Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

#1

Έστω μια πραγματική παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα $D\subseteq R$ με ${f}'\left( x \right)\ne 0,\forall x\in D$ . Να δειχθεί (με σχολικά εργαλεία) ότι η είναι γνησίως μονότονη στο

Στάθης

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω μια πραγματική παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα $D\subseteq R$ με ${f}'\left( x \right)\ne 0,\forall x\in D$ . Να δειχθεί (με σχολικά εργαλεία) ότι η είναι γνησίως μονότονη στο

Στάθης

...Για Καληνύχτα....

Για ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in D$ αν $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ ισχύει ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ τότε σύμφωνα με το Rolle στο διάστημα που ορίζουν τα

${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ θα υπάρχει ${{x}_{3}}$ που ${f}'({{x}_{3}})=0$ που είναι άτοπο λογω υπόθεσης άρα για κάθε

${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in D$ αν $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ τότε ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$ επομένως η

είναι

στο

.

Έτσι για $\alpha <\beta <\gamma$ με $\alpha ,\beta ,\gamma \in D$ λόγω του '1-1'

θα είναι $f(\alpha )\ne f(\beta )\ne f(\gamma )\ne f(\alpha )$

και θα ισχύει $f(\alpha )<f(\beta )<f(\gamma )$ ή $f(\alpha )>f(\beta )>f(\gamma )$ γιατί σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση διάταξης των τιμών ,

για παράδειγμα $f(\gamma )<f(\alpha )<f(\beta )$ σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. υπάρχει ${{x}_{0}}\in (\beta ,\,\,\gamma )$ ώστε

$f({{x}_{0}})=f(\alpha )$ και σύμφωνα με το Rolle θα υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\,{{x}_{0}})$ με ${f}'(\xi )=0$ που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης.

Επομένως η η

είναι γνησίως μονότονη στο

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ιστοσελίδα · #3

Να συμπληρώσω κι εγώ:
Μπορούμε να δείξουμε ότι η

διατηρεί πρόσημο στο

;

#4

Απο παλια στο συννημένο

Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Re: Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Re: Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Re: Μονοτονία με "σχολικά εργαλεία"

Μέλη σε σύνδεση