IMC Stage-II 2016

[Filippos Athos]

Άσκηση 14: Όταν το διαιρεθεί με τους και , αφήνει υπόλοιπα και . Να βρεθεί ο ελάχιστους αριθμός με την ίδια ιδιότητα ο οποίος μπορεί να σχηματιστεί χρησιμοποιόντας τα ψηφία το πολύ μία φορά το κάθε ένα.

Μια επιστημονική : (Έχω και μπακαλίστικη...)

Έστω ο αριθμός . Άρα , από εκφώνηση έχω :





Άρα , έχω

Από αυτό , παίρνω την εξίσωση .

Επίσης , . Προφανής λύση .

Από γνωστό θεώρημα , παίρνω .

Άρα , .

Κάνουμε το ίδιο και για και βρίσκουμε ότι ο ελάχιστος αριθμός είναι

Για σου Νικόλα,
Εδώ που λες ` Από γνωστό θεώρημα`, μπορείς να με βοηθήσεις ποιο είναι και πως το εφαρμόζουμε. Ευχαριστώ!

[Τσιαλας Νικολαος]

Το θεώρημα θα το βρείς στο βιβλίο κατεύθυνσης της Β' λυκείου στο κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών

[Filippos Athos]

Το θεώρημα θα το βρείς στο βιβλίο κατεύθυνσης της Β' λυκείου στο κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών

Συγγνώμη είμαι Στ` τάξη. Μπορεί κάποιος να μου το εξηγήσει με απλό τρόπο;

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Συγγνώμη είμαι Στ` τάξη. Μπορεί κάποιος να μου το εξηγήσει με απλό τρόπο;

Γεια σου Φίλιππε!

Νόμισα πως ήσουν μεγαλύτερης ηλικίας . Λοιπόν , θα σ ' το εξηγήσω εγώ :

ΘΕΩΡΗΜΑ:

Έστω μια γραμμική διοφαντική εξίωση και ο ΜΚΔ των . Τότε :

Η εξίσωση (1) έχει λύση , αν και μόνο αν ο διαιρεί τον .

Αν , η εξίσωση (1) έχει άπειρες λύσεις , που δίνονται από τους τύπους :

όπου μια λύση της (1) .

Αν κάτι δεν κατάλαβες , μπορείς να ρωτήσεις .

Φιλικά ,

Νικόλας .

Υ.Γ. Μπράβο που ασχολείσαι από τέτοια ηλικία με τόσο προχωρημένα μαθηματικά ! Σου εύχομαι καλή πρόοδο και καλό διάβασμα !!!

[Demetres]

Άσκηση 14: Όταν το διαιρεθεί με τους και , αφήνει υπόλοιπα και . Να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός με την ίδια ιδιότητα ο οποίος μπορεί να σχηματιστεί χρησιμοποιώντας τα ψηφία το πολύ μία φορά το κάθε ένα.

Βάζω μια διαφορετική λύση.

Επειδή ο αριθμός αφήνει υπόλοιπο όταν διαιρεθεί με το , πρέπει να λήγει σε ή .
Επειδή ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του , πρέπει το άθροισμα τον ψηφίων του να είναι πολλαπλάσιο του .

Το άλλο κριτήριο που θα χρησιμοποιήσουμε λέει το εξής: Το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού όταν διαιρεθεί με το ισούται με το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το .

Π.χ. το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το ισούται με το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το .

Πρέπει λοιπόν, προσθαφαιρώντας τους να καταλήξουμε σε κάποιον από τους αριθμούς ή ακόμη και τους . Τα καθώς και τα είναι αδύνατον να εμφανιστούν αφού οι αριθμοί είναι πολύ μικροί.

Το εμφανίζεται μόνο ως ή .
Το εμφανίζεται μόνο ως .

To απορρίπτεται επειδή το άθροισμα των ψηφίων θα ισούται με που δεν είναι πολλαπλάσιο του .

Άρα:

Είτε θα χρησιμοποιήσουμε τους και στις περιττές θέσεις και ίσως τον οπουδήποτε.
Είτε θα χρησιμοποιήσουμε τον σε περιττή θέση, τους και σε άρτια θέση, και ίσως τον οπουδήποτε.

Λαμβάνοντας υπόψη και τις άλλες συνθήκες οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν όλες τις διαιρετότητες είναι οι

και .

Μικρότερος όλων είναι ο .

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Άσκηση 14: Όταν το διαιρεθεί με τους και , αφήνει υπόλοιπα και . Να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός με την ίδια ιδιότητα ο οποίος μπορεί να σχηματιστεί χρησιμοποιώντας τα ψηφία το πολύ μία φορά το κάθε ένα.

Βάζω μια διαφορετική λύση.

Επειδή ο αριθμός αφήνει υπόλοιπο όταν διαιρεθεί με το , πρέπει να λήγει σε ή .
Επειδή ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του , πρέπει το άθροισμα τον ψηφίων του να είναι πολλαπλάσιο του .

Το άλλο κριτήριο που θα χρησιμοποιήσουμε λέει το εξής: Το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού όταν διαιρεθεί με το ισούται με το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το .

Π.χ. το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το ισούται με το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το .

Πρέπει λοιπόν, προσθαφαιρώντας τους να καταλήξουμε σε κάποιον από τους αριθμούς ή ακόμη και τους . Τα καθώς και τα είναι αδύνατον να εμφανιστούν αφού οι αριθμοί είναι πολύ μικροί.

Το εμφανίζεται μόνο ως ή .
Το εμφανίζεται μόνο ως .

To απορρίπτεται επειδή το άθροισμα των ψηφίων θα ισούται με που δεν είναι πολλαπλάσιο του .

Άρα:

Είτε θα χρησιμοποιήσουμε τους και στις περιττές θέσεις και ίσως τον οπουδήποτε.
Είτε θα χρησιμοποιήσουμε τον σε περιττή θέση, τους και σε άρτια θέση, και ίσως τον οπουδήποτε.

Λαμβάνοντας υπόψη και τις άλλες συνθήκες οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν όλες τις διαιρετότητες είναι οι

και .

Μικρότερος όλων είναι ο .

Πολύ καλό!!!

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Άσκηση 14: Όταν το διαιρεθεί με τους και , αφήνει υπόλοιπα και . Να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός με την ίδια ιδιότητα ο οποίος μπορεί να σχηματιστεί χρησιμοποιώντας τα ψηφία το πολύ μία φορά το κάθε ένα.

Συμβολίζουμε με έναν τέτοιο αριθμό. Διαιρούμενος με 11 αφήνει υπόλοιπο 3, άρα αν τον αυξήσουμε κατά 8 θα είναι πολ.11,
ενώ διαιρούμενος με 5 θα αφήνει υπόλοιπο 4. Άρα



Προσθέτουμε κι άλλα 11, οπότε παραμένει πολλαπλάσιο του 11 και γίνεται και πολλαπλάσιο του 5, δηλαδή



Προσθέτουμε κι άλλα 55, οπότε παραμένει πολλαπλάσιο και του 5 και του 11, όμως


Βάζουμε κι άλλα 55 και φτάνουμε εκεί που θέλαμε:





Επομένως ο είναι ένα Κοινό Πολλαπλάσιο των
Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των είναι το

H πρώτη επιλογή είναι οπότε που απορρίπτεται.
H δεύτερη επιλογή είναι οπότε που είναι ο ζητούμενος αριθμός.