Καθέτως

KARKAR · #1

: καθέτως.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Κύκλος

εφάπτεται των πλευρών της ορθής γωνίας $\widehat{xOy}$ . Από σημείο

της

, φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

και την ευθεία

, η οποία τέμνει

την

στο σημείο

. Πώς πρέπει να επιλεγεί το

, ώστε : $TP \perp Ox$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 02, 2018 11:49 am
καθέτως.pngΚύκλος εφάπτεται των πλευρών της ορθής γωνίας $\widehat{xOy}$ . Από σημείο

της , φέρω το εφαπτόμενο τμήμα και την ευθεία , η οποία τέμνει

την στο σημείο . Πώς πρέπει να επιλεγεί το , ώστε : $TP \perp Ox$ ;

: καθέτως.png (16.9 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές

$\boxed{OP = \frac{r}{3}(2 + \sqrt[3]{{3\sqrt {33} + 17}} + \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}})}$

Λίγο αργότερα η τεκμηρίωση .

Αν

το σημείο επαφής ου κύκλου (K,R)

με την ευθεία

προφανώς το τετράπλευρο SCPT

είναι ρόμβος; Επειδή :

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{OP}}{{CK}} = \frac{{OS}}{{CS}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \hfill \\ C{P^2} = O{C^2} + O{P^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ αν θέσω $OP = x\,\,,\,\,CS = y\,$ και αφού CO = CK = R

( Συγνώμη Θανάση που αντί

έχω θέσει

)

Θα είναι : $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{R} = \frac{{y + R}}{y}\,\,\,\kappa \alpha \iota \hfill \\ {y^2} = {R^2} + {x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Απαλοίφω το

και έχω : ${R^4} - ({R^2} + {x^2}){(x - R)^2}$ .

που γράφεται : $x({x^3} - 2R{x^2} + 2{R^2}x - 2{R^3}) = 0$ με δεκτή ρίζα:

$\boxed{x = \frac{R}{3}(2 + \sqrt[3]{{3\sqrt {33} + 17}} + \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}})}$

Έτσι προσδιορίζω το

και η

τέμνει τον

στο

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 02, 2018 11:49 am
καθέτως.pngΚύκλος εφάπτεται των πλευρών της ορθής γωνίας $\widehat{xOy}$ . Από σημείο

της , φέρω το εφαπτόμενο τμήμα και την ευθεία , η οποία τέμνει

την στο σημείο . Πώς πρέπει να επιλεγεί το , ώστε : $TP \perp Ox$ ;

: Καθέτως.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

Θέτω

και από τα όμοια τρίγωνα KHP, SKT

παίρνω $\displaystyle HP = \frac{{{r^2}}}{x}$

Πυθαγόρειο στο ATP:

$\displaystyle {y^2} = {\left( {y - \frac{{{r^2}}}{x}} \right)^2} + {x^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{{x^4} + {r^4}}}{{2{r^2}x}}}$ (1)

$\displaystyle \frac{{OA \cdot OS}}{2} = (OAS) = ST \cdot TA\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{{x^5} - r{x^4} - 2{r^3}{x^2} - {r^4}x - {r^5} = 0}$

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{x = \frac{r}{3}\left( {1 + \sqrt[3]{{19 - 3\sqrt {33} }} + \sqrt[3]{{19 + 3\sqrt {33} }}} \right)}$

Καθέτως

Καθέτως

Re: Καθέτως

Re: Καθέτως

Μέλη σε σύνδεση