Ισοσκελές vs ισοσκελές

KARKAR · #1

: Ισοσκελές vs ισοσκελές.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 1341 φορές

Οι διχοτόμοι των ίσων γωνιών $\hat{B},\hat{C}$ , ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνουν τον περίκυκλο

του τριγώνου στα σημεία S,P

. Αν

, υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(SPBC)}{(ABC)}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

$\displaystyle{APCS,APBS}$ ισοσκελή τραπέζια ,άρα $\displaystyle{APIS}$ ρόμβος $\displaystyle{ \Rightarrow AD = DI}$

$\displaystyle{\frac{{PS}}{{BC}} = \frac{{DI}}{{IM}} \Rightarrow \frac{{DI}}{{IM}} = 2 \Rightarrow IM = \frac{{DI}}{2} \Rightarrow \boxed{DM = \frac{{3DI}}{2}} \Rightarrow \boxed{AM = \frac{{5DI}}{2}}}$

$\displaystyle{\frac{{2\left( {PSCB} \right)}}{{2(ABC)}} = \frac{{\left( {PS + BC} \right)DM}}{{BC \cdot AM}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{{3BC}}{{BC}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {PSCB} \right)}}{{(ABC)}} = \frac{9}{5}}}$

: L.E.png (23.26 KiB) Προβλήθηκε 1309 φορές

sakis1963 · #3

Χαιρετώ τους φίλους!

Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η γεωμετρική κατασκευή του "ειδικού" αυτού ισοσκελούς στις περιπτώσεις :

α. που μας δίνεται η βάση του

β. που μας δίνεται ο περίκυκλός του

sotiriszogos · #4

Από τις ιδιότητες τριγώνων και απο το γεγονός ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι σταθερό και ίσο με $180^\circ$ εχουμε ότι $S\widehat BC=A\widehat BS=A\widehat BP=B\widehat CP=P\widehat CA=A\widehat CS=B\widehat SP=C\widehat PS$ .
Επίσης προκύπτει ότι $B\widehat AC=B\widehat SC=C\widehat PB$ .
Από συγκριση τριγώνων προκύπτει ότι τα τρίγωνα POS

και

είναι ανάλογα με $\lambda=\frac{PS}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2$ . Οπότε $\frac{TO}{OM}=\lambda=2 \Rightarrow TO=2OM$ .
Έχουμε $P\widehat SA=P\widehat CA$ καθώς είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο,
οπως επίσης και για τον ίδιο λόγο $S\widehat PA=S\widehat BA$ .
Τα τρίγωνα APS

και

είναι όμοια και έχουν όλα τα στοιχεία τους όμοια, άρα και όμοια ύψη δηλαδή AT=TO

.
Ε τραπεζίου $\displaystyle (SPBC)=\frac{(\beta +B)\cdot\upsilon }{2}=\frac{(BC+PS)\cdot(OM+TO)}{2}=\frac{(BC+2BC)\cdot(OM+2OM)}{2}=\frac{3BC\cdot 3OM}{2}=\frac{9BC\cdot OM}{2}$ .
Ε τριγώνου $\displaystyle (ABC)=\frac{\beta \cdot \upsilon}{2}=\frac{BC\cdot(OM+TO+AT)}{2}=\frac{BC\cdot(OM+2OM+2OM)}{2}=\frac{BC\cdot 5OM}{2}=\frac{5BC\cdot OM}{2}$ .
Οπότε $\displaystyle \frac{(SPBC)}{(ABC)}=\frac{9}{5}$ .

KARKAR · #5

sakis1963 έγραψε: Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η γεωμετρική κατασκευή του "ειδικού" αυτού ισοσκελούς στις περιπτώσεις :

α. που μας δίνεται η βάση του

β. που μας δίνεται ο περίκυκλός του

: Κατασκευή.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 1275 φορές

Είναι απλό να δείξουμε ότι : PS=AB

, συνεπώς : AB=4BM

.

Επομένως : $(4x)^2=d\cdot x\sqrt{15}$ και λύνοντας : $x=\dfrac{d\sqrt{15}}{16}$ , δηλαδή

έχω τη σχέση που συνδέει τη βάση του ισοσκελούς με τη διάμετρο του περικύκλου .

Ισοσκελές vs ισοσκελές

Ισοσκελές vs ισοσκελές

Re: Ισοσκελές vs ισοσκελές

Re: Ισοσκελές vs ισοσκελές

Re: Ισοσκελές vs ισοσκελές

Re: Ισοσκελές vs ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση