Μέγιστος λόγος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή το
viewtopic.php?f=181&t=60092
ας λυθεί γεωμετρικά το πρόβλημα.

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα

και ημιευθεια

ώστε $\angle BAx< \frac{\pi }{2}$

Να προσδιορισθεί σημείο

της

ώστε το

$\dfrac{MA}{MB}$

να γίνει μέγιστο

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 27, 2017 1:43 pm
Με αφορμή το
viewtopic.php?f=181&t=60092
ας λυθεί γεωμετρικά το πρόβλημα.

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα και ημιευθεια ώστε $\angle BAx< \frac{\pi }{2}$

Να προσδιορισθεί σημείο της ώστε το

$\dfrac{MA}{MB}$

να γίνει μέγιστο

: Max ratio.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Έστω ότι κατασκευάστηκε. Φέρνω τη διχοτόμο

του τριγώνου MAB

και έστω

η προβολή του

στην

.

Είναι $\displaystyle DB \ge DH$ με την ισότητα να ισχύει όταν τα σημεία H, B

ταυτιστούν, δηλαδή όταν $MB\bot AB.$

$\displaystyle \frac{1}{{DB}} \le \frac{1}{{DH}} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{DB}} \le \frac{{AD}}{{DH}} \Leftrightarrow \frac{{MA}}{{MB}} \le \frac{{AD}}{{DH}}$

Άρα το ζητούμενο σημείο

είναι το σημείο τομής της

με την κάθετη από το

στην

.

KARKAR · #3

: Μέγιστο λόγου.png (7.29 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Η "καλή" λύση αναπτύχθηκε ήδη . Ας δούμε και μία με μίζερη ανάλυση : Λόγω της οξείας

δουλεύω στο πρώτο τεταρτημόριο όπου όλα είναι θετικά . Το

έγινε

και η

έγινε η ημιευθεία y=mx,m>0

. Λοιπόν αρκεί να βρω το μέγιστο του $\dfrac{MO^2}{MA^2}$ .

Θεωρώ λοιπόν την $f(x)=\dfrac{(m^2+1)x^2}{(x-a)^2+m^2x^2}$ ,

με παράγωγο την $f'(x)=\dfrac{2a(m^2+1)x^2}{((x-a)^2+m^2x^2)^2}\cdot x(a-x)$ ,

η οποία δίνει μέγιστο για x=a

, το $\dfrac{m^2+1}{m^2}$ , άρα : $(\dfrac{MO}{MA})_{max}=\dfrac{\sqrt{m^2+1}}{m}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Να δώσω και την λύση μου που χρησιμοποιεί όμοια τρίγωνα .

Εστω

το σημείο όπου η κάθετος στο

στην

τέμνει την

.

Θα δείξουμε ότι το $\dfrac{PA}{PB}$ είναι η μέγιστη τιμή.

Εστω

σημείο της

. Φέρουμε την QQ'

κάθετη στην

.

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABP,AQQ'

έχουμε $\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{QA}{Q'Q}$

Λόγω καθέτου έχουμε $QB\geq QQ'$

Αρα $\dfrac{PA}{PB}\geq \dfrac{QA}{QB}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

KARKAR · #5

Αντίπαλος του "καλού" είναι το καλύτερο !

Μέγιστος λόγος

Μέγιστος λόγος

Re: Μέγιστος λόγος

Re: Μέγιστος λόγος

Re: Μέγιστος λόγος

Re: Μέγιστος λόγος

Μέλη σε σύνδεση