ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

#1

...Καλημέρα

.....

Σίγουρα πρέπει να το έχουμε συζητήσει πάλι κάπου εδώ.....

Αν είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(\frac{1}{x})=\ell \in R$ τότε $u=\frac{1}{x},\,\,x\to +\infty ,\,\,u\to 0$ και $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ σωστό ή λάθος.

Γενικά αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=\ell \in R$ και u=g(x)

με $x\to +\infty ,\,\,u\to {{u}_{0}}$ τότε $\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ είναι σωστό η λάθος

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

NikosB · #2

Γιατί να είναι λάθος;

sov_arvyd · #3

Αντιπαράδειγμα: $f(x)=\left\{\begin{matrix}x ,x>0\\x-2 ,x<0\end{matrix}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Κυρ Δεκ 10, 2017 12:11 pm ...Καλημέρα .....

Σίγουρα πρέπει να το έχουμε συζητήσει πάλι κάπου εδώ.....

Αν είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(\frac{1}{x})=\ell \in R$ τότε $u=\frac{1}{x},\,\,x\to +\infty ,\,\,u\to 0$ και $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ σωστό ή λάθος.

Γενικά αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=\ell \in R$ και με $x\to +\infty ,\,\,u\to {{u}_{0}}$ τότε $\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ είναι σωστό η λάθος

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Δεν θα απαντήσω επί της ουσίας για να απαντήσουν τα νεότερα μέλη.

Απλά για το πρώτο ερώτημα θα ήταν πιο φυσιολογικό να ερωτηθεί το

$\lim_{u\rightarrow 0^{+}}f(u)=l$

Επίσης δεν νομίζω ότι το $l\in \mathbb{R}$
έχει κάποιο νόημα .

Θα μπορούσε να είναι $l\in \bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left \{ +\infty ,-\infty \right \}$

mikemoke · #5

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Κυρ Δεκ 10, 2017 12:11 pm ...Καλημέρα .....

Σίγουρα πρέπει να το έχουμε συζητήσει πάλι κάπου εδώ.....

Αν είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(\frac{1}{x})=\ell \in R$ τότε $u=\frac{1}{x},\,\,x\to +\infty ,\,\,u\to 0$ και $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ σωστό ή λάθος.

Γενικά αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=\ell \in R$ και με $x\to +\infty ,\,\,u\to {{u}_{0}}$ τότε $\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ είναι σωστό η λάθος

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Mπορεί να μην υπάρχει το $\lim_{x\to+\infty}g(x)$
Aν f(x)=c

και

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

mikemoke έγραψε: Κυρ Δεκ 10, 2017 3:29 pm
KAKABASBASILEIOS έγραψε: Κυρ Δεκ 10, 2017 12:11 pm ...Καλημέρα .....

Σίγουρα πρέπει να το έχουμε συζητήσει πάλι κάπου εδώ.....

Αν είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(\frac{1}{x})=\ell \in R$ τότε $u=\frac{1}{x},\,\,x\to +\infty ,\,\,u\to 0$ και $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ σωστό ή λάθος.

Γενικά αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=\ell \in R$ και με $x\to +\infty ,\,\,u\to {{u}_{0}}$ τότε $\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ είναι σωστό η λάθος

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Mπορεί να μην υπάρχει το $\lim_{x\to+\infty}g(x)$
Aν και

Το όριο υπάρχει.Είναι στις υποθέσεις.
Να το γράψω πιο αναλυτικά .

Αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=\ell \in R$

και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=u_ {0}$

ΤΟΤΕ
$\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$

mikemoke · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Δεκ 10, 2017 7:41 pm
mikemoke έγραψε: Κυρ Δεκ 10, 2017 3:29 pm
KAKABASBASILEIOS έγραψε: Κυρ Δεκ 10, 2017 12:11 pm ...Καλημέρα .....

Σίγουρα πρέπει να το έχουμε συζητήσει πάλι κάπου εδώ.....

Αν είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(\frac{1}{x})=\ell \in R$ τότε $u=\frac{1}{x},\,\,x\to +\infty ,\,\,u\to 0$ και $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ σωστό ή λάθος.

Γενικά αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=\ell \in R$ και με $x\to +\infty ,\,\,u\to {{u}_{0}}$ τότε $\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ είναι σωστό η λάθος

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Mπορεί να μην υπάρχει το $\lim_{x\to+\infty}g(x)$
Aν και
Το όριο υπάρχει.Είναι στις υποθέσεις.
Να το γράψω πιο αναλυτικά .

Αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=\ell \in R$

και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=u_ {0}$

ΤΟΤΕ
$\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$

Αν $\lim_{x\to\infty}g(x)=u_0\in \mathbb{R}$ τότε για να υπάρχει το $\lim_{u\to u_0}f(x)=l\in \mathbb{R}$ πρέπει να υπάρχουν και τα πλευρικά .Άρα για $x\rightarrow +\infty$ πρέπει η g(x)

να είναι επί του $A=(u_0-\epsilon ,u_0+\epsilon )$ .
Αλλιώς αν είναι επί του $(u_0 ,u_0+\epsilon )$ ή του $(u_0-\epsilon ,u_0 )$ , τότε σε κάθε περίπτωση υπάρχουν αντιπαραδείγματα.

Aν $\lim_{x\to\infty}g(x)=+\infty$ ή $\lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty$ τότε ικανοποιούνται οι συνθήκες

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Κυρ Δεκ 10, 2017 12:11 pm ...Καλημέρα .....

Σίγουρα πρέπει να το έχουμε συζητήσει πάλι κάπου εδώ.....

Αν είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(\frac{1}{x})=\ell \in R$ τότε $u=\frac{1}{x},\,\,x\to +\infty ,\,\,u\to 0$ και $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ σωστό ή λάθος.

Γενικά αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=\ell \in R$ και με $x\to +\infty ,\,\,u\to {{u}_{0}}$ τότε $\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ είναι σωστό η λάθος

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Το πρώτο έτσι όπως είναι ΛΑΘΟΣ.

Αρκεί να πάρουμε $f(x)=-1 ,x\leq 0\wedge f(x)=1,x> 0$

Το l=1

ενώ το $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$

δεν υπάρχει.

Αλλά είναι πάντα σωστό ότι $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=l$

Η απόδειξη γίνεται με τον ορισμό $\epsilon -\delta$ του ορίου.

Το δεύτερο είναι ΛΑΘΟΣ.

Το πιο εύκολο αντιπαράδειγμα που μπορώ να σκεφθώ είναι.

$f(x)=1 ,x\neq \frac{1}{n},n=1,2,3,...$

και $f(x)=2 ,x= \frac{1}{n},n=1,2,3,...$

$g(x)=\frac{1}{x},x\notin \mathbb{N}\wedge g(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}},x\in \mathbb{N}$

Εχουμε

$\lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=0$

ενώ f(g(x))=1

οπότε

και το $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$

δεν υπάρχει

οπότε l=1

Σταμ. Γλάρος · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Δεκ 11, 2017 7:46 pm
KAKABASBASILEIOS έγραψε: Κυρ Δεκ 10, 2017 12:11 pm ...Καλημέρα .....

Σίγουρα πρέπει να το έχουμε συζητήσει πάλι κάπου εδώ.....

Αν είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(\frac{1}{x})=\ell \in R$ τότε $u=\frac{1}{x},\,\,x\to +\infty ,\,\,u\to 0$ και $\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ σωστό ή λάθος.

Γενικά αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=\ell \in R$ και με $x\to +\infty ,\,\,u\to {{u}_{0}}$ τότε $\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(u)=\ell \in R$ είναι σωστό η λάθος

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Το πρώτο έτσι όπως είναι ΛΑΘΟΣ.

Αρκεί να πάρουμε $f(x)=-1 ,x\leq 0\wedge f(x)=1,x> 0$

Το ενώ το $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$

δεν υπάρχει.

Αλλά είναι πάντα σωστό ότι $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=l$

Η απόδειξη γίνεται με τον ορισμό $\epsilon -\delta$ του ορίου.

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα του

. Μια ερώτηση ...

Αφού το $x\rightarrow +\infty$ και επειδή $u=\frac{1}{x}>0$ δεν ισχύει ότι $u\rightarrow 0^{+}$ ;

Συνεπώς, όπως αναφέρει και ο Σταύρος παραπάνω , ο πρώτος ισχυρισμός του Βασίλη δεν είναι πάντα σωστός;

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#10

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα του . Μια ερώτηση ...

Αφού το $x\rightarrow +\infty$ και επειδή $u=\frac{1}{x}>0$ δεν ισχύει ότι $u\rightarrow 0^{+}$ ;

Συνεπώς, όπως αναφέρει και ο Σταύρος παραπάνω , ο πρώτος ισχυρισμός του Βασίλη δεν είναι πάντα σωστός;

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Καλημέρα !

Σταμάτη, η αντίστροφη πορεία θα ήταν η σωστή. Επομένως το α' ερώτημα είναι λάθος, όπως είπαν και οι συνάδελφοι , και θέλει ιδιαίτερη προσοχή ! Στην πραγματικότητα το $\frac {1}{x}>0$ περιοριορίζει τη μεταβλητή

δεξιά από το

και αυτό ακριβώς είναι που δημιουργεί το πρόβλημα.

Μπ

ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Μέλη σε σύνδεση