Βρείτε τη μεγαλύτερη

vzf · #1

Θεωρείστε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη ακεραίων (a,b)

για τα οποία $\displaystyle{1\leq a\leq b\leq100}$ και $\displaystyle{\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}}$ είναι ακέραιος. Από αυτά τα ζευγάρια να βρεθεί αυτό με τη μεγαλύτερη τιμή του

.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

Λάθος λύση...

Ορέστης Λιγνός · #3

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
vzf έγραψε:Θεωρείστε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη ακεραίων για τα οποία $\displaystyle{1\leq a\leq b\leq100}$ και $\displaystyle{\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}}$ είναι ακέραιος. Από αυτά τα ζευγάρια να βρεθεί αυτό με τη μεγαλύτερη τιμή του .
Καλησπέρα!

Είναι:

${\dfrac{(a+b)(a+b+1)}{ab} \Rightarrow \dfrac{2ab}{ab}+\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a^{2}}{ab}+\dfrac{b^{2}}{ab} \Rightarrow 2+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \in\mathbb{N}$

$\bullet$ Αν , έχω δύο περιπτώσεις, τις: $\boxed{(a,b)=(1,1),(2,2)}$

$\bullet$ Για , θα πρέπει να μην είναι πολλαπλάσια κανενός πρώτου (εκτός του ), διότι στη διαίρεση, θα βγει άρρητο ή περιοδικό πηλίκο. Οι πιθανοί αριθμοί αυτοί είναι:

Παίρνω περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν , θα πρέπει Άτοπο
$\bullet$ Αν , θα πρέπει Άτοπο
$\bullet$ Αν , θα πρέπει . Άτοπο γιατί
$\bullet$ Αν , θα πρέπει Άτοπο
$\bullet$ Αν , θα πρέπει . Άτοπο γιατί
$\bullet$ Αν , θα πρέπει Άτοπο
$\bullet$ Αν , θα πρέπει Άτοπο
$\bullet$ Αν , θα πρέπει Άτοπο
$\bullet$ Αν , θα πρέπει Άτοπο γιατί
$\bullet$ Αν , θα πρέπει Ομοίως, άτοπο
$\bullet$ Αν , θα πρέπει Ομοίως, άτοπο
$\bullet$ Αν , θα πρέπει Ομοίως, άτοπο

Άρα, το ζεύγος με την μεγαλύτερη τιμή του είναι το $\boxed{(a,b)=(2,2)}$

Νικόλα, το ζεύγος $a=3, \, b=6$ δίνει $\dfrac{(a+b)(a+b+1)}{ab} =5 \in \mathbb{Z}$ , και έχει μεγαλύτερο

από το δικό σου.

Άρα, η λύση σου κάπου έχει πρόβλημα ...

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Νικόλα, το ζεύγος $a=3, \, b=6$ δίνει $\dfrac{(a+b)(a+b+1)}{ab} =5 \in \mathbb{Z}$ , και έχει μεγαλύτερο από το δικό σου.

Άρα, η λύση σου κάπου έχει πρόβλημα ...

Γεια σου Ορέστη! Είδα ότι η λύση είναι λάθος. Σε ευχαριστώ!

Νικόλας

#5

Επαναφορά!

sotiriszogos · #6

Το πρόβλημα λύνεται με την μέθοδο άλματος Vieta.
Έστω $\displaystyle n=\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}=2+\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$
Θέτω $\displaystyle m=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$
Έστω $\displaystyle (a,b)$ το ζευγάρι λύσης με $a\geq b$ .
$\displaystyle \frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}=2+m \Rightarrow (a+b)(a+b+1)=(2+m)ab \Rightarrow$
$\Rightarrow a^2-(mb-1)a+b^2+b=0$
Και αντικαθιστώντας το

με

έχουμε :

.
Έστω η μια λύση x_1=a

. Τότε από τους τύπους του αθροίσματος και του γινομένου του Vieta έχουμε : x_2=mb-1-a

και $\displaystyle x_2=\frac{b^2+b}{a}$ . Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι $\displaystyle x_2=\frac{b^2+b}{a}\leq \frac{b(b+1)}{b+1}=b \Rightarrow x_2 \leq b$ .
Άρα άλλη μια λύση είναι η (b,x_2)

δηλαδή η

.
Επαναλαμβάνοντας αυτήν την διαδικασία, φτάνουμε στην ελάχιστη λύση όπου a=b

.
Για

έχουμε $\displaystyle n=\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}=\frac{(2a)(2a+1)}{a^2}=\frac{4a^2+2a}{a^2}=4+\frac{2}{a}$ το οποίο είναι ακέραιος μόνο για a=1

ή

.
Για $\displaystyle a=b=1 \Rightarrow n=\frac{2 \cdot 3}{1}=6$ και μέσω του άλματος Vieta κρατώντας το n=6

σταθερό και έχοντας ως ελάχιστη λύση το (1,1)

βρίσκουμε τις υπόλοιπες λύσεις οι οποίες είναι $(1,1) \mapsto (1,2) \mapsto (2,6) \mapsto (6,21) \mapsto (21,77)$ .
Για $\displaystyle a=b=2 \Rightarrow n=\frac{4 \cdot 5}{4}=5$ και μέσω του άλματος Vieta κρατώντας το n=5

σταθερό και έχοντας ως ελάχιστη λύση το (2,2)

βρίσκουμε τις υπόλοιπες λύσεις οι οποίες είναι $(2,2) \mapsto (2,3) \mapsto (3,6) \mapsto (6,14) \mapsto (14,35) \mapsto (35,90)$ .
Οπότε, το ζευγάρι με το μεγαλύτερο

είναι το

.

Βρείτε τη μεγαλύτερη

Βρείτε τη μεγαλύτερη

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

Μέλη σε σύνδεση