Διχοτόμοι και πλευρές

#1

1. Αν

τυχαίο σημείο της πλευράς

τριγώνου

δείξετε ότι :

$AB \cdot MC + AC \cdot MB > BC \cdot MA$ .

2. Αν k,l,m

τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων τριγώνου ABC

δείξετε ότι :

$\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{l} + \dfrac{1}{m} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$

Κάθε λύση αποδεκτή(Προφανώς).

#2

Doloros έγραψε:1. Αν τυχαίο σημείο της πλευράς τριγώνου δείξετε ότι : $AB \cdot MC + AC \cdot MB > BC \cdot MA$ .
2. Αν τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων τριγώνου δείξετε ότι : $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{l} + \dfrac{1}{m} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$
Κάθε λύση αποδεκτή(Προφανώς).

: Διχοτόμοι και πλευρές.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 1224 φορές

$\bullet$ 1. Έστω $MN\parallel AC,N \in AB\,\,\& \,\,MP\parallel AB,P \in AC$ . Τότε: $\left\{ \begin{gathered} MN\parallel AC \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{{AN}}{{AB}} \Rightarrow AB \cdot MC = BC \cdot AN \\ MP\parallel AB \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{BC}} = \dfrac{{AP}}{{AC}} \Rightarrow AC \cdot MB = BC \cdot AP \\ \end{gathered} \right.$

$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} AB \cdot MC + AC \cdot MB = BC \cdot \left( {AN + AP} \right)$ $\mathop = \limits^{AP = MN\,\,(APMN\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o)} BC \cdot \left( {AN + MN} \right)$

$\mathop > \limits^{AN + MN > AM\,\,(\tau \rho \iota \gamma \omega \nu \iota \kappa \eta \,\,\alpha \nu \iota \sigma o\tau \eta \tau \alpha )} BC \cdot AM$ και το 1) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ 2. Με $AM = {\delta _\alpha }$ με $\left( {{\delta _\alpha }} \right) = k$ η σχέση του πρώτου ερωτήματος γίνεται

$c \cdot \dfrac{{a \cdot b}}{{c + b}} + b \cdot \dfrac{{a \cdot c}}{{c + b}} > a \cdot k \Rightarrow \dfrac{{2cb}}{{c + b}} > k \Rightarrow$ $\dfrac{1}{k} > \dfrac{{c + b}}{{2cb}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{k} > \dfrac{1}{{2b}} + \dfrac{1}{{2c}}}:\left( 1 \right)$

και με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι $\boxed{\dfrac{1}{l} > \dfrac{1}{{2c}} + \dfrac{1}{{2a}}}:\left( 2 \right),l = \left( {{\delta _\beta }} \right)\,\,\& \,\,$ $\boxed{\dfrac{1}{m} > \dfrac{1}{{2a}} + \dfrac{1}{{2b}}}:\left( 3 \right),m = \left( {{\delta _c}} \right)\,$ .

Από $\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right) \Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{l} + \dfrac{1}{m} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}$ και το δεύτερο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Η λύση δόθηκε μετά από $2881\,\,\min > 2880\,\,\min = 48h$ .

Παρατήρηση: Για να ισχύει η πρόταση του 1) ερωτήματος θα πρέπει το να είναι εσωτερικό σημείο της . Αν $M \equiv B\,\, \vee \,\,M \equiv C$ τότε ισχύει σαν ισότητα.

STOPJOHN · #3

Doloros έγραψε:1. Αν τυχαίο σημείο της πλευράς τριγώνου δείξετε ότι :

$AB \cdot MC + AC \cdot MB > BC \cdot MA$ .

2. Αν τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων τριγώνου δείξετε ότι :

$\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{l} + \dfrac{1}{m} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$

Κάθε λύση αποδεκτή(Προφανώς).

Καλημέρα

1) Η αποδεικτέα σχέση γράφεται
$c(MC)+b(MB)>a(MA)\Leftrightarrow (c(MC)+b(MB))^{2} >a^{2}(MA)^{2}\Leftrightarrow c^{2}(MC)^{2}+b^{2}(MB^{^{2}})-a^{2}(MA)^{2}>-2cb(MB)(MC),(*),$
Από το θεώρηα του Stweart

στο τρίγωνο $ABC,(MB)b^{2}+(MC)c^{2}=a(AM^{2}+MB.MC),(1)$
Από τη σχέση αυτή έχουμε :

$(MC)(MB)b^{2}+(MC)^{2}c^{2}=a(MC)(AM^{2}+MB.MC),(1), (MB)^{2}b^{2}+(MB)(MC)c^{2}=a(MB)(AM^{2}+MB.MC),(2), (1)+(2)\Rightarrow c^{2}(MC^{2})+b^{2}(MB)^{2}-a^{2}(MA)^{2}=a^{2}(MB)(MC)-(MB)(MC)(b^{2}+c^{2}),(**)$
Οπότε αρκεί να αποδειχθεί
$(a^{2}-b^{2}-c^{2})(MB)(MC)>-2bc(MB)(MC)\Leftrightarrow (a^{2}-(b-c)^{2})(MB)(MC)>0$
Η τελευταία σχέση είναι αληθής λόγω της τριγωνικής ανισότητας

Το δεύτερο ερώτημα έχει, ήδη, απαντηθεί

Γιάννης

Διχοτόμοι και πλευρές

Διχοτόμοι και πλευρές

Re: Διχοτόμοι και πλευρές

Re: Διχοτόμοι και πλευρές

Μέλη σε σύνδεση