Και οι δύο ακέραιοι

dement · #1

Έστω $a, b \in \mathbb{R}$ με $a \neq b$ τέτοιοι ώστε ο a^n - b^n

είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο

. Αποδείξτε ότι οι a, b

είναι ακέραιοι.

#2

Έστω

και

Τότε $\dfrac{n_1}{n_2}=a+b$ οπότε $a=\dfrac{1}{2}(n_1+\dfrac{n_2}{n_1})\in \mathbb Q$ και $b=a-n_1\in\mathbb Q$

Ας είναι $a=\dfrac{k}{l}$ και $b=\dfrac{m}{n}$ όπου $k,l,m,n\in\mathbb Z$ με l,n>0

και

Τώρα $\dfrac{k}{l}-\dfrac{m}{n}=n_1\Rightarrow kn-ml=n_1nl$

Εφόσον n/kn

και

θα είναι

Όμως

οπότε

Ομοίως

Άρα

Τελικά $a=\dfrac{k}{l}$ και $b=\dfrac{m}{l}.$

Από υπόθεση l^n/(k^n-m^n)

για κάθε $n\geq 1.$ Θα δείξουμε ότι l=1.

Ας υποθέσουμε ότι $l\neq 1.$ Θα υπάρχει πρώτος p/l

οπότε

για κάθε $n\geq 1.$

Έστω $p^{m_0}$ η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί τον k-m.

Είναι

οπότε $k\equiv m(mod p).$ Διαλέγουμε n_0>m_0

ώστε ο

να μην διαιρεί τον n_0.

Τότε $k^{n_0-1}+k^{n_0-2}m+...+km^{n_0-2}+m^{n_0-1}\equiv n_0k^{n_0-1}(mod p)$

Αφού p/l

και

ο

δεν θα διαιρεί τον

Άρα $k^{n_0}-m^{n_0}=(k-m)(k^{n_0-1}+k^{n_0-2}m+...+km^{n_0-2}+m^{n_0-1})=p^{m_0}x,$ με (p,x)=1

οπότε ο $p^{n_0}$ δεν διαιρεί τον $k^{n_0}-m^{n_0}$ ΑΤΟΠΟ

dement · #3

Πολύ ωραία. Το δεύτερο μισό της απόδειξης μπορεί να παραλειφθεί παίρνοντας ως δεδομένο το Lifting the Exponent (που είναι και ο λόγος για τον οποίο έβαλα την άσκηση στους seniors).

Και οι δύο ακέραιοι

Και οι δύο ακέραιοι

Re: Και οι δύο ακέραιοι

Re: Και οι δύο ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση