Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας

#1

: Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας.png (28.29 KiB) Προβλήθηκε 1491 φορές

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι το συμμετρικό του μέσου της ως προς την , με τις ορθές προβολές των στις αντίστοιχα και έστω $T\equiv MN\cap DE$ . Αν οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα , να δειχθεί ότι η τέταρτη κορυφή (έστω ) του παραλληλογράμμου είναι σημείο της ευθείας όπου το μέσο της

Στάθης

#2

Απαιτητική αυτή η κορυφή παραλληλογράμμου, ή όπως λέει και ο φίλτατος Νίκος Φραγκάκης, ο Στάθης σε "δαιμονιώδη φόρμα".

Θα αποδειχθεί το ζητούμενο, αφού πρώτα κατασκευαστεί το σχήμα με τρόπο που διευκολύνει την τεκμηρίωση.

$\bullet$ Έστω $BD,\ CE$ , τα ύψη του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ , με ορθόκεντρο το σημείο έστω

και ας είναι $M,\ T$ , τα μέσα των $BC,\ DE$ , αντιστοίχως.

Έστω $P,\ Q,\ R$ , τα μέσα των $AE,\ AH,\ AD$ αντιστοίχως και από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $ADHE,\ BCDE$ έχουμε αντιστοίχως, $RT\perp DE\ \ \ ,(1)$ και $MT\perp DE\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)$ , προκύπτει ότι τα σημεία $R,\ T,\ M$ είναι συνευθειακά και ας είναι

, το σημείο στην προέκταση του

προς το μέρος του

, ώστε να είναι $MT = TN\ \ \ ,(3)$

Έστω $K,\ L$ , οι προβολές του σημείου

επί των $AB,\ AC$ αντιστοίχως και ας είναι

, το σημείο ώστε το AKSL

να είναι παραλλήλόγραμμο.

Ως ισοδύναμο ζητούμενο, αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει OA = ON

, όπου $O\equiv AN\cap TS$ .

: Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου, σε τροχιά συνευθειακότητας.; f=185_t=57444.png (41.32 KiB) Προβλήθηκε 1378 φορές

$\bullet$ Έστω $F,\ Z$ , οι προβολές του

επί των $AC,\ AB$ αντιστοίχως και ας είναι

, το σημείο ώστε το AFXZ

να είναι παραλληλόγραμμο.

Από τα συνευθειακά σημεία $M,\ R,\ N$ , σύμφωνα με το Θεώρημα των Αναλόγων Διαιρέσεων , έχουμε $\displaystyle \frac{KP}{PZ} = \frac{LQ}{QF}\ \ \ ,(4)$

οι προβολές τριών συνευθειακών σημείων, επί δύο τεμνόμενων ευθειών, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους

Από $KS\parallel PT\parallel ZX$ και $LS\parallel QT\parallel FX$ τώρα, σύμφωνα με το ίδιο θεώρημα ( γενίκευση ), προκύπτει ότι τα σημεία $S,\ T,\ X$ είναι συνευθειακά.

Εάν δύο δέσμες των τριών παραλλήλων ευθειών με ίσους λόγους τέμνονται, τα σημεία τομής των ομολόγων ευθειών τους είναι συνευθειακά

$\bullet$ Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , ισχύει $TX\equiv TY\parallel AM\ \ \ ,(5)$ όπου $Y\equiv AR\cap TO$ .

Από (5)

στο τρίγωνο $\vartriangle RAM$ , έχουμε $\displaystyle \frac{TR}{TM} = \frac{YR}{YA}\ \ \ ,(6)$

Από (6)

και $TM = TN\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{TR}{TN} = \frac{YR}{YA}\ \ \ ,(7)$

Στο τρίγωνο $\vartriangle ANR$ τώρα, με διατέμνουσα την OYT

, σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου , έχουμε $\displaystyle \frac{OA}{ON}\cdot \frac{TN}{TR}\cdot \frac{YR}{YA} = 1\ \ \ ,(8)$

Από $(7),\ (8)\Rightarrow$ $\boxed{OA = ON}$ και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $BE,\ CF$ τα ύψη του και ας είναι $M,\ N$ , τα μέσα των $BC,\ EF$ , αντιστοίχως. Έστω $K,\ L$ , οι προβολές του επί των $AC,\ AB$ αντιστοίχως και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο. Αποδείξτε ότι $NS\parallel AM$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.

#3

vittasko έγραψε: ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $BE,\ CF$ τα ύψη του και ας είναι $M,\ N$ , τα μέσα των $BC,\ EF$ , αντιστοίχως. Έστω $K,\ L$ , οι προβολές του επί των $AC,\ AB$ αντιστοίχως και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο. Αποδείξτε ότι $NS\parallel AM$ .

: Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου, σε τροχιά συνευθειακότητας - Απόδειξη του Λήμματος.; f=185_t=57444(a).png (28.2 KiB) Προβλήθηκε 1369 φορές

Στο παραλληλόγραμμο AKSL

, οι διαγώνιές του $KL,\ AS$ αλληλοδιχοτομούνται και άρα έχουμε $TA = TS\ \ \ ,(1)$ όπου $T\equiv KL\cap AS$ .

Ομοίως, στό το παραλληλόγραμμο KMLN

, η διαγώνιά του

περνάει από το μέσον

της

και ισχύει $TM = TN\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)\Rightarrow$ $NS\parallel AM$ και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας

Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας

Re: Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας

Re: Η τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου σε τροχιά συνευθειακότητας

Μέλη σε σύνδεση