Διαφορά ν-οστών δυνάμεων ή δύναμη του 2 ?

Ιστοσελίδα · #1

Αν

θετικοί ακέραιοι με n>1

, να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:

$x^n - y^n = 2^{100}$

Υπόδειξη 1

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Υπόδειξη 2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

harrisp · #2

Καλησπέρα! Θα χρησιμοποιήσω τις υποδείξεις:

Αρχικά ας δούμε την περίπτωση n=2

.

Ψάχνουμε να βρούμε το πλήθος των λύσεων της:

$x^2-y^2=2^{100}\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=2^{100}$ . Απ΄αυτήν έπεται ότι x-y=2^k

και

.

Δηλαδή:

x=2^k+y=2^l-y

και

απ΄όπου παίρνουμε $2x=2^l+2^k\Leftrightarrow x=2^{l-1}+2^{k-1}$ και αντίστοιχα $y=2^{l-1}-2^{k-1}$ . Τώρα αρκεί να βρούμε τις λύσεις της:

$(2^{l-1}+2^{k-1})^2-(2^{l-1}-2^{k-1})^2=2^{100}$

$\displaystyle 2^{2l-2}+2^{k+l-1}+2^{2k-2}-2^{2l-2}+2^{k+l-1}-2^{2k-2}=2^{100}$

$2^{k+l}=2^{100}$

k+l=100

που έχει

ακέραιες λύσεις. Ομως αποκλείουμε την (k,l)=(50,50)

για τότε $2^{100}=0$ , άτοπο. Αρα σε αυτήν την περίπτωση έχουμε

λύσεις.

Συνεχίζοντας θα δούμε την n=4

. Για αυτήν έχουμε απευθείας άτοπο από το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat.

Για περιττό ή άρτιο μεγαλύτερο του 4:

Καταλήγουμε εύκολα σε μια η εξίσωση της μορφής $\displaystyle x^n-y^n=2^c$ που δεν έχει λύσεις για περιττό ή άρτιο μεγαλύτερο του 4 σύμφωνα με το λήμμα.

Λήμμα: Η εξίσωση της μορφής $\displaystyle x^n-y^n=2^c$ δεν έχει λύσεις για περιττό ή άρτιο μεγαλύτερο του 4.

Απόδειξη λήμματος: Αρχικά θα πάρουμε δύο περιπτώσεις:

1) n=2s

άρτιος, όπου εύκολα καταλήγουμε στο x^s-y^s=2^d

2)

περιττός, όπου εύκολα παίρνουμε x,y

άρτιοι και καταλήγουμε σε εξίσωση μορφής $\displaystyle x^n-y^n=2^c$ .

Παρατηρούμε ότι τελειώνουμε εκεί που αρχίσαμε και έτσι θα καταλήξουμε στην x^2-y^2=2^2

.

Συνεπώς η αρχική έχει

λύσεις.

ΥΓ.To σημείο με τα κόκκινα νομίζω πως έχει κάποια προβλήματα. Περιμένω διορθώσεις.

Ιστοσελίδα · #3

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:...

Λήμμα: Η εξίσωση της μορφής $\displaystyle x^n-y^n=2^c$ δεν έχει λύσεις για περιττό ή άρτιο μεγαλύτερο του 4.

Απόδειξη λήμματος: Αρχικά θα πάρουμε δύο περιπτώσεις:

1) άρτιος, όπου εύκολα καταλήγουμε στο

2) περιττός, όπου εύκολα παίρνουμε άρτιοι και καταλήγουμε σε εξίσωση μορφής $\displaystyle x^n-y^n=2^c$ .

Παρατηρούμε ότι τελειώνουμε εκεί που αρχίσαμε και έτσι θα καταλήξουμε στην .

Συνεπώς η αρχική έχει λύσεις.

ΥΓ.To σημείο με τα κόκκινα νομίζω πως έχει κάποια προβλήματα. Περιμένω διορθώσεις.

Συμπλήρωση για τις δύο περιπτώσεις του λήμματος:

Αν

ο ελάχιστος άρτιος για τον οποίο έχει λύση η εξίσωση, τότε έχουμε:
n = 2m

και $x^n - y^n = 2^k \Leftrightarrow (x^m - y^m ) ( x^m + y^m ) = 2^k$
τότε όμως θα ισχύει x^m - y^m = 2^l

για κατάλληλο $l\in \mathbb{Z}$ , με m<n

, το οποίο όμως είναι άτοπο, εφόσον υποθέσαμε ότι ο

είναι ο ελάχιστος για τον οποίο έχουμε λύση της εξίσωσης.

Για την περίπτωση όπου

περιττός, υποθέτουμε ότι η εξίσωση έχει λύση:
x^n - y^n = 2^k

, όπου

ο ελάχιστος δυνατός, τότε όμως θα ισχύει:
$(x-y) (x^{n-1} + x^{n-2} y + \cdots + y^{n-1} ) = 2^k$ .

Αν τώρα οι x,y

είναι ένας περιττός και ένας άρτιος, τότε θα έχουμε ότι η διαφορά τους είναι περιττός, το οποίο δε γίνεται, αφού πρέπει να είναι κάποια δύναμη του

. Συνεπως οι x,y

ειναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί.

Αν ήταν και οι δύο περιττοί όμως ο δεύτερος παράγοντας που έχει

όρους - περιττό πλήθος - οι οποίοι είναι περιττοί θα ήταν περιττός, το οποίο δεν μπορεί να συμβαίνει αφού θέλουμε και αυτό δύναμη του

.

Συνεπώς οι x,y

είναι άρτιοι. Αν $x = 2p,\ y = 2s$ τότε έχουμε:
$(2p)^n - (2s)^n = 2^k \Leftrightarrow p^n - s^n = 2^{k-n}$
το οποίο ειναι άτοπο για $k\neq n$ αφού ο

ήταν ο ελάχιστος δυνατός.
Αν k=n

τότε

για την οποία δεν έχουμε ακέραιες λύσεις.
Οπότε ολοκληρώνεται η εξαιρετική διαπραγμάτευση του Χάρη.

ΥΓ: Αυτή η λύση μου άρεσε στην άσκηση, διότι ακριβώς χρησιμοποιεί τη μέθοδο της "υπόθεσης του ελαχίστου δυνατού ή της άπειρης καθόδου (infinite descent)", την οποία τη βλέπουμε και στην απόδειξη του Ευκλείδη για την απειρία των πρώτων αριθμών, όπου υποθέτει την ύπαρξη ενός μεγίστου πρώτου αριθμού και καταλήγει σε κάποιον μεγαλύτερο.

Διαφορά ν-οστών δυνάμεων ή δύναμη του 2 ?

Διαφορά ν-οστών δυνάμεων ή δύναμη του 2 ?

Re: Διαφορά ν-οστών δυνάμεων ή δύναμη του 2 ?

Re: Διαφορά ν-οστών δυνάμεων ή δύναμη του 2 ?

Μέλη σε σύνδεση