Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Stateofmind · #61

NikosTheodorakis έγραψε:
Stateofmind έγραψε:Καλησπέρα στη παρέα, μαθητής εδω.

Στο Β πιστεύω πολλοί θα την πάτησαν με τη γραφική παράσταση. Προσωπικά με έσωσε το σύνολο τιμων.Νομίζω ήταν f(A)=[0,1)
Θεωρώ το θέμα Γ δυσκολότερο από το Δ, ειδικότερα το Γ2 και Γ4
Στο Δ4 έθεσα u=lnx Και μετά χρησιμοποίησα μονοτονία.
Επίσης στο Δ2 για την μονοτονία είπα ότι επειδή η f δεν έχει ακρότατα, θα είναι γνησίως μονότονη (χρειάζεται απόδειξη;;) και ύστερα είπα 0<π και f(0)<f(π). Επομένως, η f δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή είναι γνησίως μονότονη, ειναι τελικά γνησίως αύξουσα στο R.

Καλή συνέχεια και καλά αποτελέσματα
Παραπομπή:

Υπάρχει η εξής πρόταση η οποία ΔΕΝ αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο:
"Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν έχει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του Δ θα είναι γνησίως μονότονη στο Δ."

Οπότε δεν ξέρω πως θα σε βαθμολογήσουν, εγώ πάντως θα έδινα τα 2 από τα 4 μόρια.

"Μαθηματικώς" θεωρείται σωστή η απάντηση;

alexandrosvets · #62

Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της f,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Έστω ότι υπάρχει $x_0 : f(x_0) \neq x_0, (1).$

Η f(x)

ειναι 1-1,άρα από την $(1)\leftrightarrow f(f(x_0)) \neq f(x_0),(2).$

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$

Επίσης απο την (1) και την e^x

έχουμε ότι $e^{f(x_0)}\neq e^{x_0},(4).$

Προσθέτοντας τις 3,4 προκυπτει άτοπο απο την εκφώνηση.

Άρα $f(x)=x,x\epsilon \mathbb R$

#63

alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της f,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$

Είναι λάθος και το λάθος βρίσκεται ακριβώς στη σχέση (3). Αν $a\neq b$ και $b\neq c$ τότε δεν είναι απαραίτητο ότι $a\neq c$ . (πάρε $a=c=3, \ b=2$ ).

Αλέξανδρος

alexandrosvets · #64

cretanman έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της f,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$
Είναι λάθος και το λάθος βρίσκεται ακριβώς στη σχέση (3). Αν $a\neq b$ και $b\neq c$ τότε δεν είναι απαραίτητο ότι $a\neq c$ . (πάρε $a=c=3, \ b=2$ ).

Αλέξανδρος

Όμως αν

, αφου η

1-1 , τότε $f(x_0)=f^{-1}(x_0)$ .(Εδω θα ξεφύγουμε από το σχολικό νομίζω.)Επειδη η

αύξουσα τότε το κοινό σημείο ειναι πάνω στην y=x

.Άρα

,άτοπο αφού υποθέσαμε το αντίθετο.

Αν κάποιο λάθος συγχωρέστε με.

#65

Coxs έγραψε:ξέρουμε αν το Γ4 βγαίνει με ΘΜΤ στα [|ημχ|,χ],[|ημχ|+3,χ+3] ????

Αν $0<x\leq |\eta \mu x|+3$ τότε μπορούμε να δείξουμε εφαρμόζοντας το ΘΜΤ στα διαστήματα που αναφέρεις, ότι η εξίσωση που δίνεται, είναι αδύνατη.

Αν όμως $x> |\eta \mu x|+3$ τότε τα διαστήματα αυτά δεν είναι ξένα μεταξύ τους και δεν προκύπτει το συμπέρασμα. Αν δουλέψουμε με ΘΜΤ στα διαστήματα [x,x+3]

και $[|\eta \mu x|,|\eta \mu x|+3]$ τότε αυτά είναι ξένα μεταξύ τους και προκύπτει ότι η εξίσωση είναι αδύνατη και σε αυτήν την περίπτωση.

Λύνεται λοιπόν και με το ΘΜΤ, αρκεί να διακρίνουμε περιπτώσεις.

NikosTheodorakis · #66

alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της ,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Έστω ότι υπάρχει $x_0 : f(x_0) \neq x_0, (1).$

Η ειναι 1-1,άρα από την $(1)\leftrightarrow f(f(x_0)) \neq f(x_0),(2).$

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$

Επίσης απο την (1) και την έχουμε ότι $e^{f(x_0)}\neq e^{x_0},(4).$

Προσθέτοντας τις 3,4 προκυπτει άτοπο απο την εκφώνηση.

Άρα $f(x)=x,x\epsilon \mathbb R$

Μπορείτε να δουλέψετε όπως προτείνετε υποθέτοντας ότι υπάρχει σημείο χο ώστε η f να είναι μεγαλύτερη από το xο και να καταλήξεις σε άτοπο. Ομοίως για μικρότερη καταλήγετε πάλι σε άτοπο. Και προκύπτει ο τύπος της f. Καλή η σκέψη σας, έτσι όπως σας λέω αποδεικνύεται ο τύπος, αν και αυτό είναι περιττό, η άσκηση βγαίνει πολύ πιο εύκολα.

#67

Ζωβοΐλης Ηλίας έγραψε: Έχω την εντύπωση ότι δεν μπορούμε να κάνουμε χρήση του κανόνα Del' Hospital,καθώς γνωρίζουμε ποιο είναι το όριο και δεν το αναζητούμε!

Ποιά από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος δεν ισχύει;
https://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule

Stateofmind · #68

Ισχύει χωρίς απόδειξη ότι αν η

δεν έχει ακρότατα στο $\mathbb{R}$ , τότε αυτή είναι γνησίως μονότονη; Αναφέρομαι σε εναλλακτική λύση του ερωτήματος Δ2 ii

#69

NikosTheodorakis έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της f,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Έστω ότι υπάρχει $x_0 : f(x_0) \neq x_0, (1).$

Η ειναι 1-1,άρα από την $(1)\leftrightarrow f(f(x_0)) \neq f(x_0),(2).$

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$

Επίσης απο την (1) και την έχουμε ότι $e^{f(x_0)}\neq e^{x_0},(4).$

Προσθέτοντας τις 3,4 προκυπτει άτοπο απο την εκφώνηση.

Άρα $f(x)=x,x\epsilon \mathbb R$
Μπορείτε να δουλέψετε όπως προτείνετε υποθέτοντας ότι υπάρχει σημείο χο ώστε η f να είναι μεγαλύτερη από το xο και να καταλήξεις σε άτοπο. Ομοίως για μικρότερη καταλήγετε πάλι σε άτοπο. Και προκύπτει ο τύπος της f. Καλή η σκέψη σας, έτσι όπως σας λέω αποδεικνύεται ο τύπος, αν και αυτό είναι περιττό, η άσκηση βγαίνει πολύ πιο εύκολα.

Νίκο, μπορείς να γράψεις την παραπάνω σκέψη λίγο πιο αναλυτικά;

Αλέξανδρος

hsiodos · #70

alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της f,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Έστω ότι υπάρχει $x_0 : f(x_0) \neq x_0, (1).$

Η ειναι 1-1,άρα από την $(1)\leftrightarrow f(f(x_0)) \neq f(x_0),(2).$

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$

Επίσης απο την (1) και την έχουμε ότι $e^{f(x_0)}\neq e^{x_0},(4).$

Προσθέτοντας τις 3,4 προκυπτει άτοπο απο την εκφώνηση.

Άρα $f(x)=x,x\epsilon \mathbb R$

$\displaystyle{3 \ne 4\,\,\, \wedge 2 \ne 1\mathop \Rightarrow \limits^? 5 \ne 5}$

alexandrosvets · #71

hsiodos έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της f,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Έστω ότι υπάρχει $x_0 : f(x_0) \neq x_0, (1).$

Η ειναι 1-1,άρα από την $(1)\leftrightarrow f(f(x_0)) \neq f(x_0),(2).$

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$

Επίσης απο την (1) και την έχουμε ότι $e^{f(x_0)}\neq e^{x_0},(4).$

Προσθέτοντας τις 3,4 προκυπτει άτοπο απο την εκφώνηση.

Άρα $f(x)=x,x\epsilon \mathbb R$
$\displaystyle{3 \ne 4\,\,\, \wedge 2 \ne 1\mathop \Rightarrow \limits^? 5 \ne 5}$

Σας ευχαριστώ.

Λάμπρος Μπαλός · #72

Ο χαρακτηρισμός "εύκολα" είναι κάτι το οποίο προκαλεί ειδικά όταν γίνεται από μαθητές που εξετάστηκαν το 2015, δηλαδή την αμέσως προηγούμενη χρονιά. Είναι πάγιο να θέλει ο απόφοιτος να είναι αυτός που τράβηξε τα απίστευτα ζόρια και οι επόμενοι να είναι απλώς τυχεροί που εξετάστηκαν σε τόσο γελοία θέματα. 99 στις 100 φορές , οι πρώτοι, λύνουν τα θέματα με το μάτι και ξεχνούν φαίνεται την ψυχολογία του εξεταζόμενου. Καλά θα κάνουν να περιοριστούν στην ελάχιστη πείρα που έχουν και να σεβαστούν τους τωρινούς υποψήφιους που συνεχίζουν τον αγώνα τους με τα υπόλοιπα μαθήματα.

Τα παραπάνω σχόλια δεν δηλώνουν βέβαια πως τα θέματα ήταν δύσκολα. Αυτός θα ήταν επίσης ένας προκλητικός χαρακτηρισμός ειδικά για το Δ Θέμα που αν μη τι άλλο εκφράζει ένα στυλ ασκήσεων χιλιοειπωμένο από καθηγητές σχολείου,φροντιστές,βοηθήματα και καθετί που σέβεται τον εαυτό του και τον μαθητή. Συμφωνώ με την ΕΜΕ ότι τα ερωτήματα Γ2 και Γ4 θα δυσκόλευαν και τον σχετικά καλά διαβασμένο μαθητή. Δεν θεωρώ ότι θα δημιουργηθεί πρόβλημα από την κατανομή των βαθμολογιών που να οφείλεται στα Μαθηματικά και μπορώ να πω ως προς αυτό, ότι τα θέματα μου άρεσαν!

προσθήκη : και συγγνώμη προσωπικά από τους θεματοδότες που τους αποκάλεσα κάποτε ατζαμήδες.

Energy Engineer · #73

NikosTheodorakis έγραψε: Υπάρχει η εξής πρόταση η οποία ΔΕΝ αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο:
"Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν έχει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του Δ θα είναι γνησίως μονότονη στο Δ."

Για ποιο λόγο το να είναι συνεχής στο διάστημα Δ είναι απαραίτητο;

Stateofmind · #74

Energy Engineer έγραψε:
NikosTheodorakis έγραψε: Υπάρχει η εξής πρόταση η οποία ΔΕΝ αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο:
"Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν έχει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του Δ θα είναι γνησίως μονότονη στο Δ."
Για ποιο λόγο το να είναι συνεχής στο διάστημα Δ είναι απαραίτητο;

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτό χωρίς απόδειξη για τη λύση του Δ2; Δεν σκέφτηκα τη πεπατημένη οδό του διατηρεί πρόσημο

#75

NikosTheodorakis έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της f,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Έστω ότι υπάρχει $x_0 : f(x_0) \neq x_0, (1).$

Η ειναι 1-1,άρα από την $(1)\leftrightarrow f(f(x_0)) \neq f(x_0),(2).$

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$

Επίσης απο την (1) και την έχουμε ότι $e^{f(x_0)}\neq e^{x_0},(4).$

Προσθέτοντας τις 3,4 προκυπτει άτοπο απο την εκφώνηση.

Άρα $f(x)=x,x\epsilon \mathbb R$
Μπορείτε να δουλέψετε όπως προτείνετε υποθέτοντας ότι υπάρχει σημείο χο ώστε η f να είναι μεγαλύτερη από το xο και να καταλήξεις σε άτοπο. Ομοίως για μικρότερη καταλήγετε πάλι σε άτοπο. Και προκύπτει ο τύπος της f. Καλή η σκέψη σας, έτσι όπως σας λέω αποδεικνύεται ο τύπος, αν και αυτό είναι περιττό, η άσκηση βγαίνει πολύ πιο εύκολα.

Ούτε έτσι φαίνεται να γίνεται.

Έστω f(x)>x

για κάποιο

. Τότε

και $e^{f(x)}>e^x$ .

Επίσης, $e^{f(x)}+x=f(f(x))+e^x$ .

Οι σχέσεις αυτές δε δίνουν άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

papamixalis · #76

Καλησπέρα
Η λύση μου για το Δ1 (ελπίζω σωστή)

Προσθαφέρεσα το f'(x)cosx

οπότε δημιουργούνται δύο αρχικές
η μια είναι η -f(x)cosx

και η άλλη είναι η f'(x)sinx

με πράξεις βγαίνει το ζητούμενο.

Λάμπρος Μπαλός · #77

papamixalis έγραψε:Καλησπέρα
Η λύση μου για το Δ1 (ελπίζω σωστή)

Προσθαφέρεσα το οπότε δημιουργούνται δύο αρχικές
η μια είναι η και η άλλη είναι η με πράξεις βγαίνει το ζητούμενο.

Ε σαφώς και είναι σωστή.

#78

apotin έγραψε:Κάποτε πρέπει να λυθεί επιτέλους η "νομιμότητα" χρήσης της συνεπαγωγής:

$\displaystyle{f\left( x \right) < g\left( x \right),{\kern 1pt} \;x \in \left[ {a,\;b} \right] \Rightarrow \int_a^b {f\left( x \right)dx} < \int_a^b {g\left( x \right)dx} }$

Αποστόλη, εύλογο το ερώτημα.

Ωστόσο η ίδια η επιτροπή και πέρυσι και φέτος στις ενδεικτικές λύσεις δείχνει ότι δεν θέλει την αιτιολόγηση. Δεν ξέρω αν αυτή την παρατήρηση την ασπάζονται όλοι οι βαθμογητές.

Το ερώτημα πιάνει ελάχιστα μόρια κι αν κοπεί 1 μονάδα για αυτό, τα υπόλοιπα πρέπει να πάρουν 10 !

ΧΑιρετώ και καλά αποτελέσματα !

pana1333 · #79

Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η {f}'

είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η {f}'

θα διατηρεί το πρόσημό της στο

είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της Σελ 262 το γ), κάτι που νομίζω δεν ισχύει.

Επίσης έχω ένσταση στη λύση, δεν μπορούμε να πούμε ${f}'\left( x \right)\ne 0$ διότι στο α) ουσιαστικά βρήκαμε ότι ${f}'\left( 0 \right)\ne 0$

Επίσης αν ισχύει αν $f'(x)\neq$ 0 τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατα και όχι αν η

δεν παρουσιάζει ακρότατα τότε $f'(x)\neq$ 0....ειναι σαν να λέμε κάθε συνεχής είναι και παραγωγίσιμη άρα αν δεν είναι συνεχής δεν θα είναι παραγωγίσιμη και όχι αν δεν είναι παραγωγίσιμη δεν θα είναι και συνεχής! Ποια η γνώμη σας; Είναι κάτι που δε βλέπω;

#80

Energy Engineer έγραψε:
NikosTheodorakis έγραψε: Υπάρχει η εξής πρόταση η οποία ΔΕΝ αναφέρεται όμως στο σχολικό βιβλίο:
"Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν έχει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του Δ θα είναι γνησίως μονότονη στο Δ."
Για ποιο λόγο το να είναι συνεχής στο διάστημα Δ είναι απαραίτητο;

Αγνοείστε το μήνυμα, άλλα κατάλαβα, δηλαδή τίποτα !!!

Όχι μόνο αυτό , αλλά τέτοια πρόταση δεν υπάρχει ούτε στο σχολικό βιβλίο ούτε αλλού, διότι είναι λανθασμένη . Μια συνεχής συνάρτηση μπορεί να είναι και σταθερή σε κάποιο υποδιάστημα του πεδίου ορισμού της.

Έχει λοιπόν σε άπειρα εσωτερικά σημεία τοπικά ακρότατα, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη.

Ίσως κάτι άλλο να είχε στο νου του ο συντάκτης.Ίσως να την φαντάζονταν επιπλέον και ως 1-1

. Αν δεν είχε γίνει ήδη παράθεση, θα έγραφα στον συντάκτη να αλλάξει το μύνημά του.Η παρέμβασή μου είναι τελείως φιλική και παρακαλώ μόνο έτσι να εκληφθεί .

Μπ

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Μέλη σε σύνδεση