Δεύτερη θέση!

[gbaloglou]

Διατηρεί ελπίδες πρόκρισης στα τελικά του Μουντιάλ 2018 η Εθνική Ελλάδος ... ύστερα από διάφορα ευνοϊκά αποτελέσματα της προτελευταίας αγωνιστικής των 9 Ευρωπαϊκών ομίλων: πάει σε αγώνα μπαράζ, έναν από τους τέσσερις στους οποίους θα συγκρουσθούν ανά ζεύγη οι 8 καλύτερες δεύτερες ομάδες^ χειρότερη δεύτερη των 9 ομίλων (και αποκλειόμενη) αναδείχθηκε η Σλοβακία με 18 βαθμούς, ενώ εμείς καταφέραμε να μαζέψουμε 19...

Τα παραπάνω δημιουργούν ένα ερώτημα: ποια η ελάχιστη δυνατή βαθμολογία για την δεύτερη θέση (σε όμιλο 6 ομάδων όπου όλοι παίζουν με όλους δύο φορές (από μία φορά στο γήπεδο κάθε ομάδας για κάθε ζεύγος), με 3 πόντους για νίκη, 1 για ισοπαλία, 0 για ήττα); Να είναι άραγε 18, ή κάτι λιγότερο;

[Για όσους το βρουν πολύ εύκολο ... βγαίνω στιγμιαία εκτός φακέλου και ερωτώ ... ποιος είναι ο αναμενόμενος (κατά την πιθανοθεωρητική έννοια, expected value) αριθμός πόντων της δεύτερης ομάδας; (...Πιθανολογώ ότι αυτό είναι ένα αρκετά δύσκολο πρόβλημα, και για τους γνώστες ακόμη!)]

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Γεια σου Γιώργο.
Χρειάζονται διευκρινήσεις.
Για το πρώτο .Να είναι καθαρά δεύτερη η μπορεί να έχουμε ισοβαθμίες;
Για το δεύτερο. Εχουμε την υπόθεση ότι σε όλους τους αγώνες είναι ισοπίθανα τα αποτελέσματα;

[gbaloglou]

Γεια σου Γιώργο.
Χρειάζονται διευκρινήσεις.
Για το πρώτο .Να είναι καθαρά δεύτερη η μπορεί να έχουμε ισοβαθμίες;
Για το δεύτερο. Εχουμε την υπόθεση ότι σε όλους τους αγώνες είναι ισοπίθανα τα αποτελέσματα;

Σταύρο ναι, μπορούμε να έχουμε ισοβαθμίες -- που μπορεί πάντως να σπάσουν λόγω της λεγόμενης διαφοράς τερμάτων

Και, ναι, υποθέτω ότι όλα τα αποτελέσματα θα πρέπει να θεωρηθούν ισοπίθανα...

[gbaloglou]

Για το δεύτερο. Εχουμε την υπόθεση ότι σε όλους τους αγώνες είναι ισοπίθανα τα αποτελέσματα;

Ναι ... και να διευκρινίσω, αν δεν είναι ξεκάθαρο από τις διατυπώσεις μου, ότι ΔΕΝ έχω λύση (για το δεύτερο, εκτός φακέλου, ερώτημα)!

[fmak65]

Καταρχήν για τυπικούς λόγους, οι βαθμοί που υπολογίζονται για την δεύτερη θέση είναι όλοι εκτός των αγώνων με τον τελευταίο της βαθμολογίας, δηλαδή στην προκείμενη περίπτωση , εκτός των βαθμών με το Γιβραλτάρ, δηλαδή 13 βαθμοί. Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχουν όμιλοι με 5 ομάδες οι οποίες προφανώς οι δεύτερες ομάδες της βαθμολογίας θα ήταν και αδικημένες λόγω των λιγότερων αγώνων που θα έδιναν.
Τώρα στο πρόβλημα που έθεσε ο Γιώργος, η λύση είναι η παρακάτω.
Προφανώς θέλουμε λιγότερους βαθμούς και επειδή δεν μας ενοχλεί πόσους έχει ο πρώτος της βαθμολογίας , έστω ότι έχει κερδίσει όλους τους αγώνες του, εντός και εκτός έδρα εκτός από εμάς μία φορά όπου θα φέρει ισοπαλία. άρα η συγκομιδή είναι 28 βαθμοί. Επειδή οι βαθμοί είναι 3 σε νίκη, από 1 σε ισοπαλία και 0 σε ήττα, μας συμφέρει να μοιραστούν οι λιγότεροι βαθμοί ανά αγώνα, γεγονός που συμβαίνει στην ισοπαλία όπου μοιράζονται 2 βαθμοί στον καθένα και όχι 3 + 0 σε νικητή και ηττημένο σε κάθε αγώνα που έχει νικητή.
Οι λιγότεροι βαθμοί που μπορούν να μοιραστούν είναι στους 20 αγώνες (όλοι οι υπόλοιποι εκτός του πρώτου μεταξύ τους) 40 βαθμοί, από όπου παίρνουμε εμείς τους 8 όπως και όλοι οι άλλοι.
Έχουμε και έναν βαθμό από την ισοπαλία με τον πρώτο άρα σύνολο 9 βαθμοί.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Αν ο πρώτος κάνει μόνο νίκες και όλοι οι άλλοι αγώνες είναι ισοπαλία τότε
εκτός του πρώτου όλοι θα έχουν από βαθμούς.
Δεν ξέρω αν τότε μπορούμε να έχουμε δεύτερο.
Σίγουρα μπορούμε να έχουμε δεύτερο με βαθμούς.
Ο πρώτος κάνει νίκες και μία ισοπαλία.
Οι άλλοι κάνουν μεταξύ τους ισοπαλίες.
Αυτός που έχει ισοπαλία με τον πρώτο θα έχει βαθμούς και όλοι οι άλλοι .
Θα είναι καθαρά δεύτερος με βαθμούς.

[fmak65]

Για να μην φανούν λίγο αναχρονιστικές οι αναρτήσεις (η δικιά μου με του Σταύρου) ανάρτησα εγώ μία λύση, η οποία δεν ήταν η βέλτιστη και ώσπου να την διορθώσω ανάρτησε και ο Σταύρος την ίδια σωστή λύση.

[gbaloglou]

Σταύρο και Φώτη καλημέρα,

η λύση που είχα κατά νου ήταν η ισοβαθμία 5 ομάδων με 8 βαθμούς (που μπορεί να επιλυθεί είτε μέσω διαφοράς τερμάτων* είτε μέσω κλήρωσης), με την πρώτη ομάδα στις 10 νίκες και στους 30 βαθμούς^ μου αρέσει όμως και η λύση που προτείνετε, με μία και μοναδική δεύτερη ομάδα στους 9 βαθμούς.

*διαφορά τερμάτων δεν μπορεί βέβαια να προκύψει από τις μεταξύ τους ισοπαλίες, μπορεί όμως να προκύψει από τις ήττες τους από την πρώτη ομάδα του ομίλου

[manos66]

Ο πρώτος κάνει μόνο νίκες.
Όλοι οι άλλοι μεταξύ τους ισοπαλίες. Έχουν από 8 βαθμούς.
Ο δεύτερος προκύπτει από τη διαφορά τερμάτων (αυτό καθορίζεται από τις ήττες με τον πρώτο) , έπειτα από την καλύτερη επίθεση, έπειτα από τα μεταξύ τους ματς (είναι όλα ισόπαλα) και τέλος με κλήρωση.
Άρα μπορεί να υπάρξει δεύτερος με 8 βαθμούς.
Και μπορεί να πάει στα μπαράζ, αν υπάρχει (υπάρχουν) κι άλλος δεύτερος με 8 βαθμούς και π.χ. χειρότερη επίθεση.

Βάζω μια ακόμη ερώτηση.
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμών βαθμών που μπορεί να συλλέξει ένας 2ος και να μην πάει στα μπαράζ;

[gbaloglou]

Βάζω μια ακόμη ερώτηση.
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμών βαθμών που μπορεί να συλλέξει ένας 2ος και να μην πάει στα μπαράζ;

27 ... υπό τον όρο ότι και στους 9 ομίλους οι δύο πρώτοι έχουν νικήσει όλους τους άλλους (24 βαθμοί) και έχουν νικήσει ο ένας τον άλλο (3 βαθμοί): υπάρχει τότε ισοβαθμία 9 δεύτερων ομάδων που σπάει είτε με διαφορά τερμάτων είτε με κλήρωση, και ο ένατος μένει έξω.

[gbaloglou]

Βάζω μια ακόμη ερώτηση.
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμών βαθμών που μπορεί να συλλέξει ένας 2ος και να μην πάει στα μπαράζ;

27 ... υπό τον όρο ότι και στους 9 ομίλους οι δύο πρώτοι έχουν νικήσει όλους τους άλλους (24 βαθμοί) και έχουν νικήσει ο ένας τον άλλο (3 βαθμοί): υπάρχει τότε ισοβαθμία 9 δεύτερων ομάδων που σπάει είτε με διαφορά τερμάτων είτε με κλήρωση, και ο ένατος μένει έξω.

Ας παρατηρηθεί εδώ ότι ... αν στους 8 ομίλους τα αποτελέσματα είναι όπως παραπάνω (ισοβαθμία πρώτου-δεύτερου στους 27 βαθμούς) ... αλλά στον 9ο όμιλο είχαμε νίκες των δύο πρώτων έναντι των υπολοίπων ΑΛΛΑ δύο ισοπαλίες μεταξύ τους ... τότε ο δεύτερος του 9ου ομίλου (επιλεγόμενος μέσω διαφοράς τερμάτων ή και κλήρωσης) αποκλείεται ξεκάθαρα με 26 βαθμούς (καθώς οι υπόλοιποι 8 δεύτεροι έχουν 27 βαθμούς) ... όντας ο μόνος αήττητος ανάμεσα στους 9 δεύτερους!