Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω τὸ σύνολο Cantor. Ὑπενθυμίζεται ὅτι
$\displaystyle{ C = \bigcap_{n\in\mathbb N} I_n, }$
ὅπου
$\displaystyle{I_1=[0,1/3]\cup[2/3]=I_{1,1}\cup I_{1,2},}$
$\displaystyle{I_2=[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup[8/9,1]=I_{2,1}\cup I_{2,2}\cup I_{2,3}\cup I_{2,4},}$
καί γενικότερα
$\displaystyle{I_n=\cup_{j=1}^{2^n} I_{n,j}}$
ὅπου ἕκαστο τῶν $I_{n,j}$ ἀποτελεῖ κλειστό διάστημα μήκους .

Νὰ ἀποδειχθεῖ ὅτι ὑπάρχει θετικὸ μέτρο Borel $\mu$ , μὲ φορέα τὸ , ὥστε
$\displaystyle{ \mu(I_{n,k})=2^{-n}, }$
διὰ κάθε $n\in\mathbb N$ , καὶ $k=1,\ldots,2^n$ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ $\mu$ ἀποτελεῖ ἰδιάζον μέτρο ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue, καὶ ἰσχύει ὅτι $\mu(\{x\})=0$ , διὰ κάθε

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω τὸ σύνολο Cantor. Ὑπενθυμίζεται ὅτι
$\displaystyle{ C = \bigcap_{n\in\mathbb N} I_n, }$
ὅπου
$\displaystyle{I_1=[0,1/3]\cup[2/3]=I_{1,1}\cup I_{1,2},}$
$\displaystyle{I_2=[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup[8/9,1]=I_{2,1}\cup I_{2,2}\cup I_{2,3}\cup I_{2,4},}$
καί γενικότερα
$\displaystyle{I_n=\cup_{j=1}^{2^n} I_{n,j}}$
ὅπου ἕκαστο τῶν $I_{n,j}$ ἀποτελεῖ κλειστό διάστημα μήκους .

Νὰ ἀποδειχθεῖ ὅτι ὑπάρχει θετικὸ μέτρο Borel $\mu$ , μὲ φορέα τὸ , ὥστε
$\displaystyle{ \mu(I_{n,k})=2^{-n}, }$
διὰ κάθε $n\in\mathbb N$ , καὶ $k=1,\ldots,2^n$ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ $\mu$ ἀποτελεῖ ἰδιάζον μέτρο ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue, καὶ ἰσχύει ὅτι $\mu(\{x\})=0$ , διὰ κάθε .

Αν δεν κάνω λάθος είναι το μέτρο που δίνει η συνάρτηση του Cantor
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Πράγματι τὸ ζητούμενο μέτρο $\mu$ σχετίζεται μὲ τὴν συνάρτηση Cantor f(x)

, καὶ ἰσχύει ὅτι $\mu(a,b)=f(b)-f(a)$ .

Ἕνας ἄλλος τρόπος νὰ ὁρισθεῖ εἶναι ὡς weak star ὅριο τῶν μέτρων $\mu_n$ , ὅπου
$\displaystyle{ \mu_n(E)=\frac{3^n}{2^n}\ell(E\cap I_n), }$
μὲ
$\displaystyle{ I_1=[0,1/3]\cup[2/3,1],\quad I_2=[0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup[8/9,1],\quad\ldots, }$
καθὼς τὰ προσεσημασμένα μέτρα ἐπὶ τοῦ [0,1]

ἀποτελοῦν τὸν δυϊκὸ τοῦ C[0,1]

.

Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

Re: Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

Re: Ἰδιάζον μέτρο μὲ φορέα τὸ σύνολο Cantor

Μέλη σε σύνδεση