Συνεχής στο ..1..

#1

Αν η συνάρτησηση $f:(0,+\infty)\to \marhbb{R}$ ικανοποεί τη σχέση f(x+y)=xf(y)+yf(x)

και είναι συνεχής στο 1,τότε να δείξετε ότι είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$

Στέλιος Μαρίνης · #2

Καλησπέρα

#3

Ας βρεθούν οι συναρτήσεις $f:(0,+\infty)\to \marhbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση f(x+y)=xf(y)+yf(x)

.

#4

socrates έγραψε:Ας βρεθούν οι συναρτήσεις $f:(0,+\infty)\to \marhbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση .

Θανάση καλημέρα.
Θέλουμε την

χωρίς να γνωρίζουμε τη συνέχεια στο x_o=1

;

#5

socrates έγραψε:Ας βρεθούν οι συναρτήσεις $f:(0,+\infty)\to \marhbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση .

Καλησπέρα σε όλους! Μία απόπειρα.
Για x=y

παίρνουμε

Οπότε αν θέσουμε όπου

το

παίρνουμε

. (1)

Αν θέσουμε όμως στην αρχική όπου

το

παίρνουμε:

f(x+2y)=(x+y)f(y)+yf(x+y)=(x+y)f(y)+y(xf(y)+yf(x))=(x+y+xy)f(y)+y^2f(x)

(2)

Επειδή (1)=(2), θα έχουμε ότι

(2y-y^2)f(x)=(x+y-xy)f(y)

.

Για

στην τελευταία βρίσκουμε f(x)=f(1)

, και με αντικατάσταση η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί είναι η f(x)=0

για κάθε $x\in (0,+\infty)$

#6

Σιλουανέ σε ευχαριστώ .!