16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

#1

ΠΑΡΕΜΦΕΡΕΣ ΘΕΜΑ 16 ΥΠΟΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ
΄Eστω $\displaystyle{f'(x)=\frac{2}{1+e^{f(x)}},x\in R, f'(0)=1$
1. Μελετήστε την μονοτονία της f.
2. Λύστε την εξίσωση f(x)=0
3. Δείξτε ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω και ότι στην γραφική παράσταση της f δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία.
4. Δείξτε ότι η y=x είναι εφαπτομένη της f στο σημείο 0
5. Δείξτε ότι $\displaystyle{f(x)\le x , \forall x \in R}$
6. Δείξτε ότι $\displaystyle{f(x)+e^{f(x)}=2x+1 , \forall x \in R}$
7. Δείξτε ότι $\displaystyle{f(x)<2x+1, \forall x \in R}$
8. Βρείτε το $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty }f(x)}$
9. Δείξτε ότι $\displaystyle{f(x)>ln(x+1) ,x>-1}$
10. Βρείτε το $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }f(x)}$
11. Βρείτε το σύνολο τιμών της f.
12. Δείξτε ότι η f δεν έχει κατακόρυφες ασυμπτώτους.
13. Βρείτε την ασύμπτωτο της f στο $\displaystyle{-\infty}$
14. Δείξτε ότι η f δεν έχει πλάγια ασύμπτωτο στο $\displaystyle{+\infty}$
15. Δείξτε ότι $\displaystyle{f(e/2)=1}$
16. Υπολογίστε το : $\displaystyle{\int_{0}^{e/2}{f(t)dt}$ χρησιμοποιώντας την συμμετρία των $\displaystyle{f,f^{-1}}$

Ιστοσελίδα · #2

1. f γνήσια αύξουσα αφού η δοσμένη παράγωγος θετική για κάθε χ

mathxl · #3

Χεχεχ polysot έχεις πλάκα. Ας λύσω και εγώ ένα υποερώτημα
2. Από τον τύπο της παραγώγου για χ = 0 βρίσκω f(0)= 0 η οποία είναι και μοναδική αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα

Ιστοσελίδα · #4

mathxl έγραψε:Χεχεχ polysot έχεις πλάκα. ...

Διορθώνω διαγωνίσματα Γ΄Λυκ Κατ για παρουσίασή τους αύριο και δεν προλαβαίνω...
Ρίχνω καμία ματιά όταν φρικάρω...άσε που άμα αρχίσω να γράφω αυτά που βλέπω...
Μου χουν μείνει τόσα μαλλιά όσα έχουν τα εικονίδια:

Ιστοσελίδα · #5

Ορίστε και το 3ο ερώτημα να μη φωνάζει ο mathxl :
Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη αφού η παράγωγός της από τη δοσμένη σχέση είναι παραγωγίσιμη και ισχύει :

$f''(x) = \frac{-f'(x)e^{f(x)}}{(1+ e^{f(x)})^2}<0$ άρα f κοίλη

mathxl · #6

Για να συμπληρώσω την απάντηση του Σωτήρη (αρκετά ζαλίστηκες)
αν υπηρχαν 3 συνευθειακά σημεία Α,Β, Γ με αντίστοιχες τετμημένες α,β, γ (με χβγ α <β<γ) τότε θα έπρεπε στα [α,β] , [β,γ] από ΘΜΤ να είχαμε ίσες τιμές στην πρώτη παράγωγο (συντελεστής σιεύθυνσης ΑΒ ίσος με της ΒΓ), άτοπο γιατί η πρώτη παράγωγος είναι 1-1

Σωτήρη απλά δεν μου αρέσει να γράφει κάποιος τουλάχιστον 16 σειρές και εμείς με μία σειρά να βγάζουμε το μήνυμα από τα αναπάντητα.

mathxl · #7

4. Καλημέρα f(0)=0 , f'(0)=1 άρα y-0=1(x-0) ισοδύναμα y=x
5. Αφού είναι κοίλη η γραφική βρίσκεται κάτω σπό την εφασπτομένη στο 0 με εξαίρεση το σημείο επαφής , άρα f(x)=<x

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #8

6. $\displaystyle{ f'(x) + f'(x)e^{f(x)} = 2 \Leftrightarrow \left( {f(x) + e^{f(x)} } \right)^\prime = \left( {2x} \right)^\prime \Leftrightarrow f(x) + e^{f(x)} = 2x + c }$
Για x = 0 $\displaystyle{ f(0) + e^{f(0)} = c \Leftrightarrow c = 1 }$
Άρα $\displaystyle{ f(x) + e^{f(x)} = 2x + 1 }$

7. Είναι $\displaystyle{ e^{f(x)} > 0 }$
άρα από το 6. προκύπτει $\displaystyle{ f(x) < 2x + 1 }$

8. Είναι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + 1} \right) = - \infty }$
άρα από το 7. προκύπτει ( με απόδειξη ) $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty }$

9. Από τη γνωστή ανισότητα $\displaystyle{ e^x \ge x + 1 }$
προκύπτει $\displaystyle{ e^{f(x)} \ge f(x) + 1 }$
και λόγω της ισότητας $\displaystyle{ f(x) + e^{f(x)} = 2x + 1 }$
έχουμε $\displaystyle{ e^{f(x)} \ge 2x + 1 - e^{f(x)} + 1 \Rightarrow 2e^{f(x)} \ge 2x + 2 \Rightarrow e^{f(x)} \ge x + 1 \Rightarrow f(x) \ge \ln \left( {x + 1} \right) }$
για x > -1

10. Είναι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln \left( {x + 1} \right) = + \infty }$ άρα από το 9. προκύπτει $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$

11. Από τα $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$ , $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty }$
και τη συνέχεια τη f στο R προκύπτει ( νομίζω ότι δεν χρειάζεται απόδειξη ) ότι το σύνολο τιμών είναι το R

12. Από τη συνέχεια της f ισχύει $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } f(x) = \lambda \in R }$
άρα η f δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες .

13. $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f'(x)}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{1 + e^{f(x)} }} = \frac{2}{{1 + 0}} = 2 }$
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f(x) - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + 1 - e^{f(x)} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - e^{f(x)} } \right) = 1 }$
άρα πλάγια η y = 2 x + 1 .

14. Είναι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f'(x)}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{1 + e^{f(x)} }} = 0 }$
και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$
επομένως δεν υπάρχει ασύμπτωτη στο $\displaystyle{ + \infty }$

15. Η f είναι γνησίως αύξουσα άρα αντιστρέφεται . Το σύνολο τιμών είναι το R άρα στην ισότητα $\displaystyle{ f(x) + e^{f(x)} = 2x + 1 }$
όπου x το $\displaystyle{ f^{ - 1} (x) }$
και έχουμε $\displaystyle{ f(f^{ - 1} (x)) + e^{f(f^{ - 1} (x))} = 2f^{ - 1} (x) + 1 \Leftrightarrow x + e^x = 2f^{ - 1} (x) + 1 \Leftrightarrow f^{ - 1} (x) = \frac{{x + e^x - 1}}{2} }$ , $\displaystyle{ x \in R }$
Για x = 1 , $\displaystyle{ f^{ - 1} (1) = \frac{{2 + e^1 - 1}}{2} = \frac{e}{2} }$
άρα $\displaystyle{ f\left( {\frac{e}{2}} \right) = 1 }$

16. Από τη συμμετρία των γραφικών παραστάσεων το ολοκλήρωμα γίνεται
$\displaystyle{ \int\limits_0^{\frac{e}{2}} {f(x)} \,dx = 1 \cdot \frac{e}{2} - \int\limits_0^1 {f^{ - 1} (x)} \,dx = \frac{e}{2} - \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{x + e^x - 1}}{2}} \right)} \,dx = ... = \frac{3}{4} }$

#9

Πολύ καλή και διδακτική άσκηση ( θυμηθείτε το 4ο θέμα της κατεύθυνσης του 2002)
Η εκφώνηση του υποερωτήματος 9 , θέλει διόρθωση ( μεγαλύτερη ίση )

Ιστοσελίδα · #10

Στο τελευταίο ερώτημα μπορούμε να κάνουμε την αντικατάσταση y = f(x) οπότε προκύπτει το ίδιο...3/4

16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Re: 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Re: 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Re: 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Re: 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Re: 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Re: 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Re: 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Re: 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Re: 16 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Μέλη σε σύνδεση