ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 78η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.

[Mihalis_Lambrou]

θεωρώ αν δεν μου διαφεύγει κάτι, ότι στην απόδειξη του βιβλίου αυτού υπάρχει ένα μικρό κενό, ... ότι τα δύο ύψη τριγώνου τέμνονται. Γιατί αν δεν είναι τότε κατά την άποψη μου η εκεί απόδειξη έχει σοβαρό βασικό μαθηματικό κενό.

Σωτήρη, ανοίγεις ένα πάρα πολύ ενδιαφέρον θέμα εδώ. Επιγραμματικά αλλά θα επανέλθω, το βαθύτερο ερώτημα που θέτεις είναι κατά πόσο το θεώρημα ότι τα ύψη συγκλίνουν ισχύει στην Υπερβολική Γεωμετρία. Το έχω ψάξει πολύ. Εκεί πάλι ισχύει το θεώρημα αλλά χρειάζεται μία μικρή προσθήκη. Συγκεκριμένα απoδεικνύεται ότι αν κάποια δύο ύψη τέμνονται, τότε όλα τέμνονται ανά δύο και μάλιστα στο ίδιο κοινό σημείο (ορθόκεντρο).

Έχω δει στην βιβλιογραφία ένα παράδειγμα στην Υπερβολική Γεωμετρία όπου οι δύο μεσοκάθετες ενός τριγώνου μπορεί να μην τέμνονται. Από αυτό κατασκευάζει κανείς τρίγωνο στο οποίο τα ύψη δεν τέμνονται καθόλου (δεν το έχω δει γραμμένο αλλά ξέρω ότι είναι γνωστό, πάντως έφτιαξα παράδειγμα βασιζόμενος σε αυτό). Αργότερα έφτιαξα και δικό μου παράδειγμα, καλύτερο από αυτό που διάβασα, για τις μεσοκαθέτους. Κάποτε θα το αναρτήσω: Με άλλα λόγια, υπάρχει τρίγωνο στην Υπερβολική Γεωμετρία όπου οι τρεις μεσοκάθετες είναι παράλληλες μεταξύ τους και, επίσης, υπάρχει τρίγωνο όπου τα τρία ύψη είναι παράλληλα μεταξύ τους!

Εάν εν τω μεταξύ κάποιος έχει παραπομπές ή ξέρει να μας διαφωτίσει στα ωραία αυτά χωράφια της Υπερβολικής Γεωμετρίας, θα χαρώ πολύ να τα δω.

Έρχομαι τώρα στο εξής σημείο:

Στην ημέτερη απόδειξη δεν έγινε χρήση του ότι δύο ύψη τριγώνου τέμνονται.

Σωτήρη, δεν αληθεύει αυτό. Όπως θα δούμε, το έχεις χρησιμοποιήσει κρυφά.

Ας πάρω τα πράγματα από την αρχή. Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι απλό να αποδειχθεί ότι το ύψος, ας το πούμε , τέμνει την απέναντι πλευρά και όλες τις ενδιάμεσες ευθείες εντός του τριγώνου, από το . Π.χ. τέμνει το ύψος , όπως χρησιμοποίησε η απόδειξη στο Ladies Diary.

Τώρα, με βάση το σχήμα σου, υποθέτεις ότι η κάθετος από το τέμνει την , σε σημείο που ονόμασες . Αυτό είναι ακριβώς ισοδύναμο με το γεγονός ότι το ύψος τέμνει το ύψος . Πράγματι, έστω ότι δεν το έτεμνε, δηλαδή ήταν . Όμως επειδή η είναι παράλληλη της (και οι δύο είναι κάθετες στην ) σημαίνει ότι είναι παράλληλη και προς την (που είναι παράλληλη της ). Άτοπο, αφού έχουν κοινό το σημείο .

Για να συνοψίσω, πιστεύω ότι οι δύο αποδείξεις είναι ουσιαστικά ίδιες, παρά τις (μικρο)διαφορές.

[Al.Koutsouridis]

Έχω δει στην βιβλιογραφία ένα παράδειγμα στην Υπερβολική Γεωμετρία όπου οι δύο μεσοκάθετες ενός τριγώνου μπορεί να μην τέμνονται. Από αυτό κατασκευάζει κανείς τρίγωνο στο οποίο τα ύψη δεν τέμνονται καθόλου (δεν το έχω δει γραμμένο αλλά ξέρω ότι είναι γνωστό, πάντως έφτιαξα παράδειγμα βασιζόμενος σε αυτό). Αργότερα έφτιαξα και δικό μου παράδειγμα, καλύτερο από αυτό που διάβασα, για τις μεσοκαθέτους. Κάποτε θα το αναρτήσω: Με άλλα λόγια, υπάρχει τρίγωνο στην Υπερβολική Γεωμετρία όπου οι τρεις μεσοκάθετες είναι παράλληλες μεταξύ τους και, επίσης, υπάρχει τρίγωνο όπου τα τρία ύψη είναι παράλληλα μεταξύ τους!

Εάν εν τω μεταξύ κάποιος έχει παραπομπές ή ξέρει να μας διαφωτίσει στα ωραία αυτά χωράφια της Υπερβολικής Γεωμετρίας, θα χαρώ πολύ να τα δω.

Καλησπέρα,

Δεν γνωρίζω υπερβολική γεωμετρία οπότε να διαφωτίσω δεν μπορώ σίγουρα. Αλλά καλό θα ήταν να αναφερθεί (η ορολογία μπορεί να μην ταυτίζεται με την ελληνική).

Υπάρχει ένα ενδιαφέρον βιβλίο (ηλεκτρονική 2 έκδοση) ονομάζεται "Γεωμετρία Λομπατσέβσκι" συγγραφέας Ατανασιάν. (Геометрия Лобачевского Л. С. Атанасян.—2-е, 2014). Στο βιβλίο αυτό προσεγγίζεται η υπερβολική γεωμετρία με βάση την σχολική γεωμετρία και τα "απόλυτα" αξιώματα και τα αξιώματα της υπερβολικής.

Στο κεφάλαιο 5ο (τρίγωνα και τετράπλευρα) στις σελίδες 174-178 εξετάζεται αν τα ύψη του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Αποδεικνύεται αρχικά το θεωρημα: " Οι τρεις ευθείες που είναι φορείς των υψών ενός τριγώνου, ανήκουν σε μια δέσμη(*) ευθειών. Εξάλλου αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο (ή ορθογώνιο), τότε τα ύψη τέμνονται σε ένα σημείο."

Παρακάτω δίνονται τρεις κατασκευές αμβλυγώνιων τριγώνων όπου το πρώτο έχει ύψη που είναι ασύμβατες ευθείες, το δεύτερο παράλληλες και το τρίτο τέμνονται σε ένα σημείο (μάλιστα άπειρα τέτοια τρίγωνα).

Τις επόμενες μέρες αν βρω λίγο χρόνο θα τις μεταφέρω, φαίνονται απλές.

(*) Η δέσμη μπορεί να είναι διερχόμενες από κοινό σημείο ευθείες, παράλληλες ή υπερπαράλληλες.

[S.E.Louridas]

Μιχάλη Καλημέρα.
Με την πρώτη ευκαιρία θα ήθελα ακριβώς να δω την εκεί απόδειξη πλήρως και σε κάποια φάση θα το επιχειρήσω. Όχι διότι με ενδιαφέρει αν υλοποιήθηκε το ενδεχόμενο να είναι ταυτόσημη λύση με την ημέτερη, αλλά έτσι φαίνεται και το όλο σκηνικό, όπως π.χ. η ιδέα εκκίνησης κτλ., αλλά και οι "λυτικές προθέσεις". Αν λοιπόν από το φέρω κάθετη στην και με βάση τα εργαλεία που σήμερα διαθέτουμε και επειδή η θεωρήθηκε οξεία, η κάθετη αυτή θα τμήσει την . Δηλαδή δεν υπάρχει σήμερα στα βιβλία Γεωμετρίας αποδεδειγμένη η βασική πρόταση: αν από σημείο ευθείας θεωρήσω κάθετη σε αυτή θα τμήσει κάθε πλάγια προς αυτή, ώστε να χρειαστεί να αποδειχτεί; Το λοιπόν το πήρα πάνω σε ευθεία και από εκεί έφερα κάθετες και δεν το θεώρησα σαν εκ των πρωτέρων τομή ευθειών κάτι που σήμερα θα μπορούσα να το κάνω, όμως τότε μάλλον το 1749 δεν θα μπορούσα. Το έκανα δε για να πάω στο "συντρέχον" από τη "πλάγια" οδό της ομοιότητας, δηλαδή διαπυστώνω το "συντρέχον" σε σχήμα άρα αντίστοιχα και σε κάθε ομοιό του, αυτή ήταν και η ιδέα μου ως λύτης. Γιατί δεν το θεώρησα αφού θα μπορούσα; Μα γιατί τότε θα έπεφτα σε χιλιοχρησιμοποιημένη πρόταση κάτι που δεν ήθελα ως λύτης. Αυτή η τομή θεωρήθηκε ως δεδομένη το 1749, χωρίς να γνωρίζω προσωπικά αν αποτελούσε δεδομένο, δηλαδή βασική πρόταση. Θεωρώ ότι αν χρησιμοποιείται δεδομένο που δεν υπάρχει ως αληθής πρόταση αυτό είναι μαθηματικό κενό, εκτός και αν δημιουργηθεί πριν τη λύση λήμμα. Τέλος πάντων αν βρω την απόδειξη του βιβλίου (λίγο δύσκολο αφού δεν το έχω, ... και ποιος θα μπορούσε να το έχει αν δεν υπήρχε ειδικό ενδιαφέρον) που αναφέρεις θα την καταθέσω πλήρως και επακριβώς, όχι προφανώς από ματαιοδοξία ή από εμμονή, αλλά μιας και το έφερε η κουβέντα για να δουν και οι άνθρωποι εδώ ανεπηρέαστοι οι ίδιοι την ομορφιά της σύγκρισης και των αποτελεσμάτων της, αφού όποια και αν είναι αυτά μόνο ουσιαστικό κέρδος μπορεί να προκύψει.

[Mihalis_Lambrou]

"Γεωμετρία Λομπατσέβσκι" συγγραφέας Ατανασιάν. (Геометрия Лобачевского Л. С. Атанасян.—2-е, 2014). Στο βιβλίο αυτό προσεγγίζεται η υπερβολική γεωμετρία με βάση την σχολική γεωμετρία και τα "απόλυτα" αξιώματα και τα αξιώματα της υπερβολικής.

Πάρα πολύ ενδιαφέρον.

Είχα κατά καιρούς ρωτήσει διάφορους Γεωμέτρες κατά πόσο υπάρχει βιβλίο Υπερβολικής Γεωμετρίας που προσεγγίζει την θεωρία με τεχνικές που έχουμε συνηθίσει στην Ευκλείδεια, αλλά δεν είχα πάρει ικανοποιητική απάντηση. Όλες οι Υπερβολικές Γεωμετρίες που έχω δει την προσεγγίζουν με τεχνικές της Ανάλυσης και επικεντρώνονται σε ιδιότητες της παραλληλίας και σε ιδιότητες σχετικές με την (υπερβολική) απόσταση σημείων. Όμως, επειδή υπάρχει το μοντέλο Poincare και το μοντέλο του ημιεπιπέδου (και τα δύο ευκλείδεια) μου ήταν σαφές ότι ολόκληρη η Υπερβολοκή Γεωμετρία μπορεί να μεταφερθεί σε μελέτη με γνώριμες τεχνικές από την στοιχειώδη κλασική Γεωμετρία. Είχα μάλιστα κάνει μερικές αποδείξεις γνωστών θεωρημάτων με αυτή την οπτική. Δεν αμφέβαλα ότι τέτοια βιβλία υπάρχουν και μάλιστα πολλά.

Ερώτημα προς όλους: Ποια βιβλία Υπερβολικής Γεωμετρίας έχετε υπόψη που είναι γραμμένα σε γλώσσα Δυτικής Ευρώπης (Αγγλικά, Γαλλικά, Γερμανικά), τα οποία μελετούν την θεωρία με τεχνικές της κλασικής;

Προφανώς η Γεωμετρία του Ατανασιάν παραπάνω είναι τέτοια οπτική και επίσης προφανώς εντάσσεται σε μία ολόκληρη παράδοση Υπερβολικών Γεωμετριών με την ίδια σκοπιά.

Ξέρω βιβλία όπως του Coxeter, Non-Euclidean Geometry, που προσεγγίζουν την Υπερβολική Γεωμετρία με τεχνικές της Προβολικής Γεωμετρίας. Στο παραπάνω ερώτημα δεν εννοώ τέτοιες.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Καλημέρα Μιχάλη.
Υπάρχει ένα βιβλίο στα Ελληνικά στο οποίο σε μεγάλο μέρος ασχολείται με τέτοια θέματα.
Το είχα διαβάσει όταν ήμουν μαθητής.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΜΠΑΤΣΕΦΣΚΥ
ΣΤΕΛΙΟΥ Η. ΠΑΠΑΦΛΩΡΑΤΟΥ
ΑΘΗΝΑ 1973.

[Mihalis_Lambrou]

Καλημέρα Μιχάλη.
Υπάρχει ένα βιβλίο στα Ελληνικά στο οποίο σε μεγάλο μέρος ασχολείται με τέτοια θέματα.
Το είχα διαβάσει όταν ήμουν μαθητής.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΜΠΑΤΣΕΦΣΚΥ
ΣΤΕΛΙΟΥ Η. ΠΑΠΑΦΛΩΡΑΤΟΥ
ΑΘΗΝΑ 1973.

Σταύρο, ευχαριστώώώώώ.

Ψάχνω εις τας Εσπερίας αλλά ο καρπός υπάρχει ήδη στον κήπο μας.

Με την ευκαιρία:

Διαβάζει το παραπάνω και το παρόν ποστ ο γιος του συγγραφέα, Ηλίας Παπαφλωράτος; Τον ξέρει κανείς από τους υπόλοιπους αναγνώστες μας; Θα ήταν συγκινητικό να δούμε ορισμένα στοιχεία για την πορεία του Μαθηματικού πατέρα του, ο οποίος φαίνεται να ήταν μπροστά από την εποχή του.

[ΝΙΚΟΣ]

[b]Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 296, την 73η πρωτοεμφανιζόμενη εδώ απόδειξη, που αποτελεί και την 47 απόδειξη δικής μου επινόησης.

Έτσι αισίως, στο κυνήγι των νέων αποδείξεων αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την 74η απόδειξη και προσωπικά αναζητώ την 48η.

[u]Σημειώσεις[/u].
(α). Μετά και την παραπάνω απλή απόδειξη βγαίνει το συμπέρασμα ότι είναι δυνατή η επινόηση και πολλών άλλων αποδείξεων και μάλιστα απλών, για την Πρόταση 1β(4). Σας καλώ λοιπόν σε μια νέα προσπάθεια για την επίτευξη, προς το παρόν, της 74ης πρωτοεμφανιζόμενης απόδειξης.
(β). Αποδείξαμε παραπάνω ότι η Πρόταση 1β(4), αληθεύει για οξυγώνιο τρίγωνο, οπότε σύμφωνα με την ενιαία απόδειξή της, που έχουμε επισυνάψει στον 28 τρόπο απόδειξης, αυτή θα αληθεύει και για αμβλυγώνια τρίγωνα.
[u]Συνεπώς, για κάθε νέα απόδειξη της Πρότασης αυτής, δεν είναι αναγκαίο να συνοδεύεται η απόδειξη αυτής και για αμβλυγώνιο τρίγωνο. Αρκεί μόνο για οξυγώνιο.[/u]

Ευχές, για πολλές και κομψές νέες αποδείξεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.[/b]

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Καλημέρα Μιχάλη.
Υπάρχει ένα βιβλίο στα Ελληνικά στο οποίο σε μεγάλο μέρος ασχολείται με τέτοια θέματα.
Το είχα διαβάσει όταν ήμουν μαθητής.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΜΠΑΤΣΕΦΣΚΥ
ΣΤΕΛΙΟΥ Η. ΠΑΠΑΦΛΩΡΑΤΟΥ
ΑΘΗΝΑ 1973.

Σταύρο, ευχαριστώώώώώ.

Ψάχνω εις τας Εσπερίας αλλά ο καρπός υπάρχει ήδη στον κήπο μας.

Με την ευκαιρία:

Διαβάζει το παραπάνω και το παρόν ποστ ο γιος του συγγραφέα, Ηλίας Παπαφλωράτος; Τον ξέρει κανείς από τους υπόλοιπους αναγνώστες μας; Θα ήταν συγκινητικό να δούμε ορισμένα στοιχεία για την πορεία του Μαθηματικού πατέρα του, ο οποίος φαίνεται να ήταν μπροστά από την εποχή του.

Γεια σου Μιχάλη. Δεν ξέρω αν το γνωρίζεις αλλά υλικό για μη Ευκλείδιες Γεωμετρίες στα Ελληνικά υπάρχει στο

https://parmenides52.blogspot.gr/p/non- ... try_7.html

[grigkost]

...
Ερώτημα προς όλους: Ποια βιβλία Υπερβολικής Γεωμετρίας έχετε υπόψη που είναι γραμμένα σε γλώσσα Δυτικής Ευρώπης (Αγγλικά, Γαλλικά, Γερμανικά), τα οποία μελετούν την θεωρία με τεχνικές της κλασικής; ...

κ. Λάμπρου, εντελώς τυχαία(*) διάβασα την ερώτησή σας.

Ένα καλογραμμένο βιβλίο είναι
M. J. Greenberg
Euclidean and Non-Euclidean Geometries-Development and History.


(*) Δεν ήταν και ο καλύτερος "τόπος" να το ρωτήσετε!

[S.E.Louridas]

Ας μου επιτραπεί να καταθέσω και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί (ας πούμε ένα "είδος κατσκευαστικής απόδειξης") με την ελπίδα ... :

Σε ορθογώνιο τρίγωνο τα πράγματα είναι προφανή.
Έστω λοιπόν οξυγώνιο τρίγωνο Θεωρούμε (πέραν αυτού) ευθεία και σημείο της . Θεωρούμε ημιευθεία τέτοια που και εσωτερική της ημιευθεία τέτοια που και Θεωρούμε τυχόν σημείο της ημιευθείας και ευθύγραμμο τμήμα με Από το θεωρούμε παράλληλη στην που τέμνει την στο και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο Έστω τότε Θεωρούμε από το κάθετη στην ημιευθεία που την τέμνει στο και τέμνει την στο . Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα προκύπτει ότι και επομένως Τελικά τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν και βέβαια το τρίγωνο είναι ίσο με το τρίγωνο , άρα και τα ύψη του θα συντρέχουν. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο εργαζόμαστε ομοίως.

Ν.Κ..png (10.99 KiB) Προβλήθηκε 7540 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Ας μου επιτραπεί να καταθέσω και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί (ας πούμε ένα "είδος κατσκευαστικής απόδειξης") με την ελπίδα ... :

Σε ορθογώνιο τρίγωνο τα πράγματα είναι προφανή.
Έστω λοιπόν οξυγώνιο τρίγωνο Θεωρούμε (πέραν αυτού) ευθεία και σημείο της . Θεωρούμε ημιευθεία τέτοια που και εσωτερική της ημιευθεία τέτοια που και Θεωρούμε τυχόν σημείο της ημιευθείας και ευθύγραμμο τμήμα με Από το θεωρούμε παράλληλη στην που τέμνει την στο και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο Έστω τότε Θεωρούμε από το κάθετη στην ημιευθεία που την τέμνει στο και τέμνει την στο . Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα προκύπτει ότι και επομένως Τελικά τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν και βέβαια το τρίγωνο είναι ίσο με το τρίγωνο , άρα και τα ύψη του θα συντρέχουν. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο εργαζόμαστε ομοίως.Ν.Κ..png

Αγαπητέ Σωτήρη,
σε ευχαριστώ πολύ για τη νέα συμμετοχή σου, σε αυτή εδώ την παλαιότερη προσπάθειά μου.

Η παραπάνω απόδειξή σου, εκ πρώτης όψεως, φαίνεται ότι είναι νέα, για την εργασία αυτή εδώ και σωστή.
Όμως για να πάρω οριστική θέση, θέλω λίγο χρόνο να το ερευνήσω καλύτερα (σύγκριση με εβδομήντα τρεις άλλες αποδείξεις) και γιατί θα απουσιάσω για ένα εικοσαήμερο.

Και πάλι σε ευχαριστώ πολύ.
Ευχές για καλό Καλοκαίρι.


Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Ας μου επιτραπεί να καταθέσω και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί (ας πούμε ένα "είδος κατσκευαστικής απόδειξης") με την ελπίδα ... :

Σε ορθογώνιο τρίγωνο τα πράγματα είναι προφανή.
Έστω λοιπόν οξυγώνιο τρίγωνο Θεωρούμε (πέραν αυτού) ευθεία και σημείο της . Θεωρούμε ημιευθεία τέτοια που και εσωτερική της ημιευθεία τέτοια που και Θεωρούμε τυχόν σημείο της ημιευθείας και ευθύγραμμο τμήμα με Από το θεωρούμε παράλληλη στην που τέμνει την στο και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο Έστω τότε Θεωρούμε από το κάθετη στην ημιευθεία που την τέμνει στο και τέμνει την στο . Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα προκύπτει ότι και επομένως Τελικά τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν και βέβαια το τρίγωνο είναι ίσο με το τρίγωνο , άρα και τα ύψη του θα συντρέχουν. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο εργαζόμαστε ομοίως.Ν.Κ..png

Αγαπητέ Σωτήρη, ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
Είναι γεγονός ότι με την παραπάνω πρωτοποριακή απόδειξή σου (με κατασκευή), έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την 74η πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη.

Σε ευχαριστούμε πολύ και πάλι, για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μας, την συμμετοχή σου εδώ και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας.

Μετά και την παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας με το κυνήγι για την 75η απόδειξη, ενώ προσωπικά αναζητώ την 48η.

Σχόλια.
1. Παρά την αποδοχή μου ότι η παραπάνω απόδειξη είναι σωστή, εντούτοις θεωρώ ότι η απόδειξη αυτή, αλλά και η προηγούμενη του Σωτήρη, στηρίζονται σε δύο Προτάσεις, οι αποδείξεις των οποίων δεν είναι γνωστές, ούτε αυτονόητες.
Συγκεκριμένα, οι αποδείξεις αυτές στηρίζονται στις δύο παρακάτω προτάσεις:
«Τα ύψη των ίσων και των όμοιων τριγώνων συντρέχουν».

Είναι γνωστό ότι τα ίσα τρίγωνα έχουν ίσα τα αντίστοιχα ευθύγραμμα τμήματά τους και ίσες τις αντίστοιχες γωνίες τους, ενώ τα όμοια τρίγωνα έχουν ανάλογα τα αντίστοιχα ευθύγραμμα τμήματά τους και ίσες τις αντίστοιχες γωνίες τους. Όμως από την ισότητα ή την ομοιότητα των τριγώνων, δεν προκύπτει άμεσα και η σύγκλιση τριών ή περισσότερων αντιστοίχων τμημάτων τους, όπως πχ των υψών, των διαμέσων, των μεσοκαθέτων, των συμμετροδιαμέσων, κτλ.

Έγιναν όμως αποδεκτές γιατί εύκολα αποδεικνύονται αυτές πχ με εφαρμογή του Θεωρήματος Ceva, καθώς τα αντίστοιχα τμήματα των πλευρών των ίσων τριγώνων, που προκύπτουν από τα ίχνη των υψών των τριγώνων , είναι ίσα, ενώ τα ίδια τμήματα των όμοιων τριγώνων, είναι ανάλογα.


2. Επίσης, απλά θέλω να κάνω γνωστό στους φίλους της Γεωμετρίας, ότι τέσσερις ακόμη νέες αποδείξεις έχω επινοήσει πρόσφατα, τις οποίες θα αναρτήσω πολύ αργότερα όταν βρω χρόνο, καθώς τώρα ασχολούμαι με την μετάφραση του βιβλίου μου «Αρμονική Γεωμετρία» στα Αγγλικά και όχι μόνο.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[S.E.Louridas]

Καταρχάς αλλά και καταρχήν ευχαριστώ τον Νίκο για την εκπεφρασμένη εκτίμηση του στο πρόσωπό μου. Πράγματι στηρίχτηκα αυστηρά στην εξής πρόταση:

"Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα ή όμοια και τα ύψη του ενός συντρέχουν, τότε θα συντρέχουν και τα ύψη του άλλου."

Προφανώς αρκεί να αποδειχτεί η πρόταση στη περίπτωση της ομοιότητας.

[S.E.Louridas]

Επανέρχομαι για μία διαπραγμάτευση, με όσο το δυνατό στοιχειώδη τρόπο, της πρότασης:

"Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια και τα ύψη του ενός συντρέχουν, τότε θα συντρέχουν και τα ύψη του άλλου."

Έστω τρίγωνο που τα ύψη του συντρέχουν στο και το τρίγωνο όμοιο με το τρίγωνο
για το οποίο θα αποδείξουμε ότι τα ύψη του επίσης συντρέχουν.
Προφανώς ισχύει Επί της θεωρούμε σημείο , τέτοιο πού
Τότε τα τρίγωνα είναι όμοια, επομένως δηλαδή το είναι
ύψος του τριγώνου . Θεωρούμε σημείο του ύψους , τέτοιο ώστε
Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, οπότε παίρνουμε
και επειδή θα έχουμε Όμοια προκύπτει ότι

Ν.Κ..png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 7333 φορές

Σχόλιο: Προφανώς το πρόβλημα αυτό επιλύεται και με το θεώρημα του Ceva, όπως πολύ σωστά αντιλήφθηκε ο Νίκος Κυριαζής, αλλά καθαρά και μόνο για λόγους πλουραλισμού καταθέσαμε και την συγκεκριμένη διαπραγμάτευση

[ΝΙΚΟΣ]

Επανέρχομαι για μία διαπραγμάτευση, με όσο το δυνατό στοιχειώδη τρόπο, της πρότασης:

"Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια και τα ύψη του ενός συντρέχουν, τότε θα συντρέχουν και τα ύψη του άλλου."

Έστω τρίγωνο που τα ύψη του συντρέχουν στο και το τρίγωνο όμοιο με το τρίγωνο
για το οποίο θα αποδείξουμε ότι τα ύψη του επίσης συντρέχουν.
Προφανώς ισχύει Επί της θεωρούμε σημείο , τέτοιο πού
Τότε τα τρίγωνα είναι όμοια, επομένως δηλαδή το είναι
ύψος του τριγώνου . Θεωρούμε σημείο του ύψους , τέτοιο ώστε
Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, οπότε παίρνουμε
και επειδή θα έχουμε Όμοια προκύπτει ότι Ν.Κ..png

Σχόλιο: Προφανώς το πρόβλημα αυτό επιλύεται και με το θεώρημα του Ceva, όπως πολύ σωστά αντιλήφθηκε ο Νίκος Κυριαζής, αλλά καθαρά και μόνο για λόγους πλουραλισμού καταθέσαμε και την συγκεκριμένη διαπραγμάτευση

Ευχαριστούμε το φίλο Σωτήρη, για τον κόπο που έκανε για την παραπάνω σωστή απόδειξή του λήμματος, στο οποίο στηρίχθηκαν οι δύο παραπάνω αποδείξεις του.

Έτσι τώρα έχουμε πληρότητα και των δύο αποδείξεών του.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[gbaloglou]

Νίκο καλημέρα,

στα πλαίσια πρόσφατης συζήτησης προέκυψε η εξής απόδειξη για την περίπτωση μη ισοπλεύρου τριγώνου : αν και , είναι οι μοναδικοί ίσοι κύκλοι διερχόμενοι δια των και , αντίστοιχα, με διάκεντρο παράλληλη προς την , και αν είναι το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων, τότε οι είναι κάθετοι στις , αντίστοιχα.

Είμαι βεβαίως αυτός που πρότεινε -- και απέδειξε με χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας -- ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το ορθόκεντρο, όμως η αρχική θεώρηση των δύο ίσων κύκλων με διάκεντρο παράλληλη προς την βάση οφείλεται στον Θανάση Καραντάνα (KARKAR), που ζήτησε να αποδειχθεί ότι η διάκεντρος είναι επίσης ίση προς την βάση. Ευκλείδεια απόδειξη για το ορθόκεντρο δόθηκε από τον Νίκο Φραγκάκη (doloros), που έδωσε επίσης γεωμετρική κατασκευή των δύο ίσων κύκλων. (Γεωμετρικές κατασκευές έδωσαν επίσης ο Διονύσιος Αδαμόπουλος και ο Κώστας Βήττας.) Λεπτομέρειες εδώ.

[ΝΙΚΟΣ]

Γιώργο Καλημέρα.

Προφανώς το ερώτημά σου είναι αν, από όλα αυτά που μου γράφεις και έχετε συζητήσει στο mathematica, μπορεί να προκύψει μία νέα απόδειξη για το Θεώρημα της σύγκλησης των υψών τριγώνου.

Εκ πρώτης όψεως, φαίνεται ότι τούτο είναι δυνατό να γίνει, με την προϋπόθεση ότι:
α. Οι δύο μοναδικοί κύκλοι και , είναι δυνατό να κατασκευασθούν.
β. Αν πράγματι το δεύτερο σημείο Α′ τομής των κύκλων και , είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Δεν αμφιβάλω καθόλου ότι, οι δύο κύκλοι αυτοί, αποδείχθηκε ότι κατασκευάζονται και ότι το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου , καθώς τα έχουν αποδείξει άξιοι Γεωμέτρες. Επιβάλλεται όμως να μελετήσω την συζήτηση που έχετε κάνει, για να διαπιστώσω αν οι δύο παραπάνω αποδείξεις που έχουν γίνει, έγιναν με την προϋπόθεση ότι υπάρχει το ορθόκεντρο και έχουν στηριχθεί σε αυτό ή όχι.

Τούτο όμως θέλει χρόνο, που δεν τον διαθέτω τώρα, καθώς έχω ανοίξει μια πολύ μεγάλη αλληλογραφία με τη mediterra (κ. Μαλλιάγκα), με επιδίωξη, το βιβλίο μου «Αρμονική Γεωμετρία», η οποία έχει μεταφραστεί στα Αγγλικά, να δημοσιευτεί δια της Άμαζον σε έντυπη και ψηφιακή μορφή, για το οποίο υπήρξαν πολλές δυσκολίες, λόγω του όγκου του και επειδή είναι έγχρωμο (Θα τα πούμε από κοντά, όταν έχεις χρόνο ).

Επίσης απαιτείται και πολύς χρόνος για να συγκρίνω την προτεινόμενη απόδειξη με τις άλλες , που είναι σκόρπιες, μήπως κάποια απ’ αυτές συμπίπτει με την παραπάνω προτεινόμενη.

Επειδή η ιστορία αυτή και κάποια άλλα επείγοντα θέματα που με απασχολούν βρίσκονται προς το τέλος τους, πιστεύω ότι σύντομα θα μου δοθεί η ευκαιρία να ασχοληθώ και με το θέμα αυτό.
Αρκεί να σου πω ότι για το Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου έχω επιτύχει και άλλους τέσσερις νέους τρόπους απόδειξής του, από το καλοκαίρι, όπως γράφω και στα προηγούμενα και όμως μέχρι τώρα δε μπόρεσα να τους αναρτήσω εδώ.

Το ίδιο μου συμβαίνει και με δύο προβλήματα του θέματος που έχουμε συζητήσει στο mathematica, για τις αυτόματες τριχοτομήσεις γωνιών.

Είναι φανερό ότι αν τελικά δοθεί απόδειξη του Θεωρήματος της σύγκλισης των υψών τριγώνου, στηριζόμενη στα δύο παραπάνω λήμματα, αυτή θα είναι μακροσκελής.

Είναι γνωστό ότι τότε και ο κύκλος ή , είναι ίσος με τους και , καθώς το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και ότι και . Επίσης είναι γνωστό ότι οι τρεις κύκλοι αυτοί είναι ίσοι με τον κύκλο .

Τέλος εκτιμώ ότι η κατασκευή των κύκλων και , που προτείνει ο φίλος KARKAR, μπορεί να γίνει εύκολα, αν στο τρίγωνο . ορισθεί το ορθόκεντρό του και γράψουμε τους κύκλους , , , που είναι γνωστό (Μεθοδική Γεωμετρία των Γεωργιακάκη, Θεώρημα και Πόρισμα ) και εύκολα αποδεικνύεται, ότι οι τρεις κύκλοι αυτοί είναι ίσοι με τον κύκλο . και , και . Συνεπώς οι ζητούμενοι δύο ίσοι κύκλοι είναι οι και , οι οποίοι έχουν και .
(Γιώργο την απόδειξη αυτή, αν το θεωρείς σκόπιμο, ανάρτησέ τη και στην θέση που έχετε συζητήσει το πρόβλημα που έχει προτείνει ο φίλος KARKAR. Προφανώς όμως στην απόδειξη αυτή δεν μπορεί να στηριχθεί η απόδειξη του Θεωρήματος της σύγκλισης των υψών τριγώνου).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[gbaloglou]

Αγαπητέ Νίκο χαίρομαι κατ' αρχήν για τα ευχάριστα νέα της "Αρμονικής Γεωμετρίας", φυσικά θα τα πούμε και από κοντά. Σ' ευχαριστώ επίσης για την εμπεριστατωμένη απάντηση και την αναφορά στην "Μεθοδική Γεωμετρία" των Γ. & Π. Γεωργιακάκη: μου είναι δύσκολο να φανταστώ, από την στιγμή που είναι γνωστή η πρόταση που πρότεινε ο KARKAR, ότι δεν είναι γνωστή και η αντίστροφη της (δηλαδή η απόδειξη σύγκλισης υψών που πρότεινα)^ αν όμως δεν αναφέρεται κάπου, τότε θεωρώ ότι είναι αποδεκτή ως νέα (75η) απόδειξη, μια και, πέραν της αναλυτικής προσέγγισης μου, έχουμε την έγκυρη κατασκευή των δύο ίσων κύκλων (εδώ) από τον Νίκο Φραγκάκη (doloros) και την έγκυρη απόδειξη ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων είναι το ορθόκεντρο (εδώ), και πάλι από τον Νίκο Φραγκάκη (doloros). (Θεωρώ ότι δεν υπάρχει φαύλος κύκλος σ' αυτές τις απλές αποδείξεις του Νίκου^ το πολύ που θα μπορούσε να του προσάψει κάποιος είναι ότι χρησιμοποιεί την κατασκευή του (των δύο ίσων κύκλων) για να αποδείξει το ζητούμενο (ότι δηλαδή το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων είναι το ορθόκεντρο), κάτι που για μένα δεν αποτελεί πρόβλημα.)

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητέ Νίκο χαίρομαι κατ' αρχήν για τα ευχάριστα νέα της "Αρμονικής Γεωμετρίας", φυσικά θα τα πούμε και από κοντά. Σ' ευχαριστώ επίσης για την εμπεριστατωμένη απάντηση και την αναφορά στην "Μεθοδική Γεωμετρία" των Γ. & Π. Γεωργιακάκη: μου είναι δύσκολο να φανταστώ, από την στιγμή που είναι γνωστή η πρόταση που πρότεινε ο KARKAR, ότι δεν είναι γνωστή και η αντίστροφη της (δηλαδή η απόδειξη σύγκλισης υψών που πρότεινα)^ αν όμως δεν αναφέρεται κάπου, τότε θεωρώ ότι είναι αποδεκτή ως νέα (75η) απόδειξη, μια και, πέραν της αναλυτικής προσέγγισης μου, έχουμε την έγκυρη κατασκευή των δύο ίσων κύκλων (εδώ) από τον Νίκο Φραγκάκη (doloros) και την έγκυρη απόδειξη ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων είναι το ορθόκεντρο (εδώ), και πάλι από τον Νίκο Φραγκάκη (doloros). (Θεωρώ ότι δεν υπάρχει φαύλος κύκλος σ' αυτές τις απλές αποδείξεις του Νίκου^ το πολύ που θα μπορούσε να του προσάψει κάποιος είναι ότι χρησιμοποιεί την κατασκευή του (των δύο ίσων κύκλων) για να αποδείξει το ζητούμενο (ότι δηλαδή το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων είναι το ορθόκεντρο), κάτι που για μένα δεν αποτελεί πρόβλημα.)

Αγαπητέ Γιώργο.
σε ευχαριστώ πολύ για το έμπρακτο ενδιαφέρον σου, για την προσφορά σου εδώ με δύο νέων παλαιοτέρων σχετικών αποδείξεών σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου εδώ, την σωστή και ωραία απόδειξη σου, που πρότεινες (εδώ), βασιζόμενη στην κατασκευή δύο ίσων κύκλων με διάκεντρο ίση και παράλληλη σε μια πλευρά δοσμένου τριγώνου κτλ και στην απόδειξη της Πρότασης ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων αυτών, είναι το ορθόκεντρο του παραπάνω δοσμένου τριγώνου, καθώς αποδεικνύεται ότι τα τρία ύψη του τριγώνου αυτού, περνούν από την τομή αυτή.

Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου αυτή, τυχαίνει να συμπίπτει με τον τρόπο απόδειξής δικής μου επινόησης, που έχει αναρτηθεί παραπάνω με το συνημμένο μου , τον Απρίλιο του και ώρα μ.μ και την οποία επαναφέρω παρακάτω με το .συνημμένο μου . Ακόμη αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στον τόμο , παράγραφος .

Μετά τα παραπάνω, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας όλοι μαζί με το κυνήγι της ης απόδειξης, ενώ προσωπικά αναζητώ την η απόδειξη.

Σχόλια.
α. Την σχετική σύγκριση, με τις νέες αποδείξεις, της παραπάνω προτεινόμενης απόδειξης από τον Γιώργο, έγινε το τελευταίο τετραήμερο, που μου δόθηκε ευκαιρία.
β. Η παραπάνω απόδειξή μου του συνημμένου μου , είναι ενσωματωμένα, η κατασκευή των δύο ίσων με τις σχετικές ιδιότητές τους και η απόδειξη της Πρότασης ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το ορθόκεντρο του δοσμένου τριγώνου, καθώς και εκεί αποδεικνύεται ότι τα τρία ύψη του τριγώνου αυτού, περνούν από την τομή αυτή.
γ. Σχετικές είναι και οι νέες αποδείξεις μου, που έχουν πάρει εδώ αριθμούς και και που έχουν δημοσιευτεί στο περιοδικό ΜΕΛ τεύχος τον Μάϊο του .
Ακόμη αυτές έχουν καταχωρηθεί στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στον τόμο , παράγραφος .
δ. Όπως και παραπάνω έχω αναφέρει, θα αναρτήσω εδώ και τέσσερις νέες αποδείξεις μου, που δεν μου δόθηκε χρόνος γι’ αυτό, μέχρι τώρα.

Ευχές


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[gbaloglou]

Αγαπητέ Νίκο χαίρομαι κατ' αρχήν για τα ευχάριστα νέα της "Αρμονικής Γεωμετρίας", φυσικά θα τα πούμε και από κοντά. Σ' ευχαριστώ επίσης για την εμπεριστατωμένη απάντηση και την αναφορά στην "Μεθοδική Γεωμετρία" των Γ. & Π. Γεωργιακάκη: μου είναι δύσκολο να φανταστώ, από την στιγμή που είναι γνωστή η πρόταση που πρότεινε ο KARKAR, ότι δεν είναι γνωστή και η αντίστροφη της (δηλαδή η απόδειξη σύγκλισης υψών που πρότεινα)^ αν όμως δεν αναφέρεται κάπου, τότε θεωρώ ότι είναι αποδεκτή ως νέα (75η) απόδειξη, μια και, πέραν της αναλυτικής προσέγγισης μου, έχουμε την έγκυρη κατασκευή των δύο ίσων κύκλων (εδώ) από τον Νίκο Φραγκάκη (doloros) και την έγκυρη απόδειξη ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων είναι το ορθόκεντρο (εδώ), και πάλι από τον Νίκο Φραγκάκη (doloros). (Θεωρώ ότι δεν υπάρχει φαύλος κύκλος σ' αυτές τις απλές αποδείξεις του Νίκου^ το πολύ που θα μπορούσε να του προσάψει κάποιος είναι ότι χρησιμοποιεί την κατασκευή του (των δύο ίσων κύκλων) για να αποδείξει το ζητούμενο (ότι δηλαδή το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων είναι το ορθόκεντρο), κάτι που για μένα δεν αποτελεί πρόβλημα.)

Αγαπητέ Γιώργο.
σε ευχαριστώ πολύ για το έμπρακτο ενδιαφέρον σου, για την προσφορά σου εδώ με δύο νέων παλαιοτέρων σχετικών αποδείξεών σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου εδώ, την σωστή και ωραία απόδειξη σου, που πρότεινες (εδώ), βασιζόμενη στην κατασκευή δύο ίσων κύκλων με διάκεντρο ίση και παράλληλη σε μια πλευρά δοσμένου τριγώνου κτλ και στην απόδειξη της Πρότασης ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων αυτών, είναι το ορθόκεντρο του παραπάνω δοσμένου τριγώνου, καθώς αποδεικνύεται ότι τα τρία ύψη του τριγώνου αυτού, περνούν από την τομή αυτή.

Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου αυτή, τυχαίνει να συμπίπτει με τον τρόπο απόδειξής δικής μου επινόησης, που έχει αναρτηθεί παραπάνω με το συνημμένο μου , τον Απρίλιο του και ώρα μ.μ και την οποία επαναφέρω παρακάτω με το .συνημμένο μου . Ακόμη αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στον τόμο , παράγραφος .

Μετά τα παραπάνω, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας όλοι μαζί με το κυνήγι της ης απόδειξης, ενώ προσωπικά αναζητώ την η απόδειξη.

Σχόλια.
α. Την σχετική σύγκριση, με τις νέες αποδείξεις, της παραπάνω προτεινόμενης απόδειξης από τον Γιώργο, έγινε το τελευταίο τετραήμερο, που μου δόθηκε ευκαιρία.
β. Η παραπάνω απόδειξή μου του συνημμένου μου , είναι ενσωματωμένα, η κατασκευή των δύο ίσων με τις σχετικές ιδιότητές τους και η απόδειξη της Πρότασης ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το ορθόκεντρο του δοσμένου τριγώνου, καθώς και εκεί αποδεικνύεται ότι τα τρία ύψη του τριγώνου αυτού, περνούν από την τομή αυτή.
γ. Σχετικές είναι και οι νέες αποδείξεις μου, που έχουν πάρει εδώ αριθμούς και και που έχουν δημοσιευτεί στο περιοδικό ΜΕΛ τεύχος τον Μάϊο του .
Ακόμη αυτές έχουν καταχωρηθεί στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στον τόμο , παράγραφος .
δ. Όπως και παραπάνω έχω αναφέρει, θα αναρτήσω εδώ και τέσσερις νέες αποδείξεις μου, που δεν μου δόθηκε χρόνος γι’ αυτό, μέχρι τώρα.

Ευχές


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Νίκο πολύ ωραία, από δικής μου πλευράς ας παρατηρήσω απλώς ότι την παραπάνω κατασκευή σου ακολούθησε, χωρίς βέβαια να το γνωρίζει, ο Διονύσης Αδαμόπουλος εδώ.

Σ' ευχαριστούμε, για μια ακόμη φορά!