μιγαδικοί+γεωμετρια 3

#1

Να δείξετε ότι
$\displaystyle{|z+w|\ge \frac{1}{2}(|z|+|w|)(|\frac{z}{|z|}+\frac{w}{|w|}|),\forall z,w\in C*}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Θέτουμε $z_{1}=\dfrac{z}{\left | z \right |}$ και $w_{1}=\dfrac{w}{\left | w \right |}$

Προφανώς $\left | z_{1} \right |=\left | w_{1} \right |=1$ (1)

Πρέπει να αποδείξουμε ότι $\left | z_{1}+w_{1} \right |(\left | z \right |+\left | w \right |)\leq 2\left | \left | w \right |w_{1} +\left | z \right |z_{1}\right |$

Εχουμε $\left | z_{1}+w_{1} \right |(\left | z \right |+\left | w \right |)=\left | \left | z \right | z_{1}+\left | w \right |w_{1}+\left | w \right |z_{1}+\left | z \right |w_{1}\right |$

Εφαρμόζοντας τριγωνική το δεξιό μέλος της τελευταίας είναι μικρότερο η ίσο από

$\left | \left | z \right |z_{1}+\left | w \right |w_{1} \right |+\left | \left | w \right | z_{1}+\left | z \right |w_{1}\right |=2\left | \left | z \right |z_{1}+\left | w \right |w_{1} \right |$

Γιατί λόγω της (1) ισχύει $\left | \left | z \right |z_{1}+\left | w \right |w_{1} \right |=\left | \left | w \right | z_{1}+\left | z \right |w_{1}\right |$ (2)
και η απόδειξη είναι πλήρης.

Παρατηρήσεις.
1.Η ισότητα (2) είναι καθαρά γεωμετρική
2.Η αρχική ανισότητα ισχύει (όπως φαίνεται και από την απόδειξη) για χώρους με εσωτερικό γινόμενο.

#3

Γειά σου Σταυρο
στο συννημμένο

Νέο Έγγραφο του Microsoft Word.docx: (60.24 KiB) Μεταφορτώθηκε 223 φορές

στέλνω μια αμιγώς γεωμετρική λύση

μιγαδικοί+γεωμετρια 3

μιγαδικοί+γεωμετρια 3

Re: μιγαδικοί+γεωμετρια 3

Re: μιγαδικοί+γεωμετρια 3

Μέλη σε σύνδεση