Θέμα Β

erxmer · #1

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f: R \to R$ , με σύνολο τιμών f(R)=R

για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{\lim_{t \to +\infty }\frac{f^3(x)t^2+3f(x)t\sqrt{t^2+1}}{t^2+2t+2}=x^3+4x+1, x \in R}$

1) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f^3(x)+3f(x)=x^3+4x+1}$

2) Να αποδείξετε ότι:

i) η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα.

ii) η

αντιστρέφεται και στη συνέχεια ότι αν η γραφική παράσταση της

βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=x

τότε η γραφική παράσταση της $f^{-1}$ βρίσκεται πάνω από την y=x

.

3) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός

με $a \in (-1,0)$ , τέτοιος ώστε f(a)=0

.

4) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $b \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{2f(b)=f(\frac{1}{2017})+f(\frac{1}{\pi})}$

5) Να υπολογίσετε τα όρια:

i) $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\frac{f(4)x^3-3x+5}{x^2-9}}$

ii) $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)}$

Παπαστεργίου Κώστας · #2

Έχει ενδιαφέρον από την εξής πλευρά: Η $f\left ( R \right )= R$ δεν χρειάζεται διότι συνεπάγεται από την 1 η οποία αποδεικνύεται χωρίς την $f\left ( R \right )= R$ .
Πράγματι η $x^{3}+4x+1$ καλύπτει όλο το

οπότε αν $a\epsilon R$ τότε $\exists$ $x\epsilon R$ με $x^{3}+4x+1$ = $a^{3}+3a$ $\Rightarrow f^{3}\left ( x \right )+3f\left ( x \right )=a^{3}+3a$ $\Rightarrow \left ( f\left ( x \right) \right-a )\left (f^{2}\left ( x \right ) \right \right+af\left ( x \right )+a^{2}+3 )= 0$ $\Rightarrow f\left ( x \right )= a$ διότι το τριώνυμο της δευτέρας παρενθέσεως έχει Δ < 0

#3

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f: R \to R$ , με σύνολο τιμών για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{\lim_{t \to +\infty }\frac{f^3(x)t^2+3f(x)t\sqrt{t^2+1}}{t^2+2t+2}=x^3+4x+1, x \in R}$

1) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f^3(x)+3f(x)=x^3+4x+1}$

2) Να αποδείξετε ότι:

i) η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

ii) η αντιστρέφεται και στη συνέχεια ότι αν η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από την ευθεία τότε η γραφική παράσταση της $f^{-1}$ βρίσκεται πάνω από την .

3) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός με $a \in (-1,0)$ , τέτοιος ώστε .

4) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $b \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{2f(b)=f(\frac{1}{2017})+f(\frac{1}{\pi})}$

5) Να υπολογίσετε τα όρια:

i) $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\frac{f(4)x^3-3x+5}{x^2-9}}$

ii) $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)}$

...μία λύση...

1) Είναι $\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{3}}(x){{t}^{2}}+3f(x)t\sqrt{{{t}^{2}}+1}}{{{t}^{2}}+2t+2}=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{3}}(x)+3f(x)\sqrt{1+\frac{1}{t}}}{1+\frac{2}{t}+\frac{2}{{{t}^{2}}}}={{f}^{3}}(x)+3f(x)$

επομένως είναι ${{f}^{3}}(x)=3f(x)={{x}^{3}}+4x+1,x\in R$

2) i) Αν $g(x)={{x}^{3}}+3x,\,\,x\in R$ η ισότητα γίνεται $g(f(x))={{x}^{3}}+4x+1,\,\,\,x\in R$ (1) και επειδή

${g}'(x)=3{{x}^{2}}+3>0,\,\,x\in R$ η

είναι γνήσια αύξουσα στο

και επειδή η $h(x)={{x}^{3}}+4x+1,\,\,\,x\in R$ έχει

${h}'(x)=3{{x}^{2}}+4>0,\,\,\,x\in R$ ,η

είναι γνήσια αύξουσα στο

και από (1) $g(f(x))=h(x),\,\,\,x\in R$ έχουμε

αν ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\overset{h\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,h({{x}_{1}})<h({{x}_{2}})\Rightarrow g(f({{x}_{1}}))<g(f({{x}_{2}}))\overset{g\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$

άρα η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο

ii) Επειδή

είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και '1-1'

άρα αντιστρέψιμη με ${{f}^{-1}}:f(R)\to R$ και λόγω υπόθεσης

f(R)=R

(…δεν ήταν απαραίτητο βέβαια να δοθεί αφού μπορεί να δειχθεί αυτό όπως το έκανε με ένα τρόπο ο Κώστας στο προηγούμενο post…)

${{f}^{-1}}:R\to R$ και αφού λόγω υπόθεσης $f(x)<x,\,\,\,x\in R$ θα ισχύει και $f(x)<f({{f}^{-1}}(x))\overset{f\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,\,x<{{f}^{-1}}(x),\,\,\,\,x\in R$

3) Είναι από $g(f(x))={{x}^{3}}+4x+1,\,\,\,x\in R$ ότι g(f(-1))=-4=g(-1)

και επειδή

είναι

έχουμε ότι f(-1)=-1<0

επίσης,

και επειδή $g(0)=0,\,\,g(1)=4$ και g(0)=0<1<g(1)=4

και

συνεχής από Θ.Ε.Τ. υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,1)$ ώστε

$g({{x}_{0}})=1$ άρα $g(f(0))=g({{x}_{0}})\Leftrightarrow f(0)={{x}_{0}}>0$ οπότε ισχύει f(-1)f(0)<0

και από θεώρημα Bolzano

υπάρχει $a \in (-1,0)$ , τέτοιος ώστε f(a)=0

που είναι μοναδικός λόγω μονοτονίας της

4) Είναι $\frac{1}{2017}<\frac{1}{\pi }\Rightarrow f(\frac{1}{2017})<f(\frac{1}{\pi })$ άρα $f(\frac{1}{2017})<\frac{f(\frac{1}{2017})+f(\frac{1}{\pi })}{2}<f(\frac{1}{\pi })$

και επειδή

είναι συνεχής από Θ.Ε.Τ. υπάρχει $b\in (\frac{1}{2017},\,\frac{1}{\pi })\subset (0,1)$

που $f(b)=\frac{f(\frac{1}{2017})+f(\frac{1}{\pi })}{2}$ που είναι μοναδικό λόγω μονοτονίας της

.

5) i) Επειδή $a<4\Rightarrow f(a)<f(4)\Rightarrow 0<f(4)$ και $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(4){{x}^{3}}-3x+5}{{{x}^{2}}-9}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(4){{x}^{3}}}{{{x}^{2}}}=-\infty$

ii) Επειδή η $g(x)={{x}^{3}}+3x,\,\,x\in R$

είναι γνήσια αύξουσα στο

, άρα και αντιστρέψιμη με

$g(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x))=(-\infty ,\,\,+\infty )=R$ από

$g(f(x))=h(x),\,\,\,x\in R$ έχουμε ότι $f(x)={{g}^{-1}}(h(x)),\,\,\,x\in R$ και

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{g}^{-1}}(h(x))\underset{\begin{smallmatrix} x\to -\infty \\ u\to -\infty \end{smallmatrix}}{\overset{u=h(x)}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{g}^{-1}}(u)=-\infty$ αφού

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{g}^{-1}}(g(x))=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x=-\infty$ οπότε

$\underset{u\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{g}^{-1}}(u)=-\infty$ με u=g(x)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Παπαστεργίου Κώστας · #4

Επί του θέματος έχω να πω ακόμη ότι ούτε η συνέχεια της f χρειάζεται παρ ότι μπορεί να αποδειχθεί από τη σχέση 1 η οποία προφανώς αποδεικνύεται μόνο από τη σχέση με το όριο. Συγκεκριμένα αυτό που θέλουμε είναι να μη χάνουμε ενδιάμεσες τιμές. Αυτό πράγματι ισχύει όπως θα δούμε αμέσως. Έστω λοιπόν ότι $f\left ( a \right )< c< f\left ( b \right ) \Rightarrow f^{3}\left ( a \right )< c^{3}<f^{3}\left ( b \right )$
Επίσης $f\left ( a \right )< c< f\left ( b \right ) \Rightarrow 3f\left ( a \right )< 3c<3f\left ( b \right )$ οπότε $f^{3}\left ( a \right )+3f\left ( a \right )< c^{3}+3c< f^{3}\left ( b \right )+3f\left ( b \right )$ . Όμως η $f^{3}\left ( x \right )+3f\left ( x \right )$ είναι συνεχής οπότε $\exists$ $y\epsilon \left ( ab \right )$ με $f^{3}\left ( y \right )+3f\left ( y \right ) = c^{3}+3c$ $\Rightarrow \left ( f\left ( y \right ) \right-c )\left (f^{2}\left ( y \right )+cf\left ( y \right )+c^{2}+3 \right )= 0 \Rightarrow f\left ( y \right )= c$ .
Έτσι εξασφαλίζεται το $f\left ( a \right )= 0$ και το $2f\left ( b \right )= f\left ( \frac{1}{2017} \right )+f\left ( \frac{1}{\pi } \right )$
Δε θέλω να κουράζω άλλο με τις μιζέριες μου. Κλείνοντας να πω ότι η συναρτησιακή σχέση δίνει τα πάντα σ αυτό το θέμα εύκολα χωρίς πολλές συνέχειες και παραγώγους. Ακόμη όποιος ενδιαφέρεται μπορεί να αποδείξει ότι μια συνάρτηση που δεν αφήνει ενδιάμεσες τιμές και κάθε τιμή της την παίρνει μία φορά είναι συνεχής. Η f πληροί αυτές τις προϋποθέσεις.

zorba_the_freak · #5

Επίσης να προσθέσω ότι η C_f

δεν είναι κάτω από την ευθεία y=x

σε όλο το $\mathbb{R}.$ Πράγματι, για κάθε $x\in\mathbb{R},$ έχουμε:

$\displaystyle (f^3(x)-x^3)+3(f(x)-x)=x+1\Rightarrow f(x)-x=\frac{x+1}{f^2(x)+xf(x)+x^2+3}$

Θέμα Β

Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Μέλη σε σύνδεση