Άσκηση στα όρια (2)

#1

Έστω

τέσσερις συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το $\mathbb R.$ Να εξετάσετε αν είναι πάντα αληθής ο ισχυρισμός:

Αν $\rm (f(x)-g(x))(f(x)-h(x))(f(x)-r(x))=0$ για κάθε $x\in \mathbb R$ και $\displaystyle{\rm \lim_{x\to x_0}g(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=\lim_{x\to x_0}r(x)=+\infty}$ τότε $\displaystyle\rm \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty}$

Παραλλαγή άσκησης του Γιάννη Μπαϊλάκη

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Η άσκηση είναι διαισθητικά προφανής.
Δίνω την κανονική της λύση που φυσικά είναι εκτός φακέλου.

Από την δοσμένη σχέση θα ισχύει

$x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=g(x)\vee f(x)=h(x)\vee f(x)=r(x)$ (1)

Εστω $\epsilon > 0$

Από τον ορισμό του ορίου θα υπάρχουν
$\delta _{1}> 0$ ώστε $0< \left | x-x_{0} \right |< \delta _{1}\Rightarrow g(x)> \epsilon$
$\delta _{2}> 0$ ώστε $0< \left | x-x_{0} \right |< \delta _{2}\Rightarrow h(x)> \epsilon$
$\delta _{3}> 0$ ώστε $0< \left | x-x_{0} \right |< \delta _{3}\Rightarrow r(x)> \epsilon$

παίρνοντας $\delta =min(\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3})$

και λόγω της (1) οι προηγούμενες δίνουν.

$0< \left | x-x_{0} \right |< \delta \Rightarrow f(x)> \epsilon$

που δίνει το ζητούμενο.

Να σημειωθεί ότι τα ίδια ισχύουν αν $x_{0}\in \mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}$

και αντί $\infty$ είχαμε για όριο ένα στοιχείο του $\mathbb{R}\cup \left \{ -\infty \right \}$

Αναμένω την εντός φακέλου λύση.Υποθέτω ότι θα είναι με Αλγεβρική Ανάλυση.

#3

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 29, 2017 10:52 pm
Έστω τέσσερις συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το $\mathbb R.$ Να εξετάσετε αν είναι πάντα αληθής ο ισχυρισμός:

Αν για κάθε $x\in \mathbb R$ και $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}g(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=\lim_{x\to x_0}r(x)=+\infty}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty}$

Με χρήση του ορισμού:

Έστω M>0

. Από την υπόθεση για την

υπάρχει $\delta _g >0$ τέτοιο ώστε για κάθε

με $|x-x_o|<\delta _g$ ισχύει g(x)>M

. Όμοια υπάρχουν $\delta _h >0, \, \delta _r>0$ με την ανάλογη ιδιότητα.

Αν

με $|x-x_o|<\delta$ όπου $\delta = min ( \delta _g , \delta _h, \delta _r)$ τότε αφού το f(x)

ισούται (από την αρχική σχέση) με κάποιο από τα g(x), h(x), r(x)

(εξαρτάται από το

), θα είναι κατά μείζονα λόγο f(x) > M

. Από τον ορισμό, έπεται $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty}$ .

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος με την ίδια λύση. Το αφήνω για τον κόπο.

#4

Προφανώς $\rm f(x)\geq min \left \{ g(x),h(x),r(x) \right \}$

Όμως $\rm \displaystyle \lim_{x\to x_0} min \left \{ g(x),h(x),r(x) \right \}=+\infty$ όπως προκύπτει από την άσκηση 1 οπότε και $\rm \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty.$

Άσκηση στα όρια (2)

Άσκηση στα όρια (2)

Re: Άσκηση στα όρια (2)

Re: Άσκηση στα όρια (2)

Re: Άσκηση στα όρια (2)

Μέλη σε σύνδεση