Επαναληπτικό θέμα

M.S.Vovos · #1

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με f'(1)=1

, τέτοια ώστε, για κάθε x>0

να ισχύει $\displaystyle{ f(x)=\ln\left (xf'(x)-f(x) \right )^{x}}$ .

Α. Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης

.
Β. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε τα ακρότατα της.
Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση

ως προς τη κυρτότητα της και στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , με $0<\alpha <\beta$ , ισχύει $\displaystyle \alpha <\frac{1}{e}\left ( \frac{\beta ^{\beta }}{\alpha ^{\alpha }} \right )^{\frac{1}{\beta -\alpha }}<\beta$ .
Δ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων.
Ε. Ένα υλικό σημείο

ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0

από ένα σημείο $A\left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ , με $\displaystyle x_{0}>e^{-1}$ και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y=f(x)

, $x\geqslant x_{0}$ . Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης

του σημείου

είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του

, αν υποτεθεί ότι x'(t)>0

, για κάθε $t\geqslant 0$ .

Φιλικά,
Μάριος

Μέχρι 2/02/2017

Έγινε αλλαγή στην παραγωγισιμότητα στο 0.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Αν δεν κάνω λάθος η συνάρτηση δεν παραγωγίζετε στο

.

M.S.Vovos · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος η συνάρτηση δεν παραγωγίζετε στο .

Σωστά Σταύρο, καλά που το είδες. Έχω κάνει τυπογραφικό. Έχω κλείσει το άκρο στο 0, ενώ ειναι ανοιχτό.

Θα μπορούσαμε όμως να πούμε ότι είναι συνεχής στο διάστημα που έχω δώσει και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό.

Φιλικά.

M.S.Vovos · #4

Επαναφορά και για τους μεγάλους!

#5

M.S.Vovos έγραψε:Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με , τέτοια ώστε, για κάθε να ισχύει $\displaystyle{ f(x)=\ln\left (xf'(x)-f(x) \right )^{x}}$ .

Α. Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης .
Β. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε τα ακρότατα της.
Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη κυρτότητα της και στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , με $0<\alpha <\beta$ , ισχύει $\displaystyle \alpha <\frac{1}{e}\left ( \frac{\beta ^{\beta }}{\alpha ^{\alpha }} \right )^{\frac{1}{\beta -\alpha }}<\beta$ .
Δ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων.
Ε. Ένα υλικό σημείο ξεκινά τη χρονική στιγμή από ένα σημείο $A\left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ , με $\displaystyle x_{0}>e^{-1}$ και κινείται κατά μήκος της καμπύλης , $x\geqslant x_{0}$ . Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του , αν υποτεθεί ότι , για κάθε $t\geqslant 0$ .

Φιλικά,
Μάριος

Μέχρι 2/02/2017

Έγινε αλλαγή στην παραγωγισιμότητα στο 0.

ΛΥΣΗ

Α. Είναι $f(x)=\ln {{\left( x{f}'(x)-f(x) \right)}^{x}}\Leftrightarrow f(x)=x\ln \left( x{f}'(x)-f(x) \right)$ (1)

Αν $g(x)=\frac{f(x)}{x},\,\,x>0$ προκύπτει ότι $xg(x)=f(x),\,\,x>0$ και είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=\frac{x{f}'(x)-f(x)}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}{g}'(x)=x{f}'(x)-f(x)>0,\,\,x>0$ αναγκαία , λόγω του ότι η

$x{f}'(x)-f(x)\in (0,\,\,+\infty )$ πεδίου ορισμού της ${{x}^{x}}$ από την δοθείσα αρχική ισότητα.

Έτσι έχουμε από (1) $xg(x)=x\ln \left( {{x}^{2}}{g}'(x) \right),\,\,\,x>0$ ισοδύναμα

$g(x)=\ln \left( {{x}^{2}}{g}'(x) \right)\Leftrightarrow {{e}^{g(x)}}={{x}^{2}}{g}'(x)\Leftrightarrow$

$\frac{1}{{{x}^{2}}}={{e}^{-g(x)}}{g}'(x)\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{-g(x)}} \right)}^{\prime }},\,\,\,x>0$ άρα

$\frac{1}{x}={{e}^{-g(x)}}+c,\,\,\,x>0$ (2) και αφού $f(1)=\ln \left( {f}'(1)-f(1) \right)\Leftrightarrow f(1)=\ln (1-f(1))$ είναι το f(1)

ρίζα της εξίσωσης $x=\ln \left( 1-x \right)$ που είναι η προφανής x=0

και επειδή η $h(x)=\ln \left( 1-x \right)-x,\,\,\,x<1$

είναι παραγωγίσιμη με ${h}'(x)=-\frac{1}{1-x}-1<0,\,\,\,x<1$ άρα γνήσια φθίνουσα, άρα και '1-1'

το

είναι μοναδικά ρίζα της h(x)=0

, επομένως f(1)=0

και τότε και g(1)=f(1)=0

έτσι από (2) προκύπτει με όπου

το

ότι

$1={{e}^{-g(1)}}+c\Rightarrow c=0$ επομένως $\frac{1}{x}={{e}^{-g(x)}},\,\,\,x>0$ και άρα $-g(x)=-\ln x\Leftrightarrow g(x)=\ln x,\,\,\,x>0$ ή

$\frac{f(x)}{x}=lnx\Leftrightarrow f(x)=xlnx,\,\,x>0$

Ακόμη επειδή η

είναι συνεχής στο $[0,+\infty )$ το

$f(0)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x\ln x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0$

Επομένως $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & x\ln x,\,\,x>0 \\ & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0 \\ \end{matrix} \right.$

Β. Είναι η $f(x)=xlnx,\,\,x>0$ παραγωγίσιμη με {f}'(x)=lnx+1

και ${f}'(x)=0\Leftrightarrow lnx=-1\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}$ και

${f}'(x)>0\Leftrightarrow lnx>-1\Leftrightarrow x>\frac{1}{e}$ επομένως

γνήσια αύξουσα στο $[\frac{1}{e},\,\,+\infty )$

${f}'(x)<0\Leftrightarrow lnx<-1\Leftrightarrow x<\frac{1}{e}$ επομένως

γνήσια φθίνουσα στο $(-\infty ,\,\,\frac{1}{e}]$

οπότε στο $x=\frac{1}{e}$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το $f(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}$

Γ. Είναι η ${f}'(x)=lnx+1,\,\,x>0$ παραγωγίσιμη με ${f}''(x)=\frac{1}{x}>0,\,\,x>0$ επομένως η

είναι κυρτή στο

και για την

$\alpha <\frac{1}{e}{{\left( \frac{{{\beta }^{\beta }}}{{{\alpha }^{\alpha }}} \right)}^{\frac{1}{\beta -\alpha }}}<\beta \Leftrightarrow \ln a<\ln \frac{1}{e}+\ln {{\left( \frac{{{\beta }^{\beta }}}{{{\alpha }^{\alpha }}} \right)}^{\frac{1}{\beta -\alpha }}}<\ln \beta$

$\ln a<-1+\frac{1}{\beta -\alpha }\left( \beta \ln \beta -\alpha \ln \alpha \right)<\ln \beta \Leftrightarrow$

$\ln a+1<+\frac{\beta \ln \beta -\alpha \ln \alpha }{\beta -\alpha }<\ln \beta +1\Leftrightarrow {f}'(\alpha )<\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }<{f}'(\beta )$ (3)

και επειδή σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\,\,\beta )$ ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }$

ισοδύναμα από (3) ${f}'(\alpha )<{f}'(\xi )<{f}'(\beta )\overset{{f}':<}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\alpha <\xi <\beta$ που ισχύει.

Δ. Είναι $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(xlnx)\overset{0\,\infty }{\mathop{=}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\ln x}{\frac{1}{x}})\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}})=0,$

και $\underset{x\to +}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +}{\mathop{\lim }}\,(xlnx)=+\infty$ και σύμφωνα με τα (Β), (Γ) έχουμε την παρακάτω γραφική παράσταση.

: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 1.jpg (8.07 KiB) Προβλήθηκε 1490 φορές

Ε. Είναι $y(t)=x(t)\ln (x(t))$ οπότε ${y}'(t)={x}'(t)\ln (x(t))+x(t)\frac{1}{x(t)}{x}'(t)={x}'(t)(\ln (x(t)+1)$

Θέλουμε ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης

του σημείου

είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του

δηλαδή

${x}'({{t}_{0}})=2{y}'({{t}_{0}})$ οπότε ${y}'({{t}_{0}})={x}'({{t}_{0}})(\ln (x({{t}_{0}})+1)\Rightarrow {y}'({{t}_{0}})=2{y}'({{t}_{0}})(\ln (x({{t}_{0}})+1)\Rightarrow$

$\frac{1}{2}=\ln (x({{t}_{0}})+1)\Leftrightarrow x({{t}_{0}})+1={{e}^{\frac{1}{2}}}\Leftrightarrow x({{t}_{0}})={{e}^{\frac{1}{2}}}-1$

επομένως το σημείο που συμβαίνει αυτό είναι το $M(\sqrt{e}-1,\,\,\frac{\sqrt{e}-1}{2})$

...συμπλήρωσα την απάντηση στο Α και την απάντηση του Ε....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #6

Καλησπέρα κ. Βασίλη.

Στο πρώτο ερώτημα σας έχει μια παγιδούλα

. Θέλει λίγη συμπλήρωση ο τύπος της συνάρτησης.

Φιλικά.

Επαναληπτικό θέμα

Επαναληπτικό θέμα

Re: Επαναληπτικό θέμα

Re: Επαναληπτικό θέμα

Re: Επαναληπτικό θέμα

Re: Επαναληπτικό θέμα

Re: Επαναληπτικό θέμα

Μέλη σε σύνδεση