Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

(α) Οι αριθμοί $\displaystyle{543}$ ή $\displaystyle{531}$ έχουν τα ψηφία τους σε φθίνουσα διάταξη, επειδή κάθε ψηφίο εκτός του πρώτου είναι μικρότερο από το προηγούμενό του. Τα ψηφία του αριθμού $\displaystyle{322}$ δεν είναι σε φθίνουσα διάταξη. Πόσοι και ποιοι αριθμοί μεταξύ του $\displaystyle{100}$ και του $\displaystyle{599}$ έχουν τα ψηφία τους σε φθίνουσα διάταξη;

(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : $\displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}}$

Πρόβλημα 2

(α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : $\displaystyle{\dfrac{\left(\dfrac{10}{7}+\dfrac{10}{11}+\dfrac{10}{13}\right)\div\dfrac{7\times11+11\times13+13\times7}{7\times11\times13}}{12\times12-7\times7+5\times5}}$

(β) Να βρείτε το $\displaystyle{2015^o}$ δεκαδικό ψηφίο όταν το $\displaystyle{\dfrac{1}{14}}$ εκφραστεί σε δεκαδική μορφή.

Πρόβλημα 3

(α) Στο πιο κάτω σχήμα, το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ορθογώνιο ( $\displaystyle{A}$ ορθή γωνία) με πλευρές $\displaystyle{AB=12 \:cm}$ και $\displaystyle{A\Gamma=16 \:cm}$ . Το σημείο $\displaystyle{Z}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{B\Gamma}$ . Να βρεθεί ο λόγος της μη σκιασμένης προς τη σκιασμένη επιφάνεια του τριγώνου ( $\displaystyle{\pi=3,14}$ ).

: Trigono.png (8.33 KiB) Προβλήθηκε 1483 φορές

(β) Τρεις φίλοι, ο Ανδρέας, ο Βασίλης και ο Γιώργος, μοιράστηκαν ένα ποσό χρημάτων. Ο Ανδρέας πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Βασίλης και ακόμη $\displaystyle{15}$ ευρώ. Ο Βασίλης πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Γιώργος και ακόμη $\displaystyle{9}$ ευρώ. Ο Γιώργος πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Ανδρέας και ακόμη $\displaystyle{18}$ ευρώ. Να βρείτε πόσα ήταν τα χρήματα που μοιράστηκαν οι τρεις φίλοι.

Πρόβλημα 4

Στο πιο κάτω σχήμα, το $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι τετράγωνο, τα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ είναι τα μέσα των $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ αντίστοιχα, $\displaystyle{H\Gamma=3\cdot\left(\Delta H\right)}$ και τα σημεία $\displaystyle{I}$ και $\displaystyle{\Theta}$ είναι τα μέσα των $\displaystyle{EZ}$ και $\displaystyle{ZH}$ αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{EBZ}$ είναι $\displaystyle{8 \:cm^2}$ , να βρείτε:
(i) το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{I\Theta Z}$
(ιι) το εμβαδόν του πολυγώνου $\displaystyle{AEI\Theta H\Delta}$

: Tetragono1.png (20.49 KiB) Προβλήθηκε 1483 φορές

Πρόβλημα 5

Μία ομάδα εργατών, όταν δεν είναι βροχερός ο καιρός, εργάζονται κανονικά $\displaystyle{10}$ ώρες την ημέρα και τελειώνει ένα έργο σε $\displaystyle{30}$ μέρες. Όταν ο καιρός είναι βροχερός, η ημερήσια απόδοση των εργατών είναι τα $\displaystyle{\dfrac{4}{5}}$ της κανονικής. Αν οι βροχερές μέρες που θα εργαστεί η ομάδα είναι $\displaystyle{6}$ περισσότερες από τις μη βροχερές, να βρείτε πόσες μέρες θα εργαστεί συνολικά η ίδια ομάδα εργατών για να τελειώσει το ίδιο έργο.

#2

Ας προσθέσω ότι ο IMC/Stage II απευθύνεται σε μαθητές Δημοτικού. Βλέπε εδώ

Το γράφω γιατί δεν ήξερα τον διαγωνισμό, αλλά τον έμαθα πριν από λίγο. Φαίνεται εξαιρετικός διαγωνισμός για εκεί που απευθύνεται. Ο αντίστοιχος για Stage III απευθύνεται σε μαθητές των μικρών τάξεων του Γυμνασίου, και είναι επίσης εξαιρετικός διαγωνισμός. Επ' αυτού βλέπε την πατάτα μου εδώ

Soteris · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ας προσθέσω ότι ο IMC/Stage II απευθύνεται σε μαθητές Δημοτικού. Βλέπε εδώ

Το γράφω γιατί δεν ήξερα τον διαγωνισμό, αλλά τον έμαθα πριν από λίγο. Φαίνεται εξαιρετικός διαγωνισμός για εκεί που απευθύνεται. Ο αντίστοιχος για Stage III απευθύνεται σε μαθητές των μικρών τάξεων του Γυμνασίου, και είναι επίσης εξαιρετικός διαγωνισμός. Επ' αυτού βλέπε την πατάτα μου εδώ

Κύριε Λάμπρου, με τη σειρά μου να προσθέσω σε αυτά που είπατε ότι ο IMC/Stage II απευθύνεται σε μαθητές Ε' Δημοτικού-Α' Γυμνασίου, ενώ ο IMC/Stage III απευθύνεται σε μαθητές Β' Γυμνασίου-Α' Λυκείου.

#4

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

(α) Στο πιο κάτω σχήμα, το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ορθογώνιο ( $\displaystyle{A}$ ορθή γωνία) με πλευρές $\displaystyle{AB=12 \:cm}$ και $\displaystyle{A\Gamma=16 \:cm}$ . Το σημείο $\displaystyle{Z}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{B\Gamma}$ . Να βρεθεί ο λόγος της μη σκιασμένης προς τη σκιασμένη επιφάνεια του τριγώνου ( $\displaystyle{\pi=3,14}$ ).

Το συνημμένο Trigono.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Καλό μεσημέρι.

Με Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: $\displaystyle{{\rm B}{\Gamma ^2} = {\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm A}{\Gamma ^2} = 144 + 256 = 400 \Leftrightarrow {\rm B}\Gamma = \sqrt {400} = 20}$

Η σκιασμένη επιφάνεια έχει εμβαδόν $\displaystyle{{E_1} = \frac{{{{10}^2}\pi w}}{{360}} + \frac{{{{10}^2}\pi \varphi }}{{360}} = \frac{{100\pi (w + \varphi )}}{{360}} = \frac{{100\pi 90}}{{360}} \Leftrightarrow {E_1} = 25\pi }$

Η μη σκιασμένη επιφάνεια έχει εμβαδόν $\displaystyle{{E_2} = (AB\Gamma ) - {E_1} = \frac{{12 \cdot 16}}{2} - 25\pi = 96 - 25\pi }$

Ο ζητούμενος λόγος είναι $\displaystyle{\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{96 - 25\pi }}{{25\pi }} = \frac{{96}}{{25\pi }} - 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\pi = 3.14} }$ $\boxed{\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} \simeq 0,223}$

: Stage II 2015. 3.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 1434 φορές

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : $\displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}}$

Κύριε Σωτήρη καλό μήνα. Μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό λάθος;

Τσιαλας Νικολαος · #6

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : $\displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}}$
Κύριε Σωτήρη καλό μήνα. Μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό λάθος;

Μια χαρά είναι Νικόλα. Οι αριθμοί είναι μεικτοί!

edit: Όντως λείπει το 1 στο δεύτερο κλάσμα!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #7

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : $\displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}}$
Κύριε Σωτήρη καλό μήνα. Μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό λάθος;
Μια χαρά είναι Νικόλα. Οι αριθμοί είναι μεικτοί!

edit: Όντως λείπει το 1 στο δεύτερο κλάσμα!

Αυτό εννοούσα τυπογραφικό!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #8

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

(α) Οι αριθμοί $\displaystyle{543}$ ή $\displaystyle{531}$ έχουν τα ψηφία τους σε φθίνουσα διάταξη, επειδή κάθε ψηφίο εκτός του πρώτου είναι μικρότερο από το προηγούμενό του. Τα ψηφία του αριθμού $\displaystyle{322}$ δεν είναι σε φθίνουσα διάταξη. Πόσοι και ποιοι αριθμοί μεταξύ του $\displaystyle{100}$ και του $\displaystyle{599}$ έχουν τα ψηφία τους σε φθίνουσα διάταξη;

(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : $\displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times1\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}$

Από το

μέχρι το

υπάρχουν

τέτοιοι αριθμοί. Άρα, μέχρι το 500

υπάρχουν $5 \cdot 45=225$ αριθμοί, οι:

110,121,120,132,131,130,143,142,141,140,154,153,152,151,150,165,164,163,162,161,160,176,175,174,173,172,171,170,187,186,185,184,183,182,181,180,198,197,196,195,194,193,192,191,190,210,221,220,232,231,230,243,242,241,240,254,253,252,251,250,265,264,263,262,261,260,276,275,274,273,272,271,270,287,286,285,284,283,282,281,280,298,297,296,295,294,293,292,291,290,310,321,320,332,331,330,343,342,341,340,354,353,352,351,350,365,364,363,362,361,360,376,375,374,373,372,371,370,387,386,385,384,383,382,381,380,398,397,396,395,394,393,392,391,390,410,421,420,432,431,430,443,442,441,440,454,453,452,451,450,465,464,463,462,461,460,476,475,474,473,472,471,470,487,486,485,484,483,482,481,480,498,497,496,495,494,493,492,491,490

$(\beta)$ $\dfrac{1}{1008}\times1\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}=$ $\dfrac{1009}{1008}\times\dfrac{1010}{1009}\times\dfrac{1011}{1010}\times\dfrac{1012}{1011}\times...\times\dfrac{2015}{2014}\times\dfrac{2016}{2015}=\boxed{2}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #9

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

(α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : $\displaystyle{\dfrac{\left(\dfrac{10}{7}+\dfrac{10}{11}+\dfrac{10}{13}\right)\div\dfrac{7\times11+11\times13+13\times7}{7\times11\times13}}{12\times12-7\times7+5\times5}}$

(β) Να βρείτε το $\displaystyle{2015^o}$ δεκαδικό ψηφίο όταν το $\displaystyle{\dfrac{1}{14}}$ εκφραστεί σε δεκαδική μορφή.

$\displaystyle{\dfrac{\left(\dfrac{10}{7}+\dfrac{10}{11}+\dfrac{10}{13}\right)\div\dfrac{7\times11+11\times13+13\times7}{7\times11\times13}}{12\times12-7\times7+5\times5}}=$ $\dfrac{\dfrac{1430+910+770}{7\cdot 11\cdot 13}\cdot \dfrac{7\cdot 11\cdot 13}{143+91+77}}{144-49+25}=\dfrac{10}{120}=\dfrac{1}{12}$

$(\beta)$ Παρατηρώ ότι ο αριθμός $\displaystyle{\dfrac{1}{14}}$ είναι περιοδικός, με περίοδο το 714285

. Επίσης, παρατηρώ ότι το $\displaystyle{5^o}$ ψηφίο της περιόδου είναι

, το $\displaystyle{10^o}$ ψηφίο της περιόδου είναι

κλπ.

Άρα, το $\displaystyle{2015^o}$ δεκαδικό ψηφίο του είναι $\boxed{8}$

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Μέλη σε σύνδεση