Μακριά απ' το κέντρο

KARKAR · #1

: Μακριά απ' το κέντρο.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 1007 φορές

Οι κάθετες χορδές

και

, ενός κύκλου (O)

, τέμνονται στο σημείο

. Αν είναι :

SA^2+SB^2+SC^2+SD^2=64

και

, υπολογίστε το

#2

KARKAR έγραψε:Μακριά απ' το κέντρο.pngΟι κάθετες χορδές και , ενός κύκλου , τέμνονται στο σημείο . Αν είναι :

και , υπολογίστε το

: Μακριά απ' το κέντρο.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 975 φορές

Θέτω

και έστω

τα μέσα των CD, AB.

Είναι:

$\displaystyle{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 64,{(a + b)^2} + {(c + d)^2} = 103 \Rightarrow 64 + 2(ab + cd) = 103 \Leftrightarrow }$ $\boxed{2(ab+cd)=39}$ (1)

Θα συνεχίσω όταν αποκατασταθεί η βλάβη ... Συνεχίζω

$\displaystyle{O{S^2} = O{M^2} + S{M^2} = \frac{{{{(a - b)}^2}}}{4} + \frac{{{{(d - c)}^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}}}{4} - \frac{{2(ab + cd)}}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{OS=\frac{5}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε:Μακριά απ' το κέντρο.pngΟι κάθετες χορδές και , ενός κύκλου , τέμνονται στο σημείο . Αν είναι :

και , υπολογίστε το

$\displaystyle{A{B^2} + C{D^2} = {\left( {SA + SB} \right)^2} + {\left( {SC + SD} \right)^2} \Rightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} + S{D^2} + 2\left( {SA \cdot SB + SC \cdot SD} \right) = 103} Αλλά

\displaystyle{{SA \cdot SB = SC \cdot SD}}

\displaystyle{64 + 4SA \cdot SB = 103 \Rightarrow SA \cdot SB = \frac{{39}}{4} \Rightarrow \boxed{{R^2} - O{S^2} = \frac{{39}}{4}}}} $\displaystyle{(1)}$

Θεωρούμε την διάμετρο $\displaystyle{DE = 2R}$ οπότε $\displaystyle{CE//AB \Rightarrow CBAE}$ ισοσκελές τραπέζιο άρα $\displaystyle{AC = BE}$ και

$\displaystyle{B{D^2} + B{E^2} = 4{R^2} \Rightarrow B{D^2} + A{C^2} = 4{R^2} \Rightarrow S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} + S{D^2} = 4{R^2} \Rightarrow 64 = 4{R^2} \Rightarrow \boxed{R = 4}}$

Από την $\displaystyle{(1)}$ παίρνουμε τώρα $\displaystyle{\boxed{OS = \frac{5}{2}}}$

: μακριά απ το κέντρο.png (22 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

hlkampel · #4

KARKAR έγραψε:Οι κάθετες χορδές και , ενός κύκλου , τέμνονται στο σημείο . Αν είναι :

και , υπολογίστε το

Άλλη μια...

Αν M,N

τα μέσα των

και

αντίστοιχα τότε:

Από Πυθ. Θεώρημα στα τρίγωνα ASC

και

παίρνουμε:

$S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\,\,\left( 1 \right)$ και $S{B^2} + S{D^2} = B{D^2}\,\,\left( 2 \right)$ αντίστοιχα.

$\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} + S{D^2} \Rightarrow$

$A{C^2} + B{D^2} = 64\,\,(3)$

Ομοίως, Από Πυθ. Θεώρημα στα τρίγωνα ${\rm B}SC$ και ${\rm A}SD$ παίρνουμε:

$S{{\rm B}^2} + S{C^2} = C{{\rm B}^2}\,\,\left( 4 \right)$ και $S{{\rm A}^2} + S{D^2} = {\rm A}{D^2}\,\,\left( 5 \right)$ αντίστοιχα.

$\left( 4 \right) + \left( 5 \right) \Rightarrow C{{\rm B}^2} + {\rm A}{D^2} = S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} + S{D^2} \Rightarrow$

$C{{\rm B}^2} + {\rm A}{D^2} = 64\,\,(6)$

$\left( 3 \right) + \left( 6 \right) \Rightarrow A{C^2} + C{B^2} + B{D^2} + A{D^2} = 128\,\,\left( 7 \right)$

Από θεώρημα Euler

ισχύει:

$\displaystyle{A{C^2} + C{B^2} + B{D^2} + A{D^2} = A{B^2} + C{D^2} + 4M{N^2}\mathop \Rightarrow \limits_{\left( 7 \right)}^{\upsilon \pi \dot o\vartheta \varepsilon \sigma \eta } }$

$\displaystyle{128 = 103 + 4M{N^2} \Rightarrow MN = \dfrac{5}{2}}$

Όμως MN = OS

από το ορθογώνιο OMSN

Άρα $\displaystyle{OS = \dfrac{5}{2}}$

#5

KARKAR έγραψε:Μακριά απ' το κέντρο.pngΟι κάθετες χορδές και , ενός κύκλου , τέμνονται στο σημείο . Αν είναι :

και , υπολογίστε το

Και με Αναλυτική είναι απλή. Την γράφω για λόγους πληρότητας αν και κατά βάθος όλα εμπεριέχονται στην λύση του Γιώργου:

Με κέντρο αξόνων στο

, και $A(-a,o), \, B(b,0), \, C(0,c), \, D(0, -d)$ το κέντρο στο κύκλου είναι το $\left (\dfrac {b-a}{2} , \dfrac {c-d}{2}\right )$ . Άρα

$OS ^2 = \left ( \dfrac {b-a}{2} -0 \right ) ^2 + \left ( \dfrac {c-d}{2} -0 \right ) ^2 = \dfrac {2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{4}+ \dfrac {2(c^2+d^2)-(c+d)^2}{4}$

$= \dfrac {2\cdot 64 - 103}{4}$ , και λοιπά.

Μακριά απ' το κέντρο

Μακριά απ' το κέντρο

Re: Μακριά απ' το κέντρο

Re: Μακριά απ' το κέντρο

Re: Μακριά απ' το κέντρο

Re: Μακριά απ' το κέντρο

Μέλη σε σύνδεση