Άθροισμα Τετραγώνων

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Κάποιος έγραψε:Αν ο φυσικός αριθμός είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, να αποδείξετε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.

Για μαθητές μέχρι αύριο!

#2

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Κάποιος έγραψε:Αν ο φυσικός αριθμός είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, να αποδείξετε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Για μαθητές μέχρι αύριο!

Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι αν οι m,n

είναι ο καθένας άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων, τότε και το γινόμενό τους

είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.

Εδώ είναι βέβαια m=2=1^2+1^2

.

Ας προσθέσω ότι πρόκειται για πολλή γνωστή, χιλιοειπωμένη άσκηση.

Edit: Πρόσθεσα διόρθωση (με κόκκινο)

Panagiotis11 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Κάποιος έγραψε:Αν ο φυσικός αριθμός είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, να αποδείξετε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Για μαθητές μέχρι αύριο!
Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι αν οι είναι ο καθένας άθροισμα τετραγώνων, τότε και το γινόμενό τους είναι άθροισμα τετραγώνων.

Εδώ είναι βέβαια .

Ας προσθέσω ότι πρόκειται για πολλή γνωστή, χιλιοειπωμένη άσκηση.

Θέτω

$m=a^{2}+b^{2} ,n=c^{2}+d^{2}$

Τότε,
$mn=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
$=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}d^{2}$
$=(ac)^{2}+(ad)^{2}+(bc)^{2}+(cd)^{2}$

#4

Σωστά, αλλά εννοούσα οι m,n

να είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων ο καθένας.

Άλλωστε αυτό κατάλαβες και ο ίδιος αφού ξεκινάς με

Panagiotis11 έγραψε: Θέτω

$m=a^{2}+b^{2} ,n=c^{2}+d^{2}$

Όμως καταλήγεις στο

Panagiotis11 έγραψε: $=(ac)^{2}+(ad)^{2}+(bc)^{2}+(cd)^{2}$

(τέσσερα τετράγωνα).

Ζητώ συγνώμη, αλλά ας ξαναδούμε την άσκηση:

Θέλουμε να δείξουμε ότι και ο

είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.

Έκανα διόρθωση στην αρχική εκφώνηση παραπάνω.

jason.prod · #5

Panagiotis11 έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Κάποιος έγραψε:Αν ο φυσικός αριθμός είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, να αποδείξετε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.
Για μαθητές μέχρι αύριο!
Ακόμα καλύτερα δείξτε ότι αν οι είναι ο καθένας άθροισμα τετραγώνων, τότε και το γινόμενό τους είναι άθροισμα τετραγώνων.

Εδώ είναι βέβαια .

Ας προσθέσω ότι πρόκειται για πολλή γνωστή, χιλιοειπωμένη άσκηση.
Θέτω

$m=a^{2}+b^{2} ,n=c^{2}+d^{2}$

Τότε,
$mn=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
$=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}d^{2}$
$=(ac)^{2}+(ad)^{2}+(bc)^{2}+(cd)^{2}$

Η άσκηση προφανώς εννοεί ΔΥΟ τετραγώνων. Με την ευκαιρία όμως της εσφαλμένης λύσης αυτής, θα ήθελα να σημειώσω (και να επιβεβαιώσω, γιατί δεν είμαι απόλυτα σίγουρος για αυτό που θα πω) ότι "κάθε θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 3 γράφεται ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων ακεραίων". Το έχω ακούσει ως πρόταση, αλλά δεν έχω περισσότερα στοιχεία για αυτήν. Θα παρακαλούσα κάποιο μέλος που γνωρίζει κάτι παραπάνω να μας πληροφορήσει.

Edit: Mε πρόλαβε ο κος. Λάμπρου. Το αφήνω για το περαιτέρω θέμα που ανοίγω.

#6

jasonmaths4ever έγραψε: "κάθε θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 3 γράφεται ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων ακεραίων".

Σωστό (αλλά δεν χρειάζεται ο περιορισμός "μεγαλύτερος του 3"). Πρόκειται για το λεγόμενο Θεώρημα Lagrange. Βλέπε εδώ.

Όλες οι προχωρημένες Θεωρίες Αριθμών το περιέχουν.

Panagiotis11 · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε:Σωστά, αλλά εννοούσα οι να είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων ο καθένας.

Άλλωστε αυτό κατάλαβες και ο ίδιος αφού ξεκινάς με
Panagiotis11 έγραψε: Θέτω

$m=a^{2}+b^{2} ,n=c^{2}+d^{2}$
Όμως καταλήγεις στο

Panagiotis11 έγραψε: $=(ac)^{2}+(ad)^{2}+(bc)^{2}+(cd)^{2}$
(τέσσερα τετράγωνα).

Ζητώ συγνώμη, αλλά ας ξαναδούμε την άσκηση:

Θέλουμε να δείξουμε ότι και ο είναι άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων.

Έκανα διόρθωση στην αρχική εκφώνηση παραπάνω.

Ωραία.. Συγγνώμη για την απάντηση,κατάλαβα λάθος λόγω της εκφώνησης.

Μένουμε στο $a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}d^{2}$
$=c^{2}(a^{2}+b^{2})+d^{2}(a^{2}+b^{2})$
$=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

Ελπίζω αυτή να είναι η λύση που θα θέλατε!

#8

Παναγιώτη, προσοχή. Η λύση σου δεν είναι σωστή.

Εδώ

Panagiotis11 έγραψε: Μένουμε στο $a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}d^{2}$
$=c^{2}(a^{2}+b^{2})+d^{2}(a^{2}+b^{2})$
$=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

απλά επαναλαμβάνεις αλλά με ανάποδη σειρά αυτό που είχες γράψει στην πρώτη σου λύση:

Panagiotis11 έγραψε: Τότε,
$mn=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
$=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}d^{2}$
$=(ac)^{2}+(ad)^{2}+(bc)^{2}+(cd)^{2}$

Όμως η άσκηση δεν ζητά αυτό που έδειξες δύο φορές.

Ζητά να δείξεις ότι ο αριθμός $mn=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$ είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.

Αυτό που έδειξες είναι μία ταυτολογία: Αν ένας αριθμός είναι γινόμενο δύο τελείων τετραγώνων τότε είναι ... γινόμενο δύο τελείων τετραγώνων.

Panagiotis11 · #9

Άλλη μία προσπάθεια

Είναι: $(a^{2}+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$
=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2+b^2c^2-2abcd=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

Βέβαια μπορεί να ισχύσει και το αντίστροφο δηλαδή (ac-bd)^2(ad+bc)^2

με την αντιμεταθετική ιδιότητα.

#10

Panagiotis11 έγραψε: Είναι: $(a^{2}+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$

Ωραιότατα.

Για την ιστορία, η πρώτη εμφάνιση της παραπάνω ταυτότητας σε Δυτικό βιβλίο είναι στο Liber Αbaci (1202) του Leonardo Fibonacci (1170 – 1250).

Η αρχική άσκηση που ζήταγε να δείξουμε ότι ο

είναι άθροισμα τετραγώνων αν συμβαίνει το ίδιο για τον

, είναι απλή: $\displaystyle{2(a^{2}+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2}$ .

KARKAR · #11

Μια σχετική αρκετά παλαιότερη ανάρτηση εδώ

Άθροισμα Τετραγώνων

Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Re: Άθροισμα Τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση