Αλλα 16 ερωτήματα.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #1

Αφού σήμερα είναι της μόδας, ας δώσω αλλη μια με πολλά ερωτήματα. Σχεδον κανένα δεν ειναι δύσκολα, αλλά έχει απ' όλα.

Μια συνάρτηση $\displaystyle{f:(0, + \infty ) \to R}$ έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f(x\psi ) = f(x) + f(\psi ) + x\psi - x - \psi ,~~\forall x,\psi >0}$

1. Να βρεθεί το f(1)

2. Αν η

είναι συνεχής στο

, να δείξετε ότι η

είναι συνεχής στο $\displaystyle{(0, + \infty )}$
3. Αν η

είναι συνεχής στο a>0

, να δείξετε ότι η

είναι συνεχής στο $\displaystyle{(0, + \infty )}$
4. Αν η

είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{x_0 = 1}$ με $\displaystyle {f'(1) = 2}$ τότε να αποδείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(0, + \infty )}$
5. Να βρείτε τον τύπο της

6. Να εξετάσετε την

ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα.
7. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{\rho \in (0,1)}$ τέτοιο ώστε $f(\rho)=0$
8. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης $(\varepsilon)$ της $\displaystyle{C_f }$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
9. Να δείξετε ότι $\displaystyle{\ln x^e \le x}$ για κάθε x >0

10. Να βρείτε το ολοκλήρωμα $I=\displaystyle{\int {f(x)dx}}$
11. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την $\displaystyle{C_f }$ την $(\varepsilon)$ και τον x ' x

12. Να αποδείξετε ότι η

αντιστρέφεται και να βρεθούν τα $\displaystyle{f^{ - 1} (1)}$ και $\displaystyle{f^{ - 1} (e + 1)}$
13. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\int\limits_1^{1 + e} {f^{ - 1} (x)dx}}$

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{G(x) = \int\limits_1^x {\sqrt {(f(t) - t)} dt}}$

14. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

15. Να εξεταστεί η

ως προς την μονοτονία την κυρτότητα και να προσδιορίσετε το πρόσημο της.
16. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{e < G(2e) - G(e) < e\sqrt {1 + \ln 2}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Έστω

1. Για

στην

, έχουμε: $f(1)=f(1)+f(1)+1-1-1 \Leftrightarrow f(1)=1$ .

2. Ισχύει:
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(\frac{x}{x_0} \right)=\lim_{u\rightarrow 1}f(u)=f(1)=1}$ , αφού η

συνεχής στο

.

Θέτουμε στην (I)

όπου

το

και όπου

το $\frac{x}{x_0}$ , οπότε:

$\displaystyle {f(x)=f(x_0)+f\left(\frac{x}{x_0} \right)+x-x_0-\frac{x}{x_0}}(II)$

και παίρνοντας όριο στο x_0

βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)+1+x_0-x_0-1=f(x_0)}$ ,

δηλαδή, η

είναι συνεχής στο τυχαίο $x_0 \in (0, +\infty)$ , άρα συνεχής στο $(0, +\infty)$ .

#3

3.Αφού η

είναι συνεχής στο

έχουμε ότι: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\Leftrightarrow \lim_{u\rightarrow 1}f(au)=f(a)}$ ,

οπότε από την (I)

γίνεται:

$\displaystyle{ \lim_{u\rightarrow 1}\left(f(u)+f(a)+au-a-u \right)=f(a)\Leftrightarrow \lim_{u\rightarrow 1}f(u)+f(a)+a-a-1=f(a)\Leftrightarrow \lim_{u\rightarrow 1}f(u)=1=f(1)}$ ,

δηλαδή η

είναι συνεχής στο

, οπότε με βάση το (2) ερώτημα η

είναι συνεχής στο $(0, +\infty)$ .

4. Ισχύει ότι: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f\left(\frac{x}{x_0} \right)-1}{x-x_0}=\lim_{u\rightarrow 1}\frac{f(u)-1}{x_0(u-1)}=\frac{f{'}(1)}{x_0}=\frac{2}{x_0}}$ .

Συνεπώς για $x \neq x_0$ , έχουμε ότι:

$\displaystyle {(II)\Leftrightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f\left(\frac{x}{x_0} \right)-1}{x-x_0}+1-\frac{\frac{x}{x_0}-1}{x-x_0}$

και παίρνοντας όριο στο x_0

(και αφού υπάρχει το όριο του δευτέρου μέλους) βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{f{'}(x_0)=\frac{1}{x_0}+1}$ .

#4

5. Υποθέτοντας ότι ισχύει το (4) έχουμε ότι: f(x)=lnx+x+c

και αφού

, βρίσκουμε ότι c=0

,

οπότε f(x)=lnx+x

.

6. Αφού $\displaystyle{f{'}(x)=\frac{1}{x}+1>0}$ , η f είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty)$ .

Αφού $\displaystyle{f{''}(x)=-\frac{1}{x^2}<0}$ , η f είναι κοίλη στο $(0,+\infty)$ .

7. Αφού η

είναι γνησίως αύξουσα έχουμε ότι: $\displaystyle {f(A)=\left(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x),\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) \right)=(-\infty,+\infty)}$

και αφού $0 \in f(A)$ η συνάρτηση

έχει ρίζα και αφού είναι γνησίως αύξουσα η ρίζα είναι μοναδίκή.

#5

8. Αν

είναι το σημείο επαφής η εφαπτομένη είναι: $\displaystyle{y-lnx_0-x_0=(\frac{1}{x_0}+1)(x-x_0)}$

η οποία διέρχεται από το (0,0), οπότε $lnx_0=1 \Leftrightarrow x_0=e$ .

Επομένως η εφαπτομένη που διέρχεται από το (0,0) είναι: $\displaystyle{y=(\frac{1}{e}+1)x$ .

9. Αφού η f είναι κοίλη και $\displaystyle{y=(\frac{1}{e}+1)x (III)$ είναι μια εφαπτομένη, ισχύει ότι:
$\displaystyle{f(x) \leq (\frac{1}{e}+1)x \Leftrightarrow lnx^e \leq x}$ .

10. $\displaystyle{\int f(x)dx=\int (lnx+x)dx=xlnx-x+\frac{x^2}{2}+c}$ .

11. Το ζητούμενο εμβαδό λόγω της (ΙΙΙ) είναι ίσο με:

$\displaystyle {E=\int_{0}^{e} \left((\frac{1}{e}+1)x-f(x) \right)dx=\int_{0}^{e} \left(\frac{1}{e}-lnx \right)dx}$ .

Υπολογίζουμε το $\displaystyle {E(k)=\int_{k}^{e} \left(\frac{1}{e}-lnx \right)dx=\frac{e}{2}-\frac{k^2}{2e}+klnk-k}$

οπότε $\displaystyle{E=\lim_{k\rightarrow 0}E(k)=\frac{e}{2}}$ .

Υ.Γ. Νομίζω ότι αυτό (ερώτημα 11) δεν μπορεί να μπει εξετάσεις.

#6

12. Η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι 1-1, άρα αντιστρέφεται.

Επίσης έχουμε ότι: $f(1)=1 \Leftrightarrow 1=f^{-1}(1)$

και $f(e)=1+e \Leftrightarrow e=f^{-1}(1+e)$ .

13. Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θέτουμε $u=f^{-1}(x) \Leftrightarrow x=f(u)$ ,

οπότε $dx=f{'}(u)du=\frac{1+u}{u}du$ ενώ τα άκρα γίνονται 1 και e.

Συνεπώς:

$\displaystyle {\int_{1}^{1+e}{f^{-1}(x)dx}=\int_{1}^{e}{(1+u)du}=\frac{e^2+2e-3}{2}}$ .

#7

14. H συνάρτηση f(t)-t ορίζεται στο $(0,+\infty)$ ,

ενώ η $\sqrt{f(t)-t}$ ορίζεται στο $[1,+\infty)$ .

Θα πρέπει και τα άκρα ολοκλήρωσης να ανήκουν στο $[1,+\infty)$ ,

οπότε $A_G=[1,+\infty)$ .

15. Η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο $[1,+\infty)$ , με $G{'}(x)=\sqrt{f(x)-x}=\sqrt{lnx}$ .

Αφού G{'}(x)>0

για κάθε

, έχουμε ότι η G είναι γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$ .

Επομένως για x > 1

έχουμε ότι: $G(x)>G(1) \Leftrightarrow G(x)>0$ .

Η συνάρτηση G{'}

είναι παραγωγίσιμη στο $[1,+\infty)$ , με $G{''}(x)= \frac{1}{2x \sqrt{lnx}}>0$ ,

οπότε η συνάρτηση είναι κυρτή στο $[1,+\infty)$ .

#8

ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ...

16. Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για τη συνάρτηση G στο [e,2e], βρίσκουμε ότι υπάρχει $\xi \in (e, 2e)$ ώστε:

$\displaystyle{G{'}(\xi)=\frac{G(2e)-G(e)}{2e-e}=\frac{G(2e)-G(e)}{e}}$ .

Όμως:

$\displaystyle {e<\xi<2e\Leftrightarrow lne<ln\xi<ln(2e)\Leftrightarrow 1<ln\xi<1+ln2 \Leftrightarrow \sqrt{1}<\sqrt{ln\xi}<\sqrt{1+ln2}}$ ,

οπότε λόγω του ΘΜΤ έχουμε ότι:

$\displaystyle {1<\frac{G(2e)-G(e)}{e}<\sqrt{1+ln2} \Leftrightarrow e<G(2e)-G(e)<e\sqrt{1+ln2}}$ .

#9

Επειδή τα ερωτήματα είναι λίγα, βάζω ακόμα ένα για ποικιλία

:

17. Να αποδειχθεί ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f είναι: $\displaystyle {f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}},n \geq 2$ . (Χρησιμοποιώ παραγοντικό για ευκολία στον συμβολισμό ...)

Μάκης Χατζόπουλος · #10

Λευτέρη με μία ανάσα τα έγραψες!!

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #11

Λευτέρη αψογος

.

papel · #12

Και απο εμενα

.Καμια φορα ισως πρεπει να λεμε και τα αυτονοητα.

Τωρα που θα κατεβω να δω βιβλια θα ριξω και μια ματια στα δικα σου τα οποια ειναι
ουκ ολιγα.Ομολογω οτι μεχρι σημερα δεν εχω αγορασει κανενα δικο σου αλλα το βλεπω να αλλαζει φιλτατε Λευτερη.

Αλλα 16 ερωτήματα.

Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Re: Αλλα 16 ερωτήματα.

Μέλη σε σύνδεση