ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2000

panagiotis iliopoulos · #1

Να βρεθεί ο μέγιστος θετικός πραγματικός κ, για τον οποίο ισχύει: $\frac{xy}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}){(3x^{2}+y^{2})}}}\leq \frac{1}{k}$
για όλους τους θετικούς πραγματικούς χ,y.

Προτεινομενη λυση

Κανοντας πραξεις καταληγουμε:
$3x^{4}+(4y^{2}-k^{2}y^{2})x^{2}+y^{4}\geq 0$
Θετω $x^{2}=a$ και $y^{2}=b$
$3a^{2}+(4b-k^{2}b)a+b^{2}\geq 0$
Έχουμε τριώνυμο ως προς

με διακρίνουσα
$\Delta=b^{2}(k^{4}-8k^{2}+4)$
η οποια πρεπει να ειναι αρνητικη η μηδεν.
Επειδή $b^{2}\geq 0$ πρέπει $k^{4}-8k^{2}+4\leq 0$
Θέτω $k^{2}=m$
'Εχουμε $m^{2}-8m+4\leq 0$ η οποια έχει ρίζες τις $4\pm 2\sqrt{3}$
Άρα $4-2\sqrt{3}\leq m\leq 4+2\sqrt{3}$
Επειδή ψάχνω το μεγιστο m πρέπει $m=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^{2}$
Άρα $k=\sqrt{3}+1$

#2

Παναγιώτη, πολύ ωραία. Χαίρομαι όταν βλέπω άτομα που γράφουν αρκετά καλά στο $\LaTeX$ από την αρχή. Έκανα μια μικρή διόρθωση σε αυτά που έγραψες. Για να γράψουμε το $\Delta$ , γράφουμε \Delta.

Πρόσεξε λίγο τους φακέλους που βάζεις τα θέματα. Αυτό το έβαλες στην Γ' Γυμνασίου. Έχουμε όμως ειδικό φάκελο για θέματα Άλγεβρας επιπέδου Αρχιμήδη μικρών. Θα το μεταφέρω εκεί. Παρεμπιπτόντως, είσαι μαθητής;

Επίσης, όταν προτείνουμε μια άσκηση, την αφήνουμε για λίγο ώστε να την δοκιμάσουν οι υπόλοιποι και δεν δίνουμε απευθείας την απάντηση. Έχουμε αρκετά αναπάντητα θέματα κάποια εκ των οποίων δεν είναι δύσκολα. Πήγαινε στους κατάλληλους φακέλους, και ψάξε στα θέματα που δεν έχουν δοθεί ακόμη απαντήσεις.

Για την άσκηση τώρα, δίνω και μια πιο σύντομη λύση:

Από Cauchy-Schwarz έχουμε

$\displaystyle \sqrt{(x^2+y^2)(y^2+3x^2)} \geqslant (xy + \sqrt{3}xy) = (1+\sqrt{3})xy$

Οπότε

$\displaystyle \frac{xy}{\sqrt{(x^2+y^2)(3x^2+y^2)}} \leqslant \frac{1}{1+\sqrt{3}}$

δηλαδή $k \geqslant 1+\sqrt{3}$ .

Όμως το $k = 1+\sqrt{3}$ πιάνεται π.χ. όταν $x=1,y=\sqrt[4]{3}$ . (Επειδή τότε έχουμε 3x^4 = y^4

και άρα έχουμε ισότητα στην Cauchy-Schwarz.)

panagiotis iliopoulos · #3

Ναι, είμαι μαθητής της Γ' Γυμνασίου. Σας ευχαριστώ πολύ για τις συμβουλές που μου δώσατε.

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2000

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2000

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2000

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2000

Μέλη σε σύνδεση