IMC Stage-II 2016

Κατερινόπουλος Νικόλας · #21

Η λύση μου ήταν λανθασμένη.

#22

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:
Άσκηση 5: Στην καλαθόσφαιρα η βολή αξίζει έναν πόντο, το δίποντο δύο και το τρίποντο τρεις. Ο Στέφανος πετυχαίνει βολές και άλλα καλάθια. Αν έβαζε τα διπλάσια δίποντα και τα μισά τρίποντα θα πετύχαινε επιπλέον πόντους. Πόσους πόντους σκόραρε ο Στέφανος;
Από εκφώνηση, έχω την εξίσωση:

$8+2x+3y=4x+\dfrac{3y}{2}-7 \Rightarrow -x+y=30$

Δύο παρατηρήσεις:
(α) Η εκφώνηση υπονοεί ότι και στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να μετρήσουμε τις

βολές. Άρα η σωστή εξίσωση είναι $8+2x+3y=8 + 4x+\dfrac{3y}{2}-7$
(β) Το σύστημα λύθηκε λανθασμένα. Στην περίπτωσή σου θα έπρεπε να βγάλεις 4x-3y = 30

.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #23

Έχετε δίκιο

. Όμως από την εξίσωση που γράψατε βγαίνει 4x-3y=14

.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #24

Demetres έγραψε:
Άσκηση 5: Στην καλαθόσφαιρα η βολή αξίζει έναν πόντο, το δίποντο δύο και το τρίποντο τρεις. Ο Στέφανος πετυχαίνει βολές και άλλα καλάθια. Αν έβαζε τα διπλάσια δίποντα και τα μισά τρίποντα θα πετύχαινε επιπλέον πόντους. Πόσους πόντους σκόραρε ο Στέφανος;

Έστω

τα δίποντα που σκόραρε και

τα τρίποντα. Άρα, από εκφώνηση, έχω:

$8+2x+3y=8+4x+\dfrac{3y}{2}-7 \Rightarrow 4x-3y=14$

Αν πέτυχε

βολές και

καλάθια, έχω x+y=14

και το σύστημα:

x+y=14

4x-3y=14

Τελικά,

Επομένως, ο Στέφανος πέτυχε: $\boxed{8+8\cdot 2+6\cdot 3=42}$ πόντους

#25

Ωραία!

Δίνω και υπόδειξη για το 3:

Υπάρχουν πέντε διαφορετικά εμβαδά που εμφανίζονται στο σχήμα. Ονόμασέ τα $E_1,\ldots,E_5$ . Γράψε τώρα κάποιες εξισώσεις που ικανοποιούν αυτά τα εμβαδά.

Παρεμπιπτόντως, μην σβήνεις τις παλιές/λανθασμένες αναρτήσεις διότι χαλούν την ροή των υπόλοιπων αναρτήσεων. Να κάνεις επεξεργασία γράφοντας από κάτω κάτι στου στυλ: «Η συγκεκριμένη λύση είναι λανθασμένη. Δείτε τα επόμενα σχόλια.»

Αργότερα σήμερα θα βάλω και τις ασκήσεις 7 και 8.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #26

Demetres έγραψε:Ωραία!

Δίνω και υπόδειξη για το 3:

Υπάρχουν πέντε διαφορετικά εμβαδά που εμφανίζονται στο σχήμα. Ονόμασέ τα $E_1,\ldots,E_5$ . Γράψε τώρα κάποιες εξισώσεις που ικανοποιούν αυτά τα εμβαδά.

Παρεμπιπτόντως, μην σβήνεις τις παλιές/λανθασμένες αναρτήσεις διότι χαλούν την ροή των υπόλοιπων αναρτήσεων. Να κάνεις επεξεργασία γράφοντας από κάτω κάτι στου στυλ: «Η συγκεκριμένη λύση είναι λανθασμένη. Δείτε τα επόμενα σχόλια.»

Αργότερα σήμερα θα βάλω και τις ασκήσεις 7 και 8.

#27

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:
Άσκηση 6: Ο Γιάννης τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από ότι περπατάει. (Και οι δύο ταχύτητες είναι σταθερές.) Μια μέρα που πήγε στο σχολείο,
περπάτησε διπλάσιο χρόνο από ότι έτρεξε και συνολικά του πήρε λεπτά. Την επόμενη μέρα έτρεξε διπλάσιο χρόνο από ότι περπάτησε. Πόσα λεπτά του πήρε για να πάει στο σχολείο;
Γεια σας κύριε Δημήτρη!

Έστω η ταχύτητα που περπατάει. Αν τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από ότι περπατάει, την πρώτη μέρα έτρεξε και περπάτησε ίσο χρόνο .

Τη δεύτερη μέρα, έτρεξε διπλάσιο χρόνο από ότι περπάτησε, $2x+\dfrac{x}{2}=\dfrac{5x}{2}$ . Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα αν ο χρόνος ήταν , έχω:

$\dfrac{5xy}{2}=60x \Rightarrow \boxed{y=24}$

Να το λύσω διαφορετικά διότι δεν φαίνεται ξεκάθαρα στην λύση τι είναι τι.

Έστω ότι ο Γιάννης περπατάει με ταχύτητα

μέτρα το λεπτό. Άρα τρέχει με ταχύτητα

μέτρα το λεπτό. Την πρώτη μέρα περπάτησε

λεπτά και έτρεξε

λεπτά. Συνολικά λοιπόν διένυσε 40x

μέτρα.

Έστω ότι την δεύτερη μέρα περπάτησε

λεπτά. Άρα έτρεξε

λεπτά. Οπότε διένυσε kx + 2k(2x) = 5kx

μέτρα. Επειδή 5kx = 40x

τότε

.

Άρα την δεύτερη μέρα του πήρε 3k = 24

λεπτά για να πάει στο σχολείο.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #28

Demetres έγραψε:
Άσκηση 7: Ο Δημήτρης έχει μερικά φιστίκια. Την πρώτη μέρα έφαγε φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο τον υπολοίπων το απόγευμα. Την δεύτερη μέρα έφαγε φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο των υπολοίπων το απόγευμα. Αν έφαγε τον ίδιο αριθμό φιστικιών κάθε μέρα, πόσα φιστίκια του έμειναν;

Από εκφώνηση, έχω:

$13+\dfrac{x-13}{10}=16+\dfrac{x-(13+\dfrac{x-13}{10}+16)}{10}$

Άρα, $\boxed{x=153}$

Επομένως, τού έμειναν: $x-13-\dfrac{x-13}{10}-16-\dfrac{x-13-\dfrac{x-13}{10}-16}{10}=\boxed{99}$

#29

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:
Άσκηση 7: Ο Δημήτρης έχει μερικά φιστίκια. Την πρώτη μέρα έφαγε φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο τον υπολοίπων το απόγευμα. Την δεύτερη μέρα έφαγε φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο των υπολοίπων το απόγευμα. Αν έφαγε τον ίδιο αριθμό φιστικιών κάθε μέρα, πόσα φιστίκια του έμειναν;
Από εκφώνηση, έχω:

$13+\dfrac{x-13}{10}=16+\dfrac{x-(13+\dfrac{x-13}{10}+16)}{10}$

Άρα, $\boxed{x=153}$

Επομένως, τού έμειναν: $x-13-\dfrac{x-13}{10}-16-\dfrac{x-13-\dfrac{x-13}{10}-16}{10}=\boxed{99}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #30

Demetres έγραψε:
Να το λύσω διαφορετικά διότι δεν φαίνεται ξεκάθαρα στην λύση τι είναι τι.

Έστω ότι ο Γιάννης περπατάει με ταχύτητα μέτρα το λεπτό. Άρα τρέχει με ταχύτητα μέτρα το λεπτό. Την πρώτη μέρα περπάτησε λεπτά και έτρεξε λεπτά. Συνολικά λοιπόν διένυσε μέτρα.

Έστω ότι την δεύτερη μέρα περπάτησε λεπτά. Άρα έτρεξε λεπτά. Οπότε διένυσε μέτρα. Επειδή τότε .

Άρα την δεύτερη μέρα του πήρε λεπτά για να πάει στο σχολείο.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #31

Demetres έγραψε: Άσκηση 8: Το άθροισμα διαφορετικών θετικών ακεραίων ισούται με . Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος από αυτούς που πρέπει απαραίτητα να είναι περιττοί;

Εύκολα, αν προσθέσουμε τους πρώτους

άρτιους θα βρούμε 1980

. Αν προσθέσουμε άλλο, ξεπερνάμε το 2016

.

Συωεπώς χειαζόμαστε τουλάχιστον

περιττούς, το οποίο είναι αδύνατο γιατί δεν θα έχουν άρτιο άθροισμα.

Επομένως, θα χρειαστούμε απαραίτητα $\boxed{6}$ περιττούς.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κατερινόπουλος Νικόλας · #32

Demetres έγραψε: Άσκηση 9: Το άθροισμα θετικών ακεραίων ισούται με . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του μέγιστου κοινού διαιρέτη τους.

Γεια σας κύριε Δημήτρη!

Θα πρέπει ο ΜΚΔ τους να διαιρεί το 2016

και να έχει πηλίκο μεγαλύτερο του

αλλά όσο το δυνατό μικρότερο.

Αυτό είναι το

, που βγαίνει 2016:28=72

, που ισχύει γιατί:

$24 \cdot 72+288=2016, \; \; \mu \epsilon \; \; 72|288$

Άρα, ο $MK\Delta$ τους είναι $\boxed{72}$

#33

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε: Άσκηση 8: Το άθροισμα διαφορετικών θετικών ακεραίων ισούται με . Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος από αυτούς που πρέπει απαραίτητα να είναι περιττοί;
Εύκολα, αν προσθέσουμε τους πρώτους άρτιους θα βρούμε . Αν προσθέσουμε άλλο, ξεπερνάμε το .

Συωεπώς χειαζόμαστε τουλάχιστον περιττούς, το οποίο είναι αδύνατο γιατί δεν θα έχουν άρτιο άθροισμα.

Επομένως, θα χρειαστούμε απαραίτητα $\boxed{6}$ περιττούς.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Και άρτιους

Σωστά. Για τον διαγωνισμό μόνο η απάντηση

είναι αρκετή. Για την δικαιολόγηση (που δεν απαιτείται από τον διαγωνισμό) χρειάζεται να δώσουμε και παράδειγμα που να χρησιμοποιεί μόνο

περιττούς. Ένα τέτοιο είναι το

$\displaystyle{ (2+4+6+\cdots+86)+(1+3+5+7+9)+97 = 2 \cdot 43 \cdot 44 + 25 + 97 = 2016.}$

#34

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε: Άσκηση 9: Το άθροισμα θετικών ακεραίων ισούται με . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του μέγιστου κοινού διαιρέτη τους.
Γεια σας κύριε Δημήτρη!

Θα πρέπει ο ΜΚΔ τους να διαιρεί το και να έχει υπόλοιπο μεγαλύτερο του αλλά όσο το δυνατό μικρότερο.

Αυτό είναι το , που βγαίνει , που ισχύει γιατί:

$24 \cdot 72+288=2016, \; \; \mu \epsilon \; \; 72|288$

Άρα, ο $MK\Delta$ τους είναι $\boxed{72}$

Σωστά. Εκεί που λες υπόλοιπο εννοείς βέβαια πηλίκο.

#35

Demetres έγραψε: Άσκηση 3: Με κέντρο κάθε κορυφή ενός τετραγώνου πλευράς cm, εγγράφουμε κύκλο ακτίνας cm όπως φαίνεται στο πιο κάτω διάγραμμα. Πόσο μεγαλύτερο σε $\mathrm{cm}^2$ είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής από το εμβαδόν κύκλου ακτίνας cm; (Χρησιμοποιήστε $\pi = 3.14$ .)

CapturFiles.png

$\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.8] \clip(-1.6788873213124977,-0.2856696659769989) rectangle (6.064281530003015,6.113753388117091); \draw (1.,4.)-- (1.,2.); \draw (1.,2.)-- (3.,2.); \draw (3.,2.)-- (3.,4.); \draw (3.,4.)-- (1.,4.); \draw(1.,4.) circle (2.cm); \draw(3.,4.) circle (2.cm); \draw(1.,2.) circle (2.cm); \draw(3.,2.) circle (2.cm); \draw (0.06399089092518666,4.929660556902176) node[anchor=north west] {A}; \draw (1.75,4.88974731540055) node[anchor=north west] {B}; \draw (1.1,3.8) node[anchor=north west] {C}; \draw (1.846782344664497,4.184613382205152) node[anchor=north west] {D}; \draw (1.8,3.2) node[anchor=north west] {E}; \begin{scriptsize} \draw [fill=black] (1.,4.) circle (0.5pt); \draw [fill=black] (1.,2.) circle (0.5pt); \draw [fill=black] (3.,2.) circle (0.5pt); \draw [fill=black] (3.,4.) circle (0.5pt); \end{scriptsize} \end{tikzpicture}$

Έστω A,B,C,D,E

τα εμβαδά που φαίνονται στο πιο πάνω σχήμα. Ζητείται να βρούμε το

$4A + 4B +4D - \pi$ .

Γνωρίζουμε τα εξής:

(1) $A+2B = 3\pi/4$ . [Εμβαδόν κυκλικού τομέα.]
(2) $3C + 2D + E = \pi/4$ . [Εμβαδόν κυκλικού τομέα.]
(3) B = 2C + D + E

. [Ίσα σχήματα.]
(4) 4C + 4D + E = 1

. [Εμβαδόν τετραγώνου]

Από τις (2) και (3), απαλείφοντας το

παίρνουμε:

(5) $B+C+D \pi/4$

Από τις (2) και (4), απαλείφοντας το

παίρνουμε:

(6) $C+2D = 1-\pi/4$

Από τις (5) και (6), απαλείφοντας το

παίρνουμε:

(7) $B-D = \pi/2-1$

Τώρα από τις (1) και (7) παίρνουμε:

$A+B+D = 3\pi/4 - \pi/2 + 1 = \pi/4 + 1$ .

Οπότε $4(A+B+D) - \pi = 4$ .

Κατερινόπουλος Νικόλας · #36

Demetres έγραψε:
Σωστά. Εκεί που λες υπόλοιπο εννοείς βέβαια πηλίκο.

Πατάτα!!!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #37

Demetres έγραψε:
Σωστά. Για τον διαγωνισμό μόνο η απάντηση είναι αρκετή. Για την δικαιολόγηση (που δεν απαιτείται από τον διαγωνισμό) χρειάζεται να δώσουμε και παράδειγμα που να χρησιμοποιεί μόνο περιττούς. Ένα τέτοιο είναι το

$\displaystyle{ (2+4+6+\cdots+86)+(1+3+5+7+9)+97 = 2 \cdot 43 \cdot 44 + 25 + 97 = 2016.}$

Αν χρειάζεται και παράδειγμα, πάω πάσο. (

)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κατερινόπουλος Νικόλας · #38

Demetres έγραψε:

$\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.8] \clip(-1.6788873213124977,-0.2856696659769989) rectangle (6.064281530003015,6.113753388117091); \draw (1.,4.)-- (1.,2.); \draw (1.,2.)-- (3.,2.); \draw (3.,2.)-- (3.,4.); \draw (3.,4.)-- (1.,4.); \draw(1.,4.) circle (2.cm); \draw(3.,4.) circle (2.cm); \draw(1.,2.) circle (2.cm); \draw(3.,2.) circle (2.cm); \draw (0.06399089092518666,4.929660556902176) node[anchor=north west] {A}; \draw (1.75,4.88974731540055) node[anchor=north west] {B}; \draw (1.1,3.8) node[anchor=north west] {C}; \draw (1.846782344664497,4.184613382205152) node[anchor=north west] {D}; \draw (1.8,3.2) node[anchor=north west] {E}; \begin{scriptsize} \draw [fill=black] (1.,4.) circle (0.5pt); \draw [fill=black] (1.,2.) circle (0.5pt); \draw [fill=black] (3.,2.) circle (0.5pt); \draw [fill=black] (3.,4.) circle (0.5pt); \end{scriptsize} \end{tikzpicture}$

Έστω τα εμβαδά που φαίνονται στο πιο πάνω σχήμα. Ζητείται να βρούμε το

$4A + 4B +4D - \pi$ .

Γνωρίζουμε τα εξής:

(1) $A+2B = 3\pi/4$ . [Εμβαδόν κυκλικού τομέα.]
(2) $3C + 2D + E = \pi/4$ . [Εμβαδόν κυκλικού τομέα.]
(3) . [Ίσα σχήματα.]
(4) . [Εμβαδόν τετραγώνου]

Από τις (2) και (3), απαλείφοντας το παίρνουμε:

(5) $B+C+D \pi/4$

Από τις (2) και (4), απαλείφοντας το παίρνουμε:

(6) $C+2D = 1-\pi/4$

Από τις (5) και (6), απαλείφοντας το παίρνουμε:

(7) $B-D = \pi/2-1$

Τώρα από τις (1) και (7) παίρνουμε:

$A+B+D = 3\pi/4 - \pi/2 + 1 = \pi/4 + 1$ .

Οπότε $4(A+B+D) - \pi = 4$ .

Ωωωω

Κατερινόπουλος Νικόλας · #39

Θα βάλετε και τα υπόλοιπα θέματα;

Κατερινόπουλος Νικόλας · #40

Demetres έγραψε: Άσκηση 11: Η Άννα ξεκινάει να γράφει όλους τους πρώτους αριθμούς τον ένα δίπλα από τον άλλο ως εξής: $235711\ldots$ . Σταματάει όταν έγραψε πρώτους. Έπειτα, αφαιρεί ψηφία ώστε να παραμείνει γραμμένος ένας εννιαψήφιος αριθμός. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή αυτού του αριθμού;

Νομίζω ότι έχω κατανοήσει λάθος την άσκηση, αλλά όπως το κατάλαβα, θα απαντήσω.

Οι

πρώτοι που έγραψε σχημάτισαν τον αριθμό 2357111317192327

. Αν του αφαιρέσει

ψηφία, προκύπτει ο αριθμός 235711131

.

Όπως γράφει η εκφώνηση, καταλαβαίνω (εγώ) ότι τους γράφει με τη σειρά. Δεν ξέρω αν είναι σωστό...

IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Μέλη σε σύνδεση