g(0)=1}$ θα προέκυπτε το παράλογο $\displaystyle{0\geq x~\forall x.}$

Άρα $\displaystyle{g(0)<1}$ (2)

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{x=0}$ βρίσκουμε $\displaystyle{(1-g(0))g(y)\geq 0~\forall y\stackrel{(2)}{\implies} g(y)\geq 0~\forall y.}$ (3)

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{y=-x}$ προκύπτει

$\displaystyle{g(0)\geq x+g(x)g(-x)~\forall x\stackrel{(3)}{\implies}g(0)\geq x~\forall x,}$ άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

#5

Το είδαμε και εδώ:
viewtopic.php?p=218750#p218750

nikos18, πού συνάντησες την άσκηση;

nikos18 · #6

Καλησπέρα.
Το συνάντησα στις σημειώσεις ενός φροντιστηρίου ...

#7

nikos18 έγραψε:Καλησπέρα.
Το συνάντησα στις σημειώσεις ενός φροντιστηρίου ...

Ήμαρτον! Αν είναι να ανοίξει ο ασκός του Αιόλου που μέσα έχει συναρτησιακές...

Επαναλαμβάνω:

matha έγραψε: ...
Επίσης ας τονιστεί ότι τέτοια θέματα ΟΥΔΕΜΙΑ σχέση έχουν με την ύλη της Γ' Λυκείου, η οποία εξετάζεται στις πανελλαδικές. Επειδή σε τρεις μέρες οι μαθητές μας θα εξεταστούν στα Μαθηματικά, ας μην τρομάζουν αν δεν μπορούν να τα αντιμετωπίσουν.

Συναρτησιακή Εξίσωση

Συναρτησιακή Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση