Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 400.png (8.67 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Υπολογίστε την πλευρά του παραπάνω ισόπλευρου τριγώνου $AB\Gamma$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:400.png

Υπολογίστε την πλευρά του παραπάνω ισόπλευρου τριγώνου $AB\Gamma$ .

Τα τρίγωνα ABD, ACE,

είναι ίσα, οπότε οι γωνίες $B\widehat AC, D\widehat AE$ έχουν κοινή διχοτόμο και άρα DE||BC.

Αν

είναι η πλευρά του ισοπλεύρου, τότε $x+y=\dfrac{a\sqrt 3}{2}.$

: Ισόπλευρο 12.png (12.19 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

$\displaystyle{y = \frac{{3\sqrt 3 }}{2},x = \sqrt {4 - \frac{{{{(a - 1)}^2}}}{4}} },$ οπότε καταλήγουμε στην εξίσωση $\boxed{a^2-5a+3=0}$ ,

απ' όπου παίρνουμε την δεκτή ρίζα $\boxed{a = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}}$

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:400.png

Υπολογίστε την πλευρά του παραπάνω ισόπλευρου τριγώνου $AB\Gamma$ .

: Ισόπλευρο 12 Φάνης.png (21.44 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Μια ακόμα λύση .

Η ευθεία

τέμνει τις $AB,\,\,AC$ στα S,T

. Από το τρίγωνο AET

και το Θεώρημα

των προβολών ( ή αλλιώς συνημίτονου ) έχω : $A{E^2} = A{T^2} + E{T^2} - AE \cdot AT$ .

Αν $ET = x \Rightarrow SD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{AS = ST = AT = 2x + 1}$ άρα η προηγούμενη δίδει :

$7 = {(2x + 1)^2} + {x^2} - x(2x + 1) \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0$ και άρα $\boxed{x = 1}$ .

Από το ίδιο θεώρημα στο $\vartriangle TEC$ έχω : $T{C^2} + TC - 3 = 0 \Rightarrow \boxed{TC = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}}$

Συνεπώς $AB = BC = CA = 2 \cdot 1 + 1 + \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow \boxed{a = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:400.png

Υπολογίστε την πλευρά του παραπάνω ισόπλευρου τριγώνου $AB\Gamma$ .

Με ν.συνημιτόνου στο $\displaystyle{\vartriangle ADE \Rightarrow \boxed{\cos \theta = \frac{{13}}{{14}}}}$

$\displaystyle{2\varphi = {60^0} - \theta \Rightarrow ...\cos 2\varphi = \frac{{11}}{{14}} \Rightarrow ...\cos \varphi = \frac{5}{{2\sqrt 7 }}}$

Με ν.συνημιτόνου στο $\displaystyle{\vartriangle ADB \Rightarrow 4 = {\alpha ^2} + 7 - 2\alpha \sqrt 7 \cdot \frac{5}{{2\sqrt 7 }} \Rightarrow \boxed{{\alpha ^2} - 5a + 3 = 0}}$ με δεκτή ρίζα $\displaystyle{\boxed{\alpha = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}}}$

: IT12.png (7.69 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές

Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 12.

Μέλη σε σύνδεση